PM-18: Kasrlarni koʻpaytirish va boʻlish
Yarimning uchdan biri qancha? Kasrni butun songa va kasrga koʻpaytirish, «dan» soʻzi nega koʻpaytirish ekani va boʻlishning haqiqiy maʼnosi.
PM-18: Kasrlarni koʻpaytirish va boʻlish
Retsept olti kishiga moʻljallangan va unda 1/2 stakan yogʻ deyilgan. Nodira opa esa ikki kishiga osh damlamoqchi — demak retseptning uchdan bir qismi kerak. Savol: yarim stakanning uchdan biri qancha? Bu masala kasrlarni koʻpaytirishga olib keladi.
Bu darsda siz
- kasrni butun songa va kasrni kasrga koʻpaytirasiz;
- «…ning …dan biri» degan iborani koʻpaytirish deb oʻqiysiz;
- koʻpaytma nega kichrayishini tushunasiz;
- kasrga boʻlishning maʼnosini bilasiz: «nechtasi sigʻadi?»
1. Kasrni butun songa koʻpaytirish
Bu eng tanish holat, chunki koʻpaytirish — takroriy qoʻshish (PM-3).
3 × 1/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
Uchta sakkizdan bir boʻlak — 3/8. Boʻlaklar soni oshdi, boʻlakning kattaligi esa oʻzgarmadi.
Demak butun son faqat suratga koʻpaytiriladi.
5 × 1/10 = 5/10 = 1/2
Beshta oʻndan bir — yarim.
2. «Dan» soʻzi — bu koʻpaytirish
Bu darsning kaliti. Matnli masalada «…ning …qismi» yoki «…ning …dan biri» uchrasa, u koʻpaytirish demakdir.
| Matnda shunday deyiladi | Matematikada | Misol |
|---|---|---|
| yarmining uchdan biri | 1/2 × 1/3 | = 1/6 |
| 24 ning toʻrtdan uchi | 3/4 × 24 | = 18 |
| 3/4 kilogrammning yarmi | 1/2 × 3/4 | = 3/8 |
PM-15 da 24 ning 3/4 qismini ikki qadamda topgan edik (24 ÷ 4, keyin × 3). Endi uning nomini ham bilamiz: bu koʻpaytirish edi.
3. Kasrni kasrga koʻpaytirish
Nodira opaning masalasi: 1/2 × 1/3. Rasm hamma narsani aytib beradi.
3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2
Suratlar: 3 × 2 = 6. Maxrajlar: 4 × 3 = 12. Keyin qisqartirdik.
Koʻpaytirdik — lekin kichraydi!
Butun sonlarda koʻpaytirish sonni oshiradi: 6 × 3 = 18. Kasrda esa teskarisi boʻlishi mumkin: 1/2 × 1/3 = 1/6, yaʼni yarmidan ham kichik.
Sabab oddiy: 1 dan kichik songa koʻpaytirish — boʻlakni olish demak. «Yarmining uchdan biri» yarimdan kichik boʻlishi tabiiy.
4. Kasrni butun songa boʻlish
Yarim nonni 3 bolaga teng boʻlsak, har biriga qancha tegadi? Yarim non yana uchga boʻlinadi — yaʼni butun oltiga boʻlingan boʻladi.
3/4 ÷ 3 = 1/4
3/4 kilogramm guruch uch kishiga — har biriga 1/4 kilogramm. Bu yerda surat 3 ga boʻlindi.
5. Kasrga boʻlish — «nechtasi sigʻadi?»
Boʻlishning ikkinchi maʼnosi bor va u aynan shu yerda kerak boʻladi: nechta marta sigʻadi?
Savol
Yarim litr sut bor. Har bir chashka 1/6 litr sigʻdiradi. Nechta chashka toʻldiriladi?
Son oʻqida sanaymiz: 1/6, 2/6, 3/6 — uchinchi belgida yarimga yetdik. Demak 1/2 ÷ 1/6 = 3. Javob butun son chiqdi, chunki savol «nechta boʻlak?» degan edi.
Qoida
Birlik kasrga boʻlish — uning maxrajiga koʻpaytirish demak:
÷ 1/6 = × 6 · ÷ 1/4 = × 4.
Chunki bitta butunda oltita 1/6 bor. Boʻlaklar qancha kichik boʻlsa, ular shuncha koʻp sigʻadi.
