Mathematics

PM-28: Proporsiya, masshtab, toʻgʻri va teskari proporsionallik

Ikki teng nisbat — proporsiya, va uning asosiy xossasi. Xaritadagi masshtabni oʻqish, toʻgʻri proporsionallikni teskarisidan ajratish va «bir birlik» usuli bilan hisoblash.

powerty

Aug. 11, 2026

4 6 min 0

PM-28: Proporsiya, masshtab, toʻgʻri va teskari proporsionallik

Bozorda 5 kilogramm olma 60 000 soʻm turibdi. Sizga 8 kilogramm kerak. Sotuvchi kalkulyator qidirguncha javobni topsa boʻladi — chunki bu yerda ikki miqdor bir-biriga bogʻlangan: olma koʻpaysa, pul ham xuddi shuncha marta koʻpayadi. Shu bogʻlanishning nomi — proporsionallik.

Bu darsda siz

proporsiyani yozasiz va uning asosiy xossasini qoʻllaysiz;
nomaʼlum hadni «bir birlik» usuli bilan topasiz;
xaritadagi masshtabni kilometrga aylantirasiz;
toʻgʻri proporsionallikni teskarisidan ajratasiz.

Proporsiya a : b = c : d → a × d = b × c · teskarisi: a × b = c × d

1. Proporsiya — ikki teng nisbat

PM-27 da koʻrdik: 12 : 18 va 2 : 3 — bitta nisbatning ikki koʻrinishi. Ikki teng nisbat yonma-yon yozilsa, u proporsiya deyiladi:

12 : 18 = 2 : 3

Oʻn ikkining oʻn sakkizga nisbati ikkining uchga nisbatiday.

Ikkala nisbat ham qisqartirilganda bir xil boʻladi.

Proporsiyani kasr koʻrinishida yozish qulayroq — shunda tekshirish oson boʻladi:

12/18 = 2/3 Nisbat — aslida kasr (PM-15)

12 × 3 = 36 va 18 × 2 = 36 Kesishma koʻpaytmalar teng chiqdi

36 = 36 ✓ Demak bu haqiqatan ham proporsiya

Proporsiyaning asosiy xossasi

Chetdagi ikki sonning koʻpaytmasi oʻrtadagi ikki sonning koʻpaytmasiga teng. Kasr koʻrinishida bu krest-nakrest koʻpaytirish boʻlib koʻrinadi: yuqoridagi birinchi son pastdagi ikkinchisiga, pastdagi birinchi son yuqoridagi ikkinchisiga.

2. Nomaʼlum hadni topish

Proporsiyaning uchta hadi maʼlum, bittasi nomaʼlum boʻlsa, uni topsa boʻladi. Nomaʼlumni hozircha ? bilan belgilaymiz.

3/4 = ?/20 Berilgan proporsiya

4 → 20: 20 ÷ 4 = 5 marta oshdi Maxraj necha marta kattalashganini koʻramiz

? = 3 × 5 = 15 Surat ham xuddi shuncha marta kattalashishi kerak

Tekshiramiz

Asosiy xossa bilan: 3 × 20 = 60 va 4 × 15 = 60 ✓ Ikki yoʻl bir xil javob berdi.

3. «Bir birlik» usuli — eng ishonchli yoʻl

Bozordagi savolga qaytamiz. 5 kg olma 60 000 soʻm boʻlsa, 8 kg qancha? Avval bitta kilogrammning narxini topamiz — bu PM-24 dagi «bir foiz» usulining oʻsha oʻzi.

60 000 ÷ 5 = 12 000 Bir kilogramm olmaning narxi

12 000 × 8 = 96 000 Sakkiz kilogramm 96 000 soʻm turadi

Taxmin 8 kg — 5 kg dan koʻp, lekin ikki baravar emas. Demak javob 60 000 dan katta, 120 000 dan kichik boʻlishi kerak. 96 000 — mos.

4. Masshtab — xarita ham proporsiya

Masshtab xaritadagi uzunlik haqiqiy uzunlikdan necha marta kichik ekanini aytadi. 1 : 100 000 degani: xaritadagi 1 santimetr yerda 100 000 santimetrga toʻgʻri keladi. Endi santimetrni kilometrga aylantiramiz:

100 000 sm = 1000 m = 1 km

Bir yuz ming santimetr — bir kilometr.

100 sm — 1 metr; 1000 m — 1 km. Demak 1 km = 100 000 sm.

1 : 500 000 masshtabda xaritadagi har santimetr — yerdagi 5 kilometr.

1 : 500 000 → 1 sm = 500 000 sm Masshtabni soʻzma-soʻz oʻqidik

500 000 sm = 5 km 100 000 sm bir kilometr edi

2 sm × 5 = 10 km Xaritadagi ikki santimetr — oʻn kilometr yoʻl

Masshtabda birlik yozilmaydi — chunki u ikkala tomonda bir xil

1 : 500 000 degani «bir santimetrga besh yuz ming santimetr», «bir millimetrga besh yuz ming millimetr» ham degani. Nisbat birlikka bogʻliq emas. Kilometrga faqat oxirida oʻtasiz.

5. Toʻgʻri va teskari proporsionallik

Hamma bogʻlanish ham «biri oshsa, ikkinchisi oshadi» degani emas. Ikki xili bor va ularni ajratish bu darsning eng muhim koʻnikmasi.

Toʻgʻri proporsionallik

Biri necha marta oshsa, ikkinchisi ham shuncha marta oshadi. Boʻlinmasi oʻzgarmaydi.
Olma va pul, vaqt va bosib oʻtilgan yoʻl, kishilar soni va kerakli guruch.

Teskari proporsionallik

Biri necha marta oshsa, ikkinchisi shuncha marta kamayadi. Koʻpaytmasi oʻzgarmaydi.
Tezlik va vaqt, ishchilar soni va kunlar, quti hajmi va qutilar soni.

Teskari proporsionallikka misol. 4 ishchi ishni 12 kunda bajaradi. Xuddi shu ishni 6 ishchi necha kunda bajaradi?

4 × 12 = 48 Ish hajmi — 48 ishchi-kun, u oʻzgarmaydi

48 ÷ 6 = 8 kun Ishchi koʻpaydi — kun kamaydi

Bu yerda proporsiya tuzib boʻlmaydi

Agar 4/12 = 6/? deb yozsangiz, 18 kun degan mantiqsiz javob chiqadi: ishchi koʻpaygani bilan ish uzoqroq davom etarmidi? Teskari bogʻlanishda koʻpaytiriladi, proporsiya esa faqat toʻgʻri bogʻlanishga yaraydi. Javobni yozishdan oldin oʻzingizga bitta savol bering: biri oshsa, ikkinchisi oshadimi yoki kamayadimi?

Matnli masala

Toshkentdan Samarqandga yoʻl. Bekzod xaritada ikki shahar orasini oʻlchadi — 28 santimetr chiqdi. Xarita masshtabi 1 : 1 000 000. Mashina soatiga 80 kilometr tezlik bilan yuradi.

Savol: yoʻl necha kilometr va u necha soat davom etadi? Tezlik 70 km/soatga tushsa-chi?

Reja: avval masshtab bilan masofani topamiz, keyin masofani tezlikka boʻlamiz. Tezlik va vaqt — teskari proporsional, shuning uchun tezlik kamaysa vaqt ortishi kerak.

1 : 1 000 000 → 1 sm = 10 km 1 000 000 sm = 10 000 m = 10 km

28 × 10 = 280 km Xaritadagi 28 sm — 280 kilometr

280 ÷ 80 = 3,5 soat Uch yarim soat — 3 soat 30 daqiqa

280 ÷ 70 = 4 soat Tezlik kamaydi — vaqt ortdi ✓

Tekshiramiz

Koʻpaytma oʻzgarmasligi kerak edi: 80 × 3,5 = 280 ✓ va 70 × 4 = 280 ✓ Ikkala holatda ham yoʻl bir xil — demak hisob toʻgʻri.

Koʻp uchraydigan xatolar

1 : 100 000 masshtabda 1 sm = 100 000 km

1 sm = 100 000 sm = 1 km

Birlik almashtirilmagan. Masshtabdagi son santimetrni bildiradi; kilometrga oʻtish uchun 100 000 ga boʻlish kerak.

4 ishchi 12 kun → 6 ishchi 18 kun

4 × 12 = 48; 48 ÷ 6 = 8 kun

Teskari bogʻlanishga proporsiya qoʻllangan. Nazorat: ishchi koʻpaysa ish tezroq tugaydi, demak javob 12 dan kichik boʻlishi shart edi.

5 kg 60 000 boʻlsa, 8 kg = 60 000 × 8 = 480 000

60 000 ÷ 5 = 12 000; 12 000 × 8 = 96 000

Avval bir birlikning narxi topilmagan. 480 000 — bu 40 kilogramm olmaning puli.

Mashq

1. Proporsiyadagi nomaʼlumni toping: 2/5 = 6/?

Javobni koʻrish

15. Surat 3 marta oshdi (2 → 6), demak maxraj ham: 5 × 3 = 15. Tekshirish: 2 × 15 = 30 va 5 × 6 = 30 ✓

2. 4 kishi uchun 600 gramm guruch kerak. 6 kishiga qancha?

Javobni koʻrish

900 gramm. Bir kishiga 600 ÷ 4 = 150 g; 150 × 6 = 900 g. Toʻgʻri proporsionallik: odam koʻpaysa guruch ham koʻpayadi.

3. Masshtab 1 : 25 000. Xaritadagi 4 sm yerda necha metr?

Javobni koʻrish

1000 metr, yaʼni 1 km. 1 sm = 25 000 sm = 250 m; 250 × 4 = 1000 m.

4. Mashina 60 km/soat tezlikda 4 soat yurdi. Xuddi shu yoʻlni 80 km/soat tezlikda necha soatda bosib oʻtadi?

Javobni koʻrish

3 soat. Yoʻl 60 × 4 = 240 km; 240 ÷ 80 = 3. Tezlik va vaqt teskari proporsional — tezlik oshdi, vaqt kamaydi.

5. Uch nafar usta hovlini 8 kunda gʻishtlaydi. Ish muddatini 6 kunga qisqartirish uchun nechta usta kerak?

Javobni koʻrish

4 usta. Ish hajmi 3 × 8 = 24 usta-kun; 24 ÷ 6 = 4. Kun kamaydi — usta koʻpaydi, demak bogʻlanish teskari.

Kalit soʻzlar

Proporsiyaikki teng nisbatning tengligi; ingl. proportion
Hadproporsiyadagi har bir son; ingl. term
Asosiy xossachetdagilar koʻpaytmasi oʻrtadagilarnikiga teng; ingl. cross product
Masshtabxaritadagi va haqiqiy uzunlik nisbati; ingl. scale
Toʻgʻri proporsionallikbirga oshadigan bogʻlanish; ingl. direct proportion
Teskari proporsionallikbiri oshsa, ikkinchisi kamayadigan bogʻlanish; ingl. inverse proportion
Bir birlik usuliavval bittasining qiymatini topish; ingl. unitary method
Tezlikbir soatda bosib oʻtilgan yoʻl; ingl. speed

Esda qoladigan uch narsa

Proporsiya — ikki teng nisbat. Asosiy xossasi: krest-nakrest koʻpaytmalar teng.
Masshtabdagi son — santimetrda. 1 : 100 000 → 1 sm = 1 km.
Avval bogʻlanish turini aniqlang: toʻgʻrisida boʻlinma, teskarisida koʻpaytma oʻzgarmaydi.