PM-11: Manfiy sonlarni koʻpaytirish va boʻlish — ishoralar qoidasi
Nega ikkita manfiy sonning koʻpaytmasi musbat chiqadi? Ishoralar qoidasi, uning sababi, minuslarni sanash usuli va qarz masalalari.
PM-11: Manfiy sonlarni koʻpaytirish va boʻlish — ishoralar qoidasi
Mahalladagi doʻkonchi Karim akaning eski daftari bor. Kimdir pulsiz kelsa, u qarzni yozib qoʻyadi. Sherbek olti kun ketma-ket bir xil non oldi — har kuni 2 500 soʻm. Karim aka daftarni yopib dedi: «Oʻgʻlim, olti kun, har kuni ikki yarim ming.» Bu qoʻshish emas — koʻpaytirish, faqat manfiy tomonga qarab.
Bu darsda siz
- ishoralar qoidasini bilib olasiz: bir xil → musbat, har xil → manfiy;
- nega (−) × (−) = (+) ekanini tushunasiz, yodlamaysiz;
- minuslarni sanab, uzun koʻpaytmaning ishorasini bir qarashda aytasiz;
- boʻlishda ham xuddi shu qoida ishlashini koʻrasiz.
1. Manfiyni musbatga koʻpaytirish — bu takroriy qoʻshish
Bu holat eng oson, chunki PM-3 dagi taʼrif oʻzgarmaydi: koʻpaytirish — bir xil sonni qayta-qayta qoʻshish.
6 × (−2 500) = −15 000
Olti kun, har kuni 2 500 soʻm qarz. Jami qarz — 15 000 soʻm, yaʼni hisobda −15 000.
Chunki (−2 500) + (−2 500) + … olti marta takrorlansa, javob −15 000 boʻladi: hammasi bir tomonga qoʻshiladi.
Demak, manfiy × musbat = manfiy. Koʻpaytuvchilarni oʻrnini almashtirsak ham hech narsa oʻzgarmaydi: (−2 500) × 6 ham −15 000.
2. Nega (−) × (−) = (+)
Bu maktabdagi eng koʻp «shunchaki yodla» deb oʻtiladigan qoida. Aslida sabab bor va u juda chiroyli. Quyidagi ustunga qarang — biz har safar birinchi koʻpaytuvchini bittaga kamaytirib boramiz:
Har qatorda javob bir xil miqdorda — 4 taga oshib bordi. Matematikada naqsh sababsiz buzilmaydi. Agar (−1) × (−4) ni −4 desak, ustun buziladi va butun arifmetika qarama-qarshilikka tushadi. Shuning uchun javob musbat boʻlishi shart.
Hayotiy maʼno
Karim aka Sherbekning kunlik qarzini kechira boshladi. «Uch kunlik qarzingni oʻchirdim» — bu qarzni olib tashlash, yaʼni manfiyni manfiy marta olish: (−3) × (−2 500) = +7 500. Sherbekning ahvoli 7 500 soʻmga yaxshilandi. Yomonlikni olib tashlash — yaxshilik.
3. Qoidani ishlatamiz
Amaliyotda tartib doim bitta: avval sonlarni ishorasiz koʻpaytiring, keyin ishorani qoʻying.
Eng katta xato — qoidani qoʻshishga koʻchirish
«Ikki minus plus beradi» degan jumla faqat koʻpaytirish va boʻlishda ishlaydi. Qoʻshishda emas!
−2 − 3 = −5, lekin (−2) × (−3) = 6. Ikkita butunlay boshqa amal. PM-10 dagi «ikki minus plus» esa boshqa narsa edi: u ayirilayotgan manfiy son haqida — 5 − (−3) = 8.
4. Boʻlish — xuddi shu qoida
Boʻlish koʻpaytirishning teskarisi, shuning uchun ishoralar qoidasi soʻzma-soʻz takrorlanadi.
| Ifoda | Ishoralar | Javob |
|---|---|---|
| −24 ÷ 6 | har xil | −4 |
| 24 ÷ (−6) | har xil | −4 |
| −24 ÷ (−6) | bir xil | 4 |
| 24 ÷ 6 | bir xil | 4 |
Tekshiramiz
−24 ÷ (−6) = 4 toʻgʻrimi? Koʻpaytirib koʻramiz: 4 × (−6) = −24 ✓. Har qanday boʻlishni shu yoʻl bilan bir soniyada tekshirsa boʻladi.
5. Nechta minus bor?
Uzun koʻpaytmada ishorani topish uchun hisoblash shart emas — minuslarni sanang. Har bir juft minus bir-birini yoʻq qiladi.