3/4 ÷ 1/4 = 3/4 × 4 = 3
3/4 kilogramm unda nechta 1/4 kilogrammlik paket bor? Uchta.
6. Matnli masala
Masala
Retsept 6 kishiga moʻljallangan: 1/2 stakan yogʻ va 3/4 kg guruch. Nodira opa 2 kishiga osh damlamoqchi. Unga qancha yogʻ va qancha guruch kerak?
Nima soʻralyapti? Ikkita miqdor. Reja: 2 kishi — 6 kishining uchdan biri, demak har bir mahsulotning 1/3 qismini olamiz.
Tekshiramiz
Teskari yoʻldan yuramiz: agar bir ulush 1/6 stakan boʻlsa, uchta ulush 3 × 1/6 = 3/6 = 1/2 stakan beradi ✓ Guruch: 3 × 1/4 = 3/4 kg ✓ Ikkalasi ham retseptga qaytdi.
Koʻp uchraydigan xatolar
1/2 × 1/3 = 2/6
1/2 × 1/3 = 1/6
Koʻpaytirishda suratlar ham koʻpaytiriladi: 1 × 1 = 1, qoʻshilmaydi. 2/6 javobi suratlarni qoʻshib yuborganda chiqadi.
1/2 × 1/3 > 1/2, chunki koʻpaytirdik
1/2 × 1/3 < 1/2
1 dan kichik songa koʻpaytirish natijani kichraytiradi. «Yarmining uchdan biri» yarimdan katta boʻlishi mumkin emas.
1/2 ÷ 3 = 3/2
1/2 ÷ 3 = 1/6
Boʻlish ulushni kichraytiradi. Yarim nonni uchga boʻlsangiz, har kimga yarimdan kam tegishi kerak.
Mashq
1. 4 × 1/9 = ?
Javobni koʻrish
4/9. Butun son faqat suratga koʻpaytiriladi — boʻlaklar soni oshadi.
2. 2/3 × 1/2 = ?
Javobni koʻrish
1/3. (2 × 1)/(3 × 2) = 2/6, qisqartirsak 1/3. «Uchdan ikkining yarmi — uchdan bir» — mantiqan ham toʻgʻri.
3. 2/5 × 5/6 = ?
Javobni koʻrish
1/3. (2 × 5)/(5 × 6) = 10/30, EKUB(10, 30) = 10, demak 1/3.
4. 1/2 ÷ 1/8 = ?
Javobni koʻrish
4. Savol: yarimga nechta 1/8 sigʻadi? 1/2 = 4/8, demak toʻrtta. Qoida bilan: ÷ 1/8 = × 8, 1/2 × 8 = 4.
5. Bir bogʻ yerning 3/4 qismi ekilgan. Ekilgan qismning 1/3 i — pomidor. Pomidor butun yerning qaysi qismini egallaydi?
Javobni koʻrish
1/4. «Ekilgan qismning uchdan biri» — bu 1/3 × 3/4 = 3/12 = 1/4. Diqqat: 1/3 butun yerdan emas, faqat ekilgan qismdan olindi.
Kalit soʻzlar
- Koʻpaytmakoʻpaytirish natijasi; ingl. product
- Boʻlinmaboʻlish natijasi; ingl. quotient
- Birlik kasrsurati 1 boʻlgan kasr: 1/6, 1/8; ingl. unit fraction
- Kasrning qismi«…ning …qismi» — koʻpaytirish bilan topiladi; ingl. fraction of
- Qisqartirishjavobni eng sodda koʻrinishga keltirish; ingl. simplifying
- Teskari amalkoʻpaytirishni bekor qiluvchi boʻlish; ingl. inverse operation
- Ulushbir kishiga yoki bir qismga tegadigan miqdor; ingl. share
- Retseptmiqdorlari kasr bilan berilgan tayyorlash tartibi; ingl. recipe
Esda qoladigan uch narsa
- Koʻpaytirish: surat suratga, maxraj maxrajga, keyin qisqartiring.
- «…ning …qismi» — koʻpaytirish. Va 1 dan kichik songa koʻpaytirish natijani kichraytiradi.
- Birlik kasrga boʻlish — maxrajiga koʻpaytirish: ÷ 1/6 = × 6, chunki savol «nechtasi sigʻadi?» degani.