Mathematics

PM-13: Kvadrat ildiz va aniq kvadratlar

Yuzasi maʼlum, tomoni nomaʼlum. Kvadrat ildiz — darajaning teskarisi: aniq kvadratlar, √ belgisi, ildizni baholash va usta hisobi.

powerty

Aug. 11, 2026

21 5 min 0

PM-13: Kvadrat ildiz va aniq kvadratlar

Usta hovliga kvadrat shaklidagi supa quradi. Loyihada bitta son yozilgan: yuzasi 81 m². Ammo ustaga yuza kerak emas — unga tomoni kerak, chunki u ip tortadi, gʻisht sanaydi. Oʻtgan darsda biz tomondan yuzaga borgan edik: 9 × 9 = 81. Endi teskari yoʻlga tushamiz.

Bu darsda siz

kvadrat ildiz nima ekanini va u nega darajaning teskarisi ekanini bilasiz;
√ belgisini oʻqiysiz va yozasiz;
aniq kvadratlarni tanib olasiz (1, 4, 9 … 400);
aniq boʻlmagan ildizni ikki butun son orasiga joylaysiz.

Taʼrif √a = b ⟺ b × b = a · b manfiy emas

1. Teskari savol

PM-12 da savol bunday edi: «Tomoni 9 boʻlsa, yuzasi qancha?» — 9² = 81. Bugungi savol teskari: «Yuzasi 81 boʻlsa, tomoni qancha?» Javob — 9, chunki aynan 9 ni oʻziga koʻpaytirsak 81 chiqadi. Shu javobni topish amali kvadrat ildiz chiqarish deyiladi va u shunday yoziladi:

81 = 9

«Sakson birning kvadrat ildizi toʻqqizga teng.»

Tekshirish oson: 9 × 9 = 81 ✓ Har bir ildizni shu yoʻl bilan bir soniyada tekshirsa boʻladi.

Daraja tomondan yuzaga olib boradi, ildiz esa yuzadan tomonga qaytaradi.

2. Aniq kvadratlar

Ildizi butun son chiqadigan sonlar aniq kvadratlar deyiladi. Ular PM-12 dagi jadvalning oʻzi, faqat teskari tomondan oʻqiladi.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Roʻyxat shu yerda tugamaydi. Keyingi oʻntasi ham koʻp kerak boʻladi:

n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n²	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

Bir qarashda tanish

Aniq kvadratning oxirgi raqami hech qachon 2, 3, 7 yoki 8 boʻlmaydi. Demak 4 372 ni koʻrsangiz — hisoblamasdan bilasiz: bu aniq kvadrat emas.

3. Nollar bilan ishlash

Oʻnning darajalari ildiz ostida ham chiroyli ishlaydi.

√100 = 10 Ikkita nol — ildizda bitta nol

√900 = 30 9 → 3, keyin bitta nol

√10 000 = 100 Toʻrtta nol — ildizda ikkita nol

Sabab oddiy: 30 × 30 = 900, ikkita oʻnlik koʻpaytirilganda bitta yuzlik hosil boʻladi. Shuning uchun ildiz nollarni ikkitadan bittaga qisqartiradi.

4. Ildiz aniq chiqmasa

Har qanday son aniq kvadrat emas. Masalan, √50 ni butun son bilan yozib boʻlmaydi. Bunday holda uni ikki butun son orasiga joylaymiz — bu maktabda ham, hayotda ham koʻpincha yetarli.

√50 = ? Aniq kvadrat emas

49 < 50 < 64 Eng yaqin aniq kvadratlar

7 < √50 < 8 Va 50 aynan 49 ga yaqin — javob 7 ga yaqin

√49 = 7 √64 = 8 √50

5. Ildiz — qavs kabi

Ildiz belgisining ostidagi hamma narsa avval hisoblanadi, xuddi qavs ichidagidek.

√(16 × 9) = √144 = 12

Avval ildiz ostini hisobladik, keyin ildiz chiqardik.

√36 + √9 = 6 + 3 = 9

Bu yerda ikkita alohida ildiz bor — har birini alohida hisoblaymiz, keyin qoʻshamiz.

