Mathematics

GMAT-16: Overlapping Sets and Venn Tables

Ikki toʻplam formulasi, 2 × 2 jadval, kesishmaning eng kichik va eng katta qiymati, uch toʻplamda «aynan ikkitasi» va «uchalasi».

powerty

Okt. 1, 2026

17 5 daqiqa 0

GMAT-16: Overlapping Sets and Venn Tables

«60 xodim ingliz tilini, 45 tasi rus tilini biladi, 20 tasi ikkalasini» — bu kesishuvchi toʻplamlar masalasi. Asosiy xavf — ikki marta sanash: ikkala tilni biladiganlar ham 60 ning ichida, ham 45 ning ichida. Bu darsda shu ikki marta sanalganlarni bitta formula va bitta jadval bilan toʻgʻri hisoblashni oʻrganamiz.

Bu darsdan keyin siz

ikki toʻplam formulasini qoʻllaysiz: jami = A + B − ikkalasi + hech biri;
ikki xususiyatli masalani 2 × 2 jadval (double-set matrix) bilan yechasiz;
kesishmaning eng kichik va eng katta qiymatini topasiz;
uch toʻplamli masalada «aynan ikkitasi» va «uchalasi»ni farqlaysiz.

Two sets total = A + B − both + neither

Ikki toʻplam — formula

100 xodim: ingliz 60, rus 45, ikkalasi 20 Hech birini bilmaydiganlar nechta?

Kamida bittasini biladi: 60 + 45 − 20 = 85 «Ikkalasi» ikki marta sanaldi — bir marta ayiramiz

Hech biri: 100 − 85 = 15 Jamidan birlashmani ayiramiz

Oʻzbekcha «Faqat ingliz tili» (only English) va «ingliz tili» — har xil son. 60 kishining 20 tasi rus tilini ham biladi, demak faqat ingliz tilini biladiganlar 60 − 20 = 40. Savolda «only» soʻzini koʻrsangiz, kesishmani ayiring.

Ikki xususiyat — 2 × 2 jadval

200 nomzodning 120 tasida ish tajribasi bor, 90 tasida magistr diplomi bor, 50 tasida ikkalasi bor. Jadvalda har bir katak — bitta guruh, har bir qator va ustun yigʻindisi — chetdagi «Jami»:

	Diplom bor	Diplom yoʻq	Jami
Tajriba bor	50	70	120
Tajriba yoʻq	40	40	80
Jami	90	110	200

Maʼlum: 50, jami 120, jami 90, umumiy 200 Toʻrtta son jadvalni toʻliq aniqlaydi

120 − 50 = 70; 90 − 50 = 40; 200 − 120 = 80 Har bir qator va ustun oʻz yigʻindisiga teng boʻlishi kerak

Ikkalasi ham yoʻq: 80 − 40 = 40 Formula bilan ham: 200 − (120 + 90 − 50) = 40 ✓

Oʻqituvchi maslahati Ikki xil ha/yoʻq xususiyat boʻlsa (erkak/ayol va MBA bor/yoʻq, savdo boʻlimi va masofadan ishlash) — jadval chizing. Formula «ikkalasi» va «hech biri» uchun qulay, jadval esa «MBA'si yoʻq erkaklar» kabi har qanday katakni beradi.

Kesishmaning eng kichik va eng katta qiymati

100 kishi: A — 65, B — 55. Ikkalasi? Aniq son yoʻq — oraliq bor

Eng kami: 65 + 55 − 100 = 20 Hamma kamida bittasida, «hech biri» = 0 boʻlganda

Eng koʻpi: 55 Kichik toʻplam butunlay kattasining ichida boʻlganda

Oʻzbekcha Uch toʻplam uchun: jami = A + B + C − (aynan ikkitasidagilar) − 2 × (uchalasidagilar) + hech biri. Nega 2 marta? Uchala toʻplamdagi odam A + B + C da uch marta sanalgan — bir marta qolishi uchun ikki marta ayiriladi. 100 kishi: 50, 40, 30; aynan ikkitasida 15, uchalasida 5 → kamida bittasida 120 − 15 − 10 = 95, hech birida 5.

