PM-40: Tengsizlik va uni son oʻqida koʻrsatish
«Kamida», «koʻpi bilan», «oshmasin» degan soʻzlar belgiga aylanadi. Tengsizlikni tenglama kabi yechish va manfiy songa boʻlganda ishora nega teskari boʻlishi.
PM-40: Tengsizlik va uni son oʻqida koʻrsatish
Hayotdagi savollarning koʻpi «roppa-rosa qancha?» emas, «kamida qancha?» yoki «koʻpi bilan qancha?» deb beriladi. Avtobusga chiqish uchun kamida 2000 soʻm kerak; sumkaga koʻpi bilan 20 kilogramm solish mumkin; imtihondan oʻtish uchun kamida 60 ball. Bunday shartlar tenglik bilan emas, tengsizlik bilan yoziladi.
Bu darsda siz
- toʻrtta tengsizlik belgisini oʻqiysiz va yozasiz;
- soʻzni belgiga aylantirasiz: «kamida» → ≥;
- tengsizlikni tenglama kabi yechasiz;
- manfiy songa boʻlganda ishorani teskari qilasiz.
1. Belgilarni oʻqish
x < 7 — «x yettidan kichik». x ≤ 7 — «x yettidan katta emas», yaʼni x yetti ham boʻlishi mumkin. Kichkina chiziqcha butun bir soʻzni bildiradi: yoki teng.
Belgi ochiq tomoni bilan kattaga qaraydi
< va > belgilarining uchi ingichka, ogʻzi keng. Ogʻzi doim kattaroq tomonga qaraydi: 3 < 8 da ogʻiz sakkiz tomonda. Adashsangiz shu qoidani eslang.
2. Soʻzdan belgiga
PM-30 dagi lugʻatning davomi. Matnli masalalarda aynan shu soʻzlar tengsizlikni boshlab beradi.
| Matnda shunday deyiladi | Belgisi | Misol |
|---|---|---|
| …dan kichik, …dan kam | < | x < 10 |
| …dan katta, …dan koʻp | > | x > 10 |
| kamida, …dan kam emas | ≥ | x ≥ 60 |
| koʻpi bilan, oshmasin | ≤ | x ≤ 20 |
| yetarli | ≥ | pul ≥ narx |
| sigʻadi, joylashadi | ≤ | ogʻirlik ≤ 20 |
«Kamida» va «koʻpi bilan» — eng koʻp adashtiradigan juftlik
«Kamida 60 ball» degani 60 ham boʻladi, 59 esa yoʻq: ≥ 60. «Koʻpi bilan 20 kg» degani 20 boʻlsa mayli, 21 boʻlsa yoʻq: ≤ 20. Ikkalasida ham chegaraning oʻzi hisobga kiradi — shuning uchun ostiga chiziqcha qoʻyiladi.
3. Son oʻqida koʻrsatish
Tengsizlikning javobi bitta son emas, sonlar toʻplami. Uni son oʻqida boʻyalgan qism bilan koʻrsatamiz. Chegara nuqtasi javobga kirsa — toʻla doiracha, kirmasa — ichi boʻsh doiracha.
Yuqoridagi rasm x > 6 ni koʻrsatadi: oltidan oʻngdagi hamma son javob, oltining oʻzi esa yoʻq — shuning uchun doiracha ichi boʻsh. Agar x ≥ 6 boʻlsa, doiracha toʻla boʻyalardi.
4. Yechish — tenglamadagidek
Yaxshi xabar: tengsizlik ham xuddi tenglama kabi yechiladi. Ikki tomonga bir xil son qoʻshamiz, ayiramiz, koʻpaytiramiz yoki boʻlamiz.
Tekshiramiz
Javob toʻplam boʻlgani uchun ikkita sonni sinaymiz. x = 5 (javob ichida): 2 × 5 + 3 = 13 < 15 ✓ x = 7 (javobdan tashqarida): 2 × 7 + 3 = 17 < 15 emas ✓ Tengsizlikni shunday tekshiring: bittasi ichkaridan, bittasi tashqaridan.
5. Manfiy songa boʻlsangiz — ishora teskari
Mana bu — butun darsdagi yagona yangi qoida va u juda muhim. Nega shunday boʻlishini bir misolda koʻramiz.
3 < 5 — bu rost. Endi ikkala tomonni −1 ga koʻpaytiramiz: chapda −3, oʻngda −5 chiqadi. Ammo −3 > −5! Manfiy sonlarda tartib teskari (PM-9): son oʻqida −3 oʻngroqda turadi.
Faqat MANFIY songa koʻpaytirish yoki boʻlishda
Musbat songa koʻpaytirsangiz ham, boʻlsangiz ham ishora oʻzgarmaydi. Qoʻshish va ayirishda ham hech nima oʻzgarmaydi. Ishora faqat manfiy songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda teskari aylanadi.
