PM-16: Kasrlarni qisqartirish va taqqoslash
3/4 va 6/8 — bir xil narsami? Teng kasrlar, kasrning asosiy xossasi, EKUB bilan bir qadamda qisqartirish va har qanday ikki kasrni taqqoslash.
PM-16: Kasrlarni qisqartirish va taqqoslash
Nodira opaning daftarida yozilgan: 3/4 stakan sut. Telefondagi retseptda esa xuddi shu taom uchun 6/8 stakan sut deyilgan. Afsona ikkalasiga qarab qoldi: qaysi biri toʻgʻri? Javob — ikkalasi ham. Bu bitta miqdorning ikki xil yozuvi.
Bu darsda siz
- teng kasrlarni tanib olasiz va oʻzingiz yasaysiz;
- kasrning asosiy xossasini bilasiz va nega u ishlashini tushunasiz;
- EKUB yordamida kasrni bir qadamda qisqartirasiz;
- maxrajlari har xil boʻlgan ikki kasrni taqqoslaysiz.
1. Bir xil miqdor, boshqa yozuv
Bitta nonni 4 boʻlakka boʻlib, 3 tasini oling. Endi xuddi shu nonni 8 boʻlakka boʻlib, 6 tasini oling. Qoʻlingizdagi non miqdori bir xil — faqat pichoq boshqacha yurgan.
Uzunligi bir xil — demak kasrlar teng
Nega shunday boʻldi? Chunki har bir chorakni ikkiga boʻldik: boʻlaklar soni ham (3 → 6), butunning boʻlinishi ham (4 → 8) ikki barobar oshdi. Ikkalasi birga oshgani uchun ulush oʻzgarmadi.
3/4 = (3 × 2)/(4 × 2) = 6/8
Surat va maxrajni bir xil songa koʻpaytirdik — bu kasrni kengaytirish.
6/8 = (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4
Teskari yoʻl — bu kasrni qisqartirish.
Nega bu xossa ishlaydi
Kasr — aslida boʻlish. 6 ÷ 8 va 3 ÷ 4 bir xil natija beradi, chunki ikkala sonni ham 2 ga boʻldik. Bir xil songa boʻlingan boʻlinma oʻzgarmaydi.
2. Qisqartirish
Qisqartirish — surat va maxrajning umumiy boʻluvchisini topib, ikkalasini ham unga boʻlish. Umumiy boʻluvchini PM-8 da oʻrgangan edik.
Ikki qadam ketdi. Lekin buni bir qadamda ham qilish mumkin edi — agar darrov eng katta umumiy boʻluvchini olsak.
Mana shu yerda EKUB ish beradi
PM-8 da «EKUB qayerda kerak boʻladi?» degan savol qolgan edi. Javob shu: kasrni bir qadamda, oxirigacha qisqartirish uchun.
Surat va maxrajning 1 dan boshqa umumiy boʻluvchisi qolmasa, kasr qisqarmas deyiladi. 2/3, 3/4, 7/9 — qisqarmas. Javobni doim shu holatda yozish qabul qilingan.
3. Eng katta xato — faqat bittasini boʻlish
Diqqat
6/9 ≠ 2/9. Faqat suratni boʻlsangiz, boʻlaklar soni kamayadi, lekin
boʻlakning kattaligi oʻzgarmaydi — demak miqdor kamayib ketadi.
Toʻgʻrisi: 6/9 = 2/3 — ikkalasini ham 3 ga boʻlamiz.
Va yana bittasi: qisqartirishda faqat koʻpaytirish-boʻlish ishlaydi. Surat va maxrajdan bir xil sonni ayirib boʻlmaydi: 5/7 va 3/5 teng emas.
4. Taqqoslash
Uch xil holat bor, uchtasi ham oson.
| Holat | Nima qilamiz | Misol |
|---|---|---|
| Maxrajlar bir xil | Suratlarni solishtiramiz | 3/8 < 5/8 |
| Suratlar bir xil | Maxraji kichigi kattaroq | 2/5 > 2/7 |
| Ikkalasi ham har xil | Umumiy maxrajga keltiramiz | 1/2 va 2/5 → ? |
Uchinchi holatni ishlab koʻramiz. 1/2 va 2/5 dan qaysi biri katta? Boʻlaklar har xil kattalikda — solishtirib boʻlmaydi. Demak ikkalasini bir xil boʻlakka keltiramiz.