Oʻzbekcha Toʻplam savollarida «or» soʻziga ehtiyot boʻling: «speak English or Russian» odatda kamida bittasi degani — ikkalasini biladiganlar ham kiradi. «Either … or …, but not both» desa — aynan bittasi. Bu farq javobni kesishma hajmicha oʻzgartiradi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

both … and …ikkalasi ham — kesishma
neither … nor …hech biri — ikkalasidan tashqarida
onlyfaqat bittasi — kesishmani ayiring
exactly two of the threeuchtadan aynan ikkitasi
at least onekamida bittasi — birlashma

GMAT savollari

GMAT-style question 45 s

Of the 100 employees at a firm, 60 speak English, 45 speak Russian, and 20 speak both English and Russian. How many of the employees speak neither language?

Yechimni koʻrish

Javob: B) 15

100 − (60 + 45 − 20) = 15.

35 — «ikkalasi»ni ikki marta ayirgan javob: 100 − (60 + 45 − 40).

Tuzoq javob 35 Kesishma A + B da ikki marta sanalgan — uni faqat bir marta ayirish kerak, shunda u toʻgʻri bir marta qoladi.

GMAT-style question 60 s

In a survey of 80 managers, 50 said they read a business newspaper and 40 said they read a business magazine. What is the least possible number of managers who read both?

Yechimni koʻrish

Javob: C) 10

50 + 40 = 90, lekin odamlar atigi 80 ta — kamida 10 kishi ikki marta sanalgan.

0 — toʻplamlar bir-biriga tegmasligi mumkin deb oʻylagan javob; 90 kishiga joy yoʻq.

Tuzoq javob 0 Ikki toʻplam yigʻindisi umumiy sondan oshsa, kesishma nol boʻlolmaydi: ortiqchasi — eng kichik kesishma.

Test-day taktikasi

Toʻplam savolida avval shaklni tanlang:

bitta xususiyat, ikki guruh (ingliz/rus) — formula;
ikki xil ha/yoʻq xususiyat (erkak/ayol × MBA bor/yoʻq) — 2 × 2 jadval;
«least / greatest possible» — chegaralarni tekshiring: hech biri = 0 va kichik toʻplam ichkarida.

60 speak English, 20 of them also Russian → only English = 60

Only English = 60 − 20 = 40

«Ingliz tili»ga ikkalasini biladiganlar ham kiradi.

Three sets: subtract the triple overlap once

With «exactly two», subtract the triple overlap twice

Uchala toʻplamdagi odam uch marta sanalgan — bir marta qolishi uchun ikkisi olib tashlanadi.

Mashq

1 Set A has 30 members, set B has 25, and 10 are in both. How many are in at least one of the sets?

Javobni koʻrish

45 — 30 + 25 − 10.

2 Of 50 people, 30 drink tea, 25 drink coffee and 5 drink neither. How many drink both?

Javobni koʻrish

10 — 30 + 25 + 5 − 50.

3 Of 40 students, 18 play chess, 15 play football and 12 play neither. How many play both?

Javobni koʻrish

5 — 18 + 15 + 12 − 40.

4 Of 100 people, 70 use app A and 50 use app B. What is the greatest possible number who use both?

Javobni koʻrish

50 — B toʻliq A ning ichida boʻlsa.

5 Of 300 clients, 180 bought product X, 150 bought product Y and 60 bought both. How many bought only X?

Javobni koʻrish

120 — 180 − 60.

Kalit soʻzlar

settoʻplam
overlapkesishma
bothikkalasi ham
neitherhech biri
at least onekamida bittasi
exactly twoaynan ikkitasi
Venn diagramVenn diagrammasi
surveysoʻrovnoma

Esda qoldiring

Jami = A + B − ikkalasi + hech biri.
«Only A» = A − ikkalasi.
Ikki xil ha/yoʻq xususiyat — 2 × 2 jadval; qator va ustun yigʻindilari tekshiruv.
Eng kichik kesishma = A + B − jami (manfiy boʻlsa, 0); eng kattasi = kichik toʻplam.
Uch toʻplam: «aynan ikkitasi» bir marta, «uchalasi» ikki marta ayiriladi.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Okt. 1, 2026 Okt. 2, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi