PM-12: Daraja: takroriy koʻpaytirishning qisqa yozuvi
2 × 2 × 2 × 2 × 2 ni qisqa yozish mumkinmi? Asos va koʻrsatkich, kvadrat va kub, oʻnning darajalari, manfiy asos va darajaning amallar tartibidagi oʻrni.
PM-12: Daraja: takroriy koʻpaytirishning qisqa yozuvi
Bir varaq qogʻozni ikki buklang — ikki qavat boʻldi. Yana bukdingiz — toʻrt. Yana — sakkiz. Jasur sinfdoshlariga aytdi: «Oʻn marta buklasam, yuztacha qavat chiqadi-ku». Aslida 1 024 qavat chiqadi. Bunday tez oʻsadigan hisoblarni yozish uchun matematikada alohida, juda qisqa yozuv bor — daraja.
Bu darsda siz
- daraja yozuvini oʻqiysiz va yozasiz: asos va koʻrsatkich;
- kvadrat va kubni farqlaysiz, 1 dan 12 gacha kvadratlarni bilasiz;
- oʻnning darajalari razryadlar bilan qanday bogʻlanishini koʻrasiz;
- manfiy asosli darajaning ishorasini bir qarashda aytasiz.
1. Qisqa yozuv
2 × 2 × 2 × 2 × 2 — beshta ikki. Buni 25 deb yozamiz. Pastdagi katta son asos deyiladi (nimani koʻpaytiryapmiz), yuqoridagi kichik son esa koʻrsatkich (necha marta koʻpaytiryapmiz).
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Asos — 2, koʻrsatkich — 5. Oʻqilishi: «ikkining beshinchi darajasi».
Eng koʻp uchraydigan chalkashlik
23 — bu 2 × 3 emas. Koʻrsatkich koʻpaytuvchi emas, u nechtaligini aytadi: 23 = 2 × 2 × 2 = 8, 2 × 3 esa 6.
2. Qanday oʻqiladi
| Yozuv | Oʻqilishi | Yoyilmasi | Qiymati |
|---|---|---|---|
| 71 | yettining birinchi darajasi | 7 | 7 |
| 52 | besh kvadrat | 5 × 5 | 25 |
| 43 | toʻrt kub | 4 × 4 × 4 | 64 |
| 34 | uchning toʻrtinchi darajasi | 3 × 3 × 3 × 3 | 81 |
Ikkinchi daraja alohida nom oldi — kvadrat, chunki tomoni 5 boʻlgan kvadratning yuzasi aynan 5 × 5. Uchinchi daraja — kub, qirrasi 4 boʻlgan kubning hajmi 4 × 4 × 4. Nomlar shakllardan kelib chiqqan.
3. Kvadratlar jadvali — yodda tursin
Quyidagi 12 ta son butun maktab davomida kerak boʻladi. Ularni bilgan oʻquvchi keyingi darsda (kvadrat ildiz) hech qiynalmaydi.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Kublardan esa dastlabki beshtasi yetarli: 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, 53 = 125. Diqqat qiling — 64 ham kvadrat (82), ham kub (43). Bunday sonlar kam uchraydi.
4. Oʻnning darajalari
PM-1 dagi razryadlar aslida oʻnning darajalari edi — biz buni endi yozib qoʻya olamiz.
| Daraja | Qiymati | Nollar soni |
|---|---|---|
| 101 | 10 | 1 |
| 102 | 100 | 2 |
| 103 | 1 000 | 3 |
| 106 | 1 000 000 | 6 |
Qoida
10 ning darajasida nollar soni koʻrsatkichga teng. Shuning uchun bir million — 106, bir milliard — 109.
Nima uchun kerak
Katta sonlarni yozish qisqaradi. Yerdan Quyoshgacha taxminan 150 000 000 km — buni 15 × 107 km deb yozsa, nollarni sanab oʻtirmaysiz.
5. Manfiy asos — PM-11 ish beradi
Asos manfiy boʻlsa, ishorani aniqlash uchun oʻtgan darsdagi usul ishlaydi: minuslarni sanaymiz. Koʻrsatkich — bu aynan minuslar soni.
(−3)2 = (−3) × (−3) = 9
Ikkita minus — juft, javob musbat.
(−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27
Uchta minus — toq, javob manfiy.
Qoida
Manfiy asos, juft koʻrsatkich → javob musbat. Manfiy asos, toq koʻrsatkich → javob manfiy.
