PM-41: Modul: sondan noldan masofagacha
|−5| nima uchun 5 ga teng. Modul — noldan masofa, shuning uchun u hech qachon manfiy boʻlmaydi. Ikki son orasidagi masofa va |x| = a koʻrinishidagi tenglamalar.
PM-41: Modul: sondan noldan masofagacha
Kecha havo −5 gradus edi, bugun +5. Qaysi kun noldan uzoqroq? Ikkalasi ham bir xil — beshtadan. Biri sovuq tomonga, ikkinchisi issiq tomonga, lekin noldan masofasi teng. Mana shu «noldan masofa» degan tushunchaning nomi — modul.
Bu darsda siz
- modulni masofa sifatida tushunasiz;
- musbat va manfiy sonning modulini topasiz;
- ikki son orasidagi masofani modul bilan yozasiz;
- |x| = a koʻrinishidagi tenglamani yechasiz.
1. Modul — masofa, yoʻnalish emas
Son oʻqida nolni markaz deb olamiz. Har bir sonning noldan qancha uzoqda turishi — uning moduli. Yoʻnalish (oʻngdami, chapdami) hisobga olinmaydi.
Ikkala nuqta ham noldan besh qadam narida turibdi. Shuning uchun |−5| = 5 va |5| = 5.
Modul minusni «yeb yubormaydi» — u masofani oʻlchaydi
«Modul minusni tashlab yuboradi» degan qoida natijani toʻgʻri beradi, lekin sababini yashiradi. Toʻgʻri fikr shu: modul qancha uzoq degan savolga javob beradi, qaysi tomonda degan savolga emas. Masofa esa manfiy boʻlmaydi — «minus uch qadam yurdim» degan gap yoʻq.
2. Modulning uchta oddiy xossasi
| Xossa | Misol | Nega |
|---|---|---|
| |a| ≥ 0 doim | |−7| = 7 | masofa manfiy boʻlmaydi |
| |a| = |−a| | |3| = |−3| = 3 | qarama-qarshi sonlar noldan teng uzoqlikda |
| |0| = 0 | — | nol nolning oʻzida turibdi |
Modul ichida avval hisoblanadi
|3 − 8| ni hisoblash uchun avval qavs ichidagidek ish qilamiz: 3 − 8 = −5, keyin modul olamiz — javob 5. Alohida-alohida modul olib |3| − |8| = −5 qilish xato: modul chizigʻi qavs vazifasini ham bajaradi.
3. Ikki son orasidagi masofa
Modulning eng foydali qoʻllanishi shu: |a − b| — bu a va b orasidagi masofa. Qaysi birini birinchi yozganingiz ahamiyatsiz, chunki javob baribir musbat chiqadi.
|7 − 3| = |4| = 4 va |3 − 7| = |−4| = 4
Uch bilan yetti orasidagi masofa — toʻrt qadam.
Tartib almashsa ayirmaning ishorasi almashadi, lekin masofa oʻzgarmaydi.
|8 − (−5)| = |13| = 13
Sakkiz gradus issiq bilan besh gradus sovuq orasida 13 gradus farq bor.
Nolning ikki tomonidagi sonlar orasidagi masofa ularning modullari yigʻindisiga teng: 8 + 5 = 13.
Katta sondan kichigini ayiring — modul kerak boʻlmaydi
Ikki son orasidagi masofani hisoblayotganda kattasini birinchi yozsangiz, ayirma allaqachon musbat chiqadi va modulni yozib oʻtirmasangiz ham boʻladi. Modul esa tartibni oʻylab oʻtirmaslik imkonini beradi — ayniqsa harflar bilan ishlaganda, qaysi biri katta ekani nomaʼlum boʻlsa.
4. |x| = a tenglamasi
«Moduli 5 ga teng son qaysi?» degan savolga ikkita javob bor: 5 va −5. Ikkalasi ham noldan besh qadam narida.
|x| = 0
Faqat bitta yechim: x = 0. Noldan nol qadam uzoqlikda turgan yagona son — nolning oʻzi.
|x| = −3
Yechimi yoʻq. Masofa manfiy boʻlolmaydi, shuning uchun bunday x mavjud emas.
Matnli masala
Harorat farqi. Yanvar oyida bir kunda kunduzi harorat +8 gradus, kechasi esa −5 gradus boʻldi. Ertasi kuni kunduzi +3, kechasi −1 gradus.
Savol: qaysi kunning kunduzi bilan kechasi orasidagi farq katta va qanchaga katta?
Reja: har kun uchun ikki harorat orasidagi masofani modul bilan hisoblaymiz, keyin ularni taqqoslaymiz.
Tekshiramiz
Son oʻqida sanaymiz: −5 dan 0 gacha 5 qadam, 0 dan 8 gacha 8 qadam; jami 13 ✓ Ikkinchi kun: 1 + 3 = 4 ✓ Modulsiz ham shu javob chiqdi — modul bu sanashning qisqa yozuvi.
Koʻp uchraydigan xatolar
|−5| = −5
|−5| = 5
Modul — masofa, u manfiy boʻlolmaydi. «Minus besh qadam uzoqlikda» degan gap maʼnosiz.
|3 − 8| = |3| − |8| = −5
|3 − 8| = |−5| = 5
Modul chizigʻi qavs vazifasini bajaradi: avval ichidagi hisoblanadi. Va javob baribir musbat chiqishi kerak edi.
|x| = 7 → x = 7
x = 7 yoki x = −7
Ikkinchi yechim tushirib qoldirilgan. Noldan yetti qadam narida ikkita nuqta bor — biri oʻngda, biri chapda.
Mashq
1. |−12| ni hisoblang.
Javobni koʻrish
12. Noldan oʻn ikki qadam uzoqlikda.
2. |4 − 9| ni hisoblang.
Javobni koʻrish
5. Avval ichidagi: 4 − 9 = −5; keyin modul: |−5| = 5.
3. |−6| + |−4| ni hisoblang.
Javobni koʻrish
10. Har bir modul alohida olinadi: 6 + 4 = 10.
4. |x| = 9 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 9 yoki x = −9. Ikkala son ham noldan toʻqqiz qadam narida.
5. Muzxonada harorat −18 gradus, xonada +22 gradus. Ular orasidagi farq necha gradus?
Javobni koʻrish
40 gradus. |22 − (−18)| = |40| = 40. Nolning ikki tomonidagi sonlar boʻlgani uchun modullar qoʻshiladi: 22 + 18 = 40.
Kalit soʻzlar
- Modulsonning noldan masofasi, |a|; ingl. absolute value
- Masofaikki nuqta orasidagi uzunlik; ingl. distance
- Qarama-qarshi sonlar5 va −5 kabi juftlik; ingl. opposite numbers
- Manfiy sonnoldan kichik son; ingl. negative number
- Musbat sonnoldan katta son; ingl. positive number
- Ishorasonning plyus yoki minusi; ingl. sign
- Son oʻqisonlar tartib bilan joylashgan chiziq; ingl. number line
- Farqikki qiymat orasidagi ayirma; ingl. difference
Esda qoladigan uch narsa
- Modul — noldan masofa, shuning uchun u hech qachon manfiy boʻlmaydi.
- |a − b| — ikki son orasidagi masofa; tartib ahamiyatsiz.
- |x| = a tenglamasining ikkita yechimi bor (a > 0 boʻlsa): a va −a.