5. Matnli masala
Masala
5-A sinfda 20 oʻquvchi bor, ulardan 12 tasi kutubxonaga yozilgan. 5-B sinfda 25 oʻquvchi bor, ulardan 15 tasi yozilgan. Qaysi sinfda yozilganlarning ulushi katta?
Nima soʻralyapti? Sonlar emas — ulush. 15 soni 12 dan katta, lekin bu hech narsani hal qilmaydi, chunki sinflar ham har xil.
Tekshiramiz
5-A: 20 ÷ 5 = 4, 4 × 3 = 12 ✓ · 5-B: 25 ÷ 5 = 5, 5 × 3 = 15 ✓ Ikkala hisob ham oʻz soniga qaytdi.
Nega bu muhim
Qisqartirish — «chiroyli yozish» uchun emas. U ikki narsani solishtirish imkonini beradi. 12/20 va 15/25 ga qarab hech narsa aytolmaysiz; 3/5 va 3/5 ga qarab esa darrov aytasiz.
Koʻp uchraydigan xatolar
6/9 = 2/9
6/9 = 2/3
Faqat surat boʻlingan. Kasrning asosiy xossasi ikkalasini ham bir xil songa boʻlishni talab qiladi.
5/7 = 3/5 (ikkalasidan 2 ni ayirdim)
5/7 qisqarmas kasr — u oʻzgarmaydi
Xossada faqat koʻpaytirish va boʻlish bor. Ayirish kasrni butunlay boshqa songa aylantirib yuboradi.
2/7 > 2/5, chunki 7 > 5
2/7 < 2/5
Suratlar teng boʻlganda maxraji kichik kasr kattaroq: yettiga boʻlingan boʻlak beshga boʻlingandan kichik.
Mashq
1. 8/12 ni qisqartiring.
Javobni koʻrish
2/3. EKUB(8, 12) = 4. 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3.
2. 2/3 ni maxraji 15 boʻlgan kasr koʻrinishida yozing.
Javobni koʻrish
10/15. 15 ÷ 3 = 5, demak ikkalasini 5 ga koʻpaytiramiz: (2 × 5)/(3 × 5) = 10/15.
3. 4/9 va 4/7 dan qaysi biri katta?
Javobni koʻrish
4/7. Suratlar teng, demak maxraji kichigi kattaroq boʻladi.
4. 2/3 va 3/4 dan qaysi biri katta?
Javobni koʻrish
3/4. Umumiy maxraj 12: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12. 9 > 8, demak 3/4 kattaroq.
5. Bogʻda 30 ta daraxtdan 18 tasi olma. Olmalarning ulushini qisqarmas kasr bilan yozing.
Javobni koʻrish
3/5. 18/30, EKUB(18, 30) = 6: 18 ÷ 6 = 3, 30 ÷ 6 = 5. Tekshiruv: 30 ÷ 5 = 6, 6 × 3 = 18 ✓
Kalit soʻzlar
- Teng kasrlarbir xil miqdorni bildiruvchi turli yozuvlar; ingl. equivalent fractions
- Qisqartirishsurat va maxrajni umumiy boʻluvchiga boʻlish; ingl. simplifying
- Kengaytirishsurat va maxrajni bir xil songa koʻpaytirish; ingl. expanding
- Qisqarmas kasrsurat va maxrajining umumiy boʻluvchisi 1 boʻlgan kasr; ingl. fraction in lowest terms
- Umumiy boʻluvchiikkala sonni ham qoldiqsiz boʻluvchi son; ingl. common divisor
- EKUBeng katta umumiy boʻluvchi; ingl. greatest common divisor
- Umumiy maxrajikki kasrni bir xil boʻlakka keltiruvchi maxraj; ingl. common denominator
- Ulushbutunning qanchasi ekanini bildiruvchi kasr; ingl. share
Esda qoladigan uch narsa
- Surat va maxrajni bir xil songa koʻpaytirsangiz yoki boʻlsangiz, kasr oʻzgarmaydi. Faqat koʻpaytirish va boʻlish — ayirish emas.
- EKUB kasrni bir qadamda qisqartiradi.
- Taqqoslash uchun umumiy maxraj kerak. Boʻlaklar bir xil boʻlmasa, solishtirib boʻlmaydi.