Mathematics

PM-17: Kasrlarni qoʻshish va ayirish — umumiy maxraj

1/2 + 1/3 nega 2/5 emas? Bir xil maxrajli kasrlarni qoʻshish, umumiy maxrajni EKUK bilan topish va javobni qisqartirish.

powerty

Aug. 11, 2026

5 4 min 0

PM-17: Kasrlarni qoʻshish va ayirish — umumiy maxraj

Bekzod devorning 1/3 qismini birinchi kuni, 1/4 qismini ikkinchi kuni boʻyadi. Otasi soʻradi: «Qanchasi tayyor?» Bekzod tez javob berdi: «Ikki qoʻshuv bir — uch; uch qoʻshuv toʻrt — yetti. 2/7 boʻlibdi». Bu javob notoʻgʻri, va nega notoʻgʻri ekanini tushunish bugungi darsning oʻzi.

Bu darsda siz

bir xil maxrajli kasrlarni bir soniyada qoʻshasiz;
maxrajlar nega hech qachon qoʻshilmasligini tushunasiz;
EKUK yordamida eng kichik umumiy maxrajni topasiz;
javobni qisqartirib, tugallangan koʻrinishda yozasiz.

Bir xil maxrajda suratlarni qoʻshamiz · maxraj oʻzgarmaydi

1. Boʻlaklar bir xil boʻlsa

Nonning 1/8 qismi va yana 3/8 qismi — qancha? Boʻlaklar bir xil kattalikda, shuning uchun ularni oddiygina sanaymiz: bitta boʻlak va uchta boʻlak — toʻrtta boʻlak.

1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2

Toʻrtta sakkizdan bir — nonning yarmi. Javobni PM-16 dagidek qisqartirdik.

Maxraj nega qoʻshilmaydi

Maxraj — boʻlakning nomi, soni emas. «Uchta olma + ikkita olma = beshta olma» deymiz, «beshta olmaolma» demaymiz. Xuddi shunday: 1/8 + 3/8 = 4/8, hech qachon 4/16 emas.

Ayirish ham xuddi shunday ishlaydi:

7/9 − 4/9 = 3/9 = 1/3

Toʻqqizta boʻlakdan yettitasi bor edi, toʻrttasi ketdi.

2. Boʻlaklar har xil boʻlsa

Endi Bekzodning masalasi. 1/3 + 1/4. Bu yerda boʻlaklar har xil kattalikda — uchdan bir chorakdan katta. Har xil narsani qoʻshib boʻlmaydi, avval ularni bir xil boʻlakka aylantirish kerak.

1/3 = 4/12

1/4 = 3/12

Ikkalasi ham oʻn ikkidan boʻlakka aylandi

EKUK(3, 4) = 12 Eng kichik umumiy maxraj — PM-8 dagi usul

1/3 = 4/12 12 ÷ 3 = 4, demak ikkalasini 4 ga koʻpaytirdik

1/4 = 3/12 12 ÷ 4 = 3, ikkalasini 3 ga koʻpaytirdik

4/12 + 3/12 = 7/12 Endi boʻlaklar bir xil — suratlarni qoʻshdik

Demak devorning 7/12 qismi boʻyalgan, 2/7 emas. Farqni koʻring: 7/12 yarmidan biroz koʻp, 2/7 esa uchdan birdan ham kam. Bekzodning javobi juda katta xato edi.

Tez tekshiruv

Qoʻshishda javob har ikkala qoʻshiluvchidan ham katta boʻlishi shart. Bekzodning javobi 2/7 esa 1/3 dan kichik chiqqan edi — bu allaqachon xato ekanini koʻrsatib turibdi.

3. Bir maxraj ikkinchisiga boʻlinsa

Baʼzida umumiy maxrajni izlash shart emas — u allaqachon oldingizda turadi.

2/3 − 1/6 6 soni 3 ga boʻlinadi — demak umumiy maxraj 6

= 4/6 − 1/6 Faqat birinchi kasrni kengaytirdik

= 3/6 = 1/2 Ayirdik va qisqartirdik

4. Uch qadamlik tartib

Umumiy maxrajni toping — maxrajlarning EKUK i.
Har bir kasrni kengaytiring — umumiy maxrajni oʻz maxrajiga boʻling va chiqqan songa surat bilan maxrajni koʻpaytiring.
Suratlarni qoʻshing yoki ayiring, maxrajni oʻzgarishsiz qoldiring, keyin javobni qisqartiring.

2/5 + 3/10 = 4/10 + 3/10 = 7/10

EKUK(5, 10) = 10. Faqat birinchi kasr kengaydi.