Qavs bormi yoki yoʻqmi — bu hamma narsani hal qiladi
(−4)2 = 16, chunki qavs butun manfiy sonni darajaga koʻtaradi.
−42 = −16, chunki bu yerda avval 4 kvadratga koʻtariladi (16), keyin
oldiga minus qoʻyiladi. Minus darajaga kirmagan.
Imtihonlarda shu ikki yozuvni chalkashtirish juda koʻp uchraydi. Qavsga qarang.
6. Amallar tartibida darajaning oʻrni
PM-5 dagi zinapoyaga endi yangi pogʻona qoʻshiladi. Daraja qavsdan keyin, lekin koʻpaytirish-boʻlishdan oldin bajariladi.
Solishtiring
(2 + 3) × 42 = 5 × 16 = 80. Qavs tartibni oʻzgartirdi va javob ham butunlay boshqa chiqdi.
7. Matnli masala
Masala
Laboratoriyada bakteriyalar har soatda soni ikki baravar ortadi. Tajriba boshida idishda 4 ta bakteriya bor edi. 5 soatdan keyin nechta boʻladi?
Nima soʻralyapti? 5 soatdan keyingi soni. Reja: har soat ×2 boʻladi, demak 5 soatda beshta ikkiga koʻpaytiriladi — bu 25.
Tekshiramiz
Soat-soat sanaymiz: 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128. Beshta oʻqni bosib oʻtdik, javob mos keldi ✓
Nega bu muhim
Ikkilanib oʻsish odamning tasavvuridan tezroq ketadi. Shu darsning oʻqish matnida shaxmat taxtasi va bugʻdoy haqidagi qadimiy rivoyatni oʻqiysiz — u aynan shu haqda.
Koʻp uchraydigan xatolar
34 = 12
34 = 81
Koʻrsatkich koʻpaytuvchi emas. 3 × 3 × 3 × 3 = 81, 3 × 4 esa butunlay boshqa hisob.
(−2)4 = −16
(−2)4 = 16
Toʻrtta minus — juft son, demak javob musbat. Minuslarni sanang.
−52 = 25
−52 = −25
Qavs yoʻq — demak avval 5 kvadratga koʻtariladi (25), minus esa tashqarida qoladi. Agar (−5)2 yozilganda, javob 25 boʻlardi.
Mashq
1. 26 = ?
Javobni koʻrish
64. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Ikkilarni bosqichma-bosqich sanang: 2, 4, 8, 16, 32, 64.
2. 53 = ?
Javobni koʻrish
125. 5 × 5 = 25, 25 × 5 = 125.
3. (−2)3 = ?
Javobni koʻrish
−8. Uchta minus — toq, javob manfiy. Sonlar: 2 × 2 × 2 = 8.
4. 105 = ?
Javobni koʻrish
100 000. Bir va beshta nol — koʻrsatkich nollar sonini aytadi.
5. Omborda 4 ta javon bor. Har javonda 4 ta quti, har qutida 4 ta paket, har paketda 4 ta daftar. Omborda jami nechta daftar bor?
Javobni koʻrish
256 ta. 4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 256. Bosqichlar: 4 javon → 16 quti → 64 paket → 256 daftar.
Kalit soʻzlar
- Darajabir sonni oʻziga qayta-qayta koʻpaytirish yozuvi; ingl. power
- Asosdarajada koʻpaytirilayotgan son; ingl. base
- Koʻrsatkichnecha marta koʻpaytirilishini bildiruvchi kichik son; ingl. exponent
- Kvadratikkinchi daraja, n2; ingl. square
- Kubuchinchi daraja, n3; ingl. cube
- Aniq kvadratbutun sonning kvadrati boʻlgan son (1, 4, 9, 16…); ingl. perfect square
- Oʻnning darajasi10, 100, 1 000 kabi sonlar; ingl. power of ten
- Amallar tartibiqaysi amal oldin bajarilishi; ingl. order of operations
- Ikkilanishhar qadamda ikki baravar ortish; ingl. doubling
Esda qoladigan uch narsa
- an — n ta a ning koʻpaytmasi. Koʻrsatkich koʻpaytuvchi emas: 23 = 8, 2 × 3 = 6.
- Manfiy asosda minuslarni sanang: juft koʻrsatkich musbat, toq koʻrsatkich manfiy javob beradi.
- Qavsga qarang: (−5)2 = 25, lekin −52 = −25.