Eng koʻp uchraydigan xato

√(9 + 16) — bu √9 + √16 emas!
Chapdagi: √(9 + 16) = √25 = 5.
Oʻngdagi: 3 + 4 = 7.
Ildiz qoʻshishni «ichkariga kiritmaydi». Avval ildiz ostini yigʻing, keyin ildiz chiqaring.

6. Matnli masala

Masala

Fermerning kvadrat shaklidagi yeri bor, yuzasi 225 m². U yerning atrofini panjara bilan oʻrab chiqmoqchi. Panjaraning har metri 25 000 soʻm turadi. Panjaraga qancha pul ketadi?

Nima soʻralyapti? Umumiy narx. Reja: yuzadan tomonni topamiz (ildiz), tomondan perimetrni (4 marta), perimetrdan narxni (koʻpaytirish).

√225 = 15 m Kvadratning tomoni: 15 × 15 = 225 ✓

4 × 15 = 60 m Kvadratning toʻrtta tomoni teng — perimetr

60 × 25 000 = 1 500 000 soʻm Har metr 25 000 soʻmdan

Tekshiramiz

Boshqa yoʻl: bir tomon 15 × 25 000 = 375 000 soʻm turadi. Toʻrtta tomon: 4 × 375 000 = 1 500 000 soʻm ✓

Taxmin 60 metrga yaqin panjara, har metri 25 000 dan — 60 × 25 000, yaʼni taxminan bir yarim million. Javob shu darajada.

Koʻp uchraydigan xatolar

√36 = 18

√36 = 6

Ildiz — yarmini olish emas. 6 × 6 = 36 boʻlgani uchun javob 6. 18 × 18 esa 324 chiqadi.

√(9 + 16) = 3 + 4 = 7

√(9 + 16) = √25 = 5

Ildiz belgisi qavs vazifasini bajaradi: avval ichkarisi hisoblanadi.

√400 = 200

√400 = 20

Nollar ikkitadan bittaga qisqaradi: 20 × 20 = 400. 200 × 200 esa 40 000 boʻlardi.

Mashq

1. √64 = ?

Javobni koʻrish

8. 8 × 8 = 64.

2. √121 = ?

Javobni koʻrish

11. 11 × 11 = 121 — jadvalning oʻn birinchi qatori.

3. √(25 × 4) = ?

Javobni koʻrish

10. Avval ildiz ostini hisoblaymiz: 25 × 4 = 100. Keyin √100 = 10.

4. √30 qaysi ikki butun son orasida?

Javobni koʻrish

5 va 6 orasida. 25 < 30 < 36, demak 5 < √30 < 6. 30 soni 36 dan koʻra 25 ga yaqinroq, shuning uchun javob 5 ga yaqinroq.

5. Kvadrat shaklidagi xonaning poliga 196 ta kvadrat plitka terildi va ular xonani toʻliq qopladi. Bir qatorda nechta plitka bor?

Javobni koʻrish

14 ta. Plitkalar kvadrat shaklida terilgan, demak qatorlar soni va bir qatordagi plitkalar soni teng: √196 = 14, chunki 14 × 14 = 196.

Kalit soʻzlar

Kvadrat ildizoʻziga koʻpaytirilganda berilgan sonni beradigan manfiy boʻlmagan son; ingl. square root
Ildiz ostidagi ifoda√ belgisi ostida turgan son yoki hisob; ingl. radicand
Aniq kvadratbutun sonning kvadrati boʻlgan son; ingl. perfect square
Darajatakroriy koʻpaytirish yozuvi; ingl. power
Teskari amalbajarilgan amalni bekor qiladigan amal; ingl. inverse operation
Yuzashakl ichidagi joy oʻlchovi; ingl. area
Perimetrshakl chegarasining umumiy uzunligi; ingl. perimeter
Tomonkoʻpburchakning bir cheti; ingl. side
Baholashaniq javob oʻrniga uning qaysi oraliqda ekanini aytish; ingl. estimation

Esda qoladigan uch narsa

Ildiz — darajaning teskarisi. √a = b degani b × b = a degani, va javobni har doim koʻpaytirib tekshirish mumkin.
Aniq kvadratlarni yodda tuting — 1 dan 400 gacha yigirmata son butun maktabga yetadi.
Ildiz qavs kabi ishlaydi: √(9 + 16) = 5, √9 + √16 esa 7. Ular teng emas.