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

EKUK(2, 3) = 6. «Ikki qoʻshuv uch — besh» degan javob (2/5) butunlay boshqa son.

5. Matnli masala

Masala

Afsona kitobning 1/4 qismini dushanba, 2/5 qismini seshanba kuni oʻqidi. Kitobning qanchasi qolgan?

Diqqat: soʻralgani oʻqilgani emas, qolgani. Demak ikki qadam kerak.

EKUK(4, 5) = 20 Umumiy maxraj

1/4 = 5/20 · 2/5 = 8/20 20 ÷ 4 = 5 va 20 ÷ 5 = 4

5/20 + 8/20 = 13/20 Oʻqilgan qism

20/20 − 13/20 = 7/20 Butun kitob — 20/20; qolgani 7/20

Tekshiramiz

13/20 + 7/20 = 20/20 = 1 ✓ Butun kitob qaytdi. Va 13/20 yarmidan sal koʻproq — Afsona kitobning yarmidan koʻpini oʻqigan, demak javob mantiqiy.

Butunni kasr koʻrinishida yozish

Butundan kasr ayirish uchun butunni maxraj/maxraj koʻrinishida yozing: 1 = 20/20, 1 = 12/12, 1 = 8/8. Shundan keyin ayirish oddiy boʻlib qoladi.

Koʻp uchraydigan xatolar

1/2 + 1/3 = 2/5

1/2 + 1/3 = 5/6

Suratlar ham, maxrajlar ham qoʻshib yuborilgan. Maxraj — boʻlakning nomi; u qoʻshilmaydi.

3/8 + 1/8 = 4/16

3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2

Maxrajlar allaqachon bir xil edi — ularni qoʻshishning hech qanday sababi yoʻq.

1/3 + 1/6 = 2/9 (maxrajlarni koʻpaytirdim, keyin adashdim)

1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

Umumiy maxrajga keltirganda surat ham oʻzgarishi kerak. Maxrajni oʻzgartirib, suratni joyida qoldirish — eng koʻp uchraydigan yoʻqotish.

Mashq

1. 2/7 + 3/7 = ?

Javobni koʻrish

5/7. Maxrajlar bir xil — faqat suratlarni qoʻshamiz.

2. 5/6 − 1/6 = ?

Javobni koʻrish

4/6 = 2/3. Ayirdik va qisqartirdik — javob doim qisqarmas koʻrinishda yoziladi.

3. 1/2 + 1/4 = ?

Javobni koʻrish

3/4. 4 soni 2 ga boʻlinadi, demak umumiy maxraj 4: 2/4 + 1/4 = 3/4.

4. 3/4 − 2/3 = ?

Javobni koʻrish

1/12. EKUK(4, 3) = 12: 9/12 − 8/12 = 1/12. Javob juda kichik chiqdi — toʻgʻri, chunki 3/4 va 2/3 bir-biriga juda yaqin sonlar.

5. Dilnoza pulining 1/5 qismiga daftar, 1/2 qismiga kitob oldi. Pulining qanchasi qoldi?

Javobni koʻrish

3/10. EKUK(5, 2) = 10: 2/10 + 5/10 = 7/10 sarflandi. 10/10 − 7/10 = 3/10 qoldi. Tekshiruv: 7/10 + 3/10 = 10/10 = 1 ✓

Kalit soʻzlar

Umumiy maxrajikki kasrni bir xil boʻlakka keltiruvchi maxraj; ingl. common denominator
Eng kichik umumiy maxrajmaxrajlarning EKUK i; ingl. least common denominator
EKUKeng kichik umumiy karrali; ingl. least common multiple
Kengaytirishkasrni kattaroq maxrajli teng kasrga aylantirish; ingl. expanding
Yigʻindiqoʻshish natijasi; ingl. sum
Ayirmaayirish natijasi; ingl. difference
Qisqarmas kasroxirigacha qisqartirilgan kasr; ingl. fraction in lowest terms
Butunmaxraj/maxraj koʻrinishida yoziladi: 1 = 12/12; ingl. whole

Esda qoladigan uch narsa

Maxrajlar bir xil boʻlsa — faqat suratlarni qoʻshing. Maxraj hech qachon qoʻshilmaydi.
Har xil boʻlsa — EKUK bilan umumiy maxrajga keltiring, suratni ham birga oʻzgartirib.
Javobni qisqartiring va tekshiring: qoʻshishda natija ikkala qoʻshiluvchidan ham katta boʻlishi kerak.