(−2) × 3 × (−5) = 30
Ikkita minus — juft, demak musbat. Sonlar: 2 × 3 × 5 = 30.
(−1) × (−2) × (−3) = −6
Uchta minus — toq, demak manfiy. Sonlar: 1 × 2 × 3 = 6.
Bir soniyalik usul
(−1) × (−2) × (−3) × (−4) × (−5) — hisoblamang, sanang: beshta minus, toq son. Javob manfiy: −120.
6. Matnli masala
Masala
Beshta doʻst birgalikda bir doʻkonda qarzdor boʻlib qolishdi. Har kuni ular jami 9 000 soʻmlik mahsulot qarzga olishdi va bu 5 kun davom etdi. Keyin qarzni oʻzaro teng boʻlishdi. Har biriga qancha qarz tushdi?
Nima soʻralyapti? Bir kishining qarzi. Reja: avval jami qarzni topamiz (koʻpaytirish), keyin uni 5 kishiga boʻlamiz.
Jami qarz 5 kishiga teng boʻlinadi
Tekshiramiz
5 kishi × 9 000 soʻm = 45 000 soʻm ✓ — jami qarz oʻrniga qaytdi.
Qiziq holat
Bir kunlik qarz ham, bir kishining qarzi ham 9 000 soʻm chiqdi. Bu tasodif: 5 kun va 5 kishi teng edi. Agar 4 kishi boʻlganda, javob −45 000 ÷ 4 = −11 250 soʻm boʻlardi.
Koʻp uchraydigan xatolar
(−4) × (−5) = −20
(−4) × (−5) = 20
Ishoralar bir xil — javob musbat. «Ikkita manfiy — demak juda manfiy» degan tuygʻu aldaydi.
−2 − 3 = 6
−2 − 3 = −5
Bu qoʻshish-ayirish, koʻpaytirish emas. Ishoralar qoidasi bu yerda ishlamaydi: ikkala qadam ham chapga.
(−1) × (−2) × (−3) = 6
(−1) × (−2) × (−3) = −6
Uchta minus — toq son. Birinchi ikkitasi plus berdi, uchinchisi javobni yana manfiyga aylantirdi.
Mashq
1. (−6) × 7 = ?
Javobni koʻrish
−42. 6 × 7 = 42, ishoralar har xil — javob manfiy.
2. (−8) × (−5) = ?
Javobni koʻrish
40. 8 × 5 = 40, ishoralar bir xil — javob musbat.
3. −36 ÷ (−9) = ?
Javobni koʻrish
4. 36 ÷ 9 = 4, ishoralar bir xil — musbat. Tekshiruv: 4 × (−9) = −36 ✓
4. (−2) × (−3) × (−4) = ?
Javobni koʻrish
−24. Uchta minus — toq, javob manfiy. Sonlar: 2 × 3 × 4 = 24.
5. Toqqa chiqqan sayin havo soviydi: har 100 metrda harorat taxminan 1 daraja pasayadi. Etakda havo 6 °C. 900 metr koʻtarilgach, harorat necha daraja boʻladi?
Javobni koʻrish
−3 °C. 900 ÷ 100 = 9 ta yuz metr. Har biri −1 daraja: 9 × (−1) = −9. Soʻng 6 + (−9) = −3. Etakda musbat, choʻqqida esa noldan past.
Kalit soʻzlar
- Koʻpaytmakoʻpaytirish natijasi; ingl. product
- Boʻlinmaboʻlish natijasi; ingl. quotient
- Koʻpaytuvchikoʻpaytirilayotgan sonlarning har biri; ingl. factor
- Ishoralar qoidasibir xil ishora musbat, har xil ishora manfiy javob beradi; ingl. sign rule
- Manfiy sonnoldan kichik son; ingl. negative number
- Juft son2 ga qoldiqsiz boʻlinadigan son; ingl. even number
- Toq son2 ga boʻlinmaydigan son; ingl. odd number
- Qarzmanfiy son bilan yoziladigan yetishmovchilik; ingl. debt
- Teng boʻlishbir xil ulushlarga ajratish; ingl. equal sharing
Esda qoladigan uch narsa
- Bir xil ishora — musbat, har xil ishora — manfiy. Koʻpaytirishda ham, boʻlishda ham.
- Minuslarni sanang: juft boʻlsa musbat, toq boʻlsa manfiy.
- Bu qoida qoʻshish-ayirishga tegishli emas. −2 − 3 = −5, lekin (−2) × (−3) = 6.