Matnli masala
Sayohat byudjeti. Sherbekning jami 200 000 soʻmi bor. Borish-kelish yoʻl kirasi 45 000 soʻm, har bir kun uchun esa ovqat va boshqa xarajatga 20 000 soʻm ketadi.
Savol: u koʻpi bilan necha kun qolishi mumkin?
Reja: kunlar sonini k deb olamiz. Xarajat pulidan oshmasligi kerak — demak «≤» belgisi ishlatiladi.
Tekshiramiz
7 kun: 45 000 + 140 000 = 185 000 ≤ 200 000 ✓ 8 kun: 45 000 + 160 000 = 205 000 — bu 200 000 dan koʻp ✗ Demak koʻpi bilan 7 kun.
Yaxlitlash yoʻnalishi masalaga bogʻliq
Bu yerda 7,75 ni pastga yaxlitladik, chunki 8 kun pulga yetmaydi. Agar savol «kamida nechta avtobus kerak?» boʻlganida va 7,75 chiqqanida, javob 8 boʻlardi — chunki 7 ta avtobusga hamma sigʻmaydi. Kalkulyator emas, maʼno yaxlitlash yoʻnalishini tanlaydi.
Koʻp uchraydigan xatolar
−3x < 12 → x < −4
−3x < 12 → x > −4
Manfiy songa boʻlinganda ishora teskari boʻladi. Tekshirish: x = 0 olsak, 0 < 12 rost — demak nol javob ichida boʻlishi kerak, x < −4 esa uni tashqarida qoldiradi.
«Kamida 60 ball» → ball > 60
ball ≥ 60
«Kamida» degani chegaraning oʻzi ham mumkin. 60 ball olgan oʻquvchi oʻtadi, shuning uchun belgi ostida chiziqcha boʻlishi shart.
2x + 3 < 15 → x < 9
2x < 12 → x < 6
Faqat 3 ayirilib, ikkiga boʻlish unutilgan. Tekshirish: x = 7 olsak 17 chiqadi va u 15 dan kichik emas.
Mashq
1. x + 5 > 12 tengsizlikni yeching.
Javobni koʻrish
x > 7. Ikki tomondan 5 ni ayirdik. Tekshirish: x = 8 → 13 > 12 ✓; x = 7 → 12 > 12 emas ✓
2. 3x ≤ 21 tengsizlikni yeching.
Javobni koʻrish
x ≤ 7. Ikki tomonni 3 ga boʻldik; 3 musbat — ishora oʻzgarmadi. x = 7 ham javob ichida.
3. −4x ≥ 20 tengsizlikni yeching.
Javobni koʻrish
x ≤ −5. Manfiy songa boʻldik — ishora teskari aylandi. Tekshirish: x = −6 → 24 ≥ 20 ✓; x = 0 → 0 ≥ 20 ✗
4. «Sumkaga koʻpi bilan 20 kg yuk solish mumkin. Unda allaqachon 12 kg bor». Yana qancha solish mumkinligini tengsizlik bilan yozing.
Javobni koʻrish
12 + m ≤ 20, demak m ≤ 8 kg. «Koʻpi bilan» — ≤ belgisi. Roppa-rosa 8 kilogramm ham mumkin.
5. Bir daftar 6000 soʻm. Afsonada 50 000 soʻm bor va u 10 000 soʻmlik ruchka ham olmoqchi. Koʻpi bilan nechta daftar ola oladi?
Javobni koʻrish
6 ta. 10 000 + 6000d ≤ 50 000 → 6000d ≤ 40 000 → d ≤ 6,66… Daftar butun boʻlgani uchun 6 ta. Tekshirish: 10 000 + 36 000 = 46 000 ≤ 50 000 ✓; 7 ta boʻlsa 52 000 — yetmaydi.
Kalit soʻzlar
- Tengsizlikikki ifoda orasidagi katta-kichik munosabat; ingl. inequality
- Qatʼiy tengsizlik< yoki >, chegara kirmaydi; ingl. strict inequality
- Qatʼiy boʻlmagan≤ yoki ≥, chegara kiradi; ingl. non-strict
- Yechimlar toʻplamitengsizlikni rost qiladigan hamma son; ingl. solution set
- Chegara nuqtatoʻplamning boshi yoki oxiri; ingl. boundary
- Son oʻqisonlar tartib bilan joylashgan chiziq; ingl. number line
- Kamidashu qiymat yoki undan koʻp, ≥; ingl. at least
- Koʻpi bilanshu qiymat yoki undan kam, ≤; ingl. at most
Esda qoladigan uch narsa
- «Kamida» → ≥, «koʻpi bilan» → ≤ — chegaraning oʻzi ham kiradi.
- Tengsizlik tenglama kabi yechiladi, faqat manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishda ishora teskari boʻladi.
- Javob — toʻplam: uni son oʻqida koʻrsating va ikki son bilan tekshiring.