PM-42: Daraja qonunlari
Bir xil asosli darajalarni koʻpaytirganda koʻrsatkichlar qoʻshiladi. Beshta qonun, a⁰ = 1 ning sababi va ulkan sonlarni 3 × 10⁸ koʻrinishida yozish.
PM-42: Daraja qonunlari
PM-12 da darajani takroriy koʻpaytirishning qisqa yozuvi sifatida koʻrgan edik: 23 = 2 × 2 × 2. Endi savol boshqa: darajalarni bir-biri bilan qanday hisoblaymiz? Javob shunchalik sodda va foydali ekanki, uni bilgan odam Yerdan Quyoshgacha boʻlgan masofani bir qatorga sigʻdiradi.
Bu darsda siz
- bir xil asosli darajalarni koʻpaytirasiz va boʻlasiz;
- darajani darajaga koʻtarasiz;
- a0 = 1 nima uchun ekanini tushunasiz;
- ulkan sonlarni standart koʻrinishda yozasiz.
1. Koʻpaytirishda koʻrsatkichlar qoʻshiladi
Qonunni yodlashning keragi yoʻq — uni har safar yozib chiqarish mumkin.
ASOSLAR bir xil boʻlishi shart
23 · 24 = 27, lekin 23 · 34 ni bunday qisqartirib boʻlmaydi — asoslar har xil. Va koʻrsatkichlar faqat koʻpaytirishda qoʻshiladi: 23 + 24 = 8 + 16 = 24, bu 27 emas.
2. Boʻlishda koʻrsatkichlar ayiriladi
35 ÷ 32 = 33 = 27
Beshta uchlikdan ikkitasi qisqardi, uchtasi qoldi.
243 ÷ 9 = 27 — oddiy hisob ham shu javobni beradi.
3. Darajani darajaga koʻtarish
(23)2 = 23 · 23 = 26 = 64
Sakkizning kvadrati — oltmish toʻrt.
Koʻrsatkichlar bu safar koʻpaytiriladi: 3 × 2 = 6.
Yana ikkita foydali qonun: koʻpaytmani darajaga koʻtarganda har bir koʻpaytuvchi darajaga koʻtariladi — (ab)n = anbn. Masalan (2 × 5)3 = 103 = 1000, va 23 × 53 = 8 × 125 = 1000 ✓
4. a0 = 1 — nega shunday?
Bu qoida sunʼiy koʻrinadi, lekin u boʻlish qonunidan oʻzi kelib chiqadi.
Xuddi shu mulohaza manfiy koʻrsatkichni ham tushuntiradi: 22 ÷ 25 = 4 ÷ 32 = 1/8, qonun bilan esa 2−3. Demak 2−3 = 1/8 — manfiy koʻrsatkich «pastga», maxrajga tushishni bildiradi.
Qonunni unutsangiz — yozib chiqing
Imtihonda qaysi qonunda qoʻshish, qaysinisida koʻpaytirish ekanini chalkashtirsangiz, kichik sonlarda tekshiring: 22 · 23 ni 4 × 8 = 32 deb hisoblang va 32 = 25 ekanini koʻring. Uch sekund vaqt, toʻliq ishonch.
5. Standart koʻrinish — ulkan sonlarni yozish
Yorugʻlik sekundiga 300 000 kilometr yuradi. Yerdan Quyoshgacha 150 000 000 kilometr. Bunday sonlarni yozishda nollarni sanash oson emas, shuning uchun ular standart koʻrinishda yoziladi: 1 dan 10 gacha boʻlgan son × 10 ning darajasi.
| Oddiy yozuv | Standart koʻrinish | Nima bu |
|---|---|---|
| 1000 | 103 | uchta nol |
| 300 000 | 3 × 105 | yorugʻlik tezligi, km/s |
| 150 000 000 | 1,5 × 108 | Yer–Quyosh masofasi, km |
| 0,001 | 10−3 | mingdan bir |
10 ning darajasi — nollar soni
105 = 100 000, yaʼni beshta nol. Shuning uchun standart koʻrinishga oʻtish oson: vergulni birinchi raqamdan keyin qoʻying va vergul necha xona surilganini sanang — oʻsha son koʻrsatkich boʻladi.
Matnli masala
Quyosh nuri qancha vaqtda yetib keladi? Yorugʻlik sekundiga 3 × 105 kilometr yuradi. Yerdan Quyoshgacha 1,5 × 108 kilometr.
Savol: Quyoshdan chiqqan nur Yerga necha daqiqada yetib keladi?
Reja: PM-35 dagi formula ishlaydi — t = S ÷ v. Standart koʻrinishdagi sonlarni boʻlishda koʻrsatkichlar ayiriladi.
Tekshiramiz
Teskari yoʻl: 3 × 105 × 500 = 1500 × 105 = 1,5 × 108 ✓ Va 8 daqiqa 20 sekund — 8 × 60 + 20 = 500 sekund ✓ Bu haqiqiy qiymat: quyosh nuri bizga taxminan sakkiz yarim daqiqada yetib keladi.
Koʻp uchraydigan xatolar
23 · 24 = 212
23 · 24 = 27
Koʻpaytirishda koʻrsatkichlar qoʻshiladi, koʻpaytmaydi. Tekshirish: 8 × 16 = 128 va 27 = 128 ✓, 212 esa 4096.
32 · 42 = 124
32 · 42 = 122 = 144
Koʻrsatkichlar bir xil boʻlsa, asoslar koʻpaytiriladi, koʻrsatkich esa oʻzgarmaydi. Tekshirish: 9 × 16 = 144 ✓
50 = 0
50 = 1
Nolinchi daraja bir beradi, chunki 52 ÷ 52 = 25 ÷ 25 = 1 va u qonun boʻyicha 50 ga teng.
Mashq
1. 32 · 34 ni daraja koʻrinishida yozing va hisoblang.
Javobni koʻrish
36 = 729. 2 + 4 = 6. Tekshirish: 9 × 81 = 729 ✓
2. 57 ÷ 55 ni hisoblang.
Javobni koʻrish
52 = 25. 7 − 5 = 2.
3. (102)3 ni hisoblang.
Javobni koʻrish
106 = 1 000 000. Koʻrsatkichlar koʻpaytiriladi: 2 × 3 = 6.
4. 7 000 000 ni standart koʻrinishda yozing.
Javobni koʻrish
7 × 106. Yettidan keyin oltita nol bor.
5. Bir bakteriya har soatda ikkiga boʻlinadi. Boshida bitta bakteriya bor edi. 10 soatdan keyin nechta boʻladi?
Javobni koʻrish
210 = 1024 ta. Har soat soni ikki barobar oshadi: 1 → 2 → 4 → 8… Oʻn soatdan keyin 210. Bu — mingdan koʻp: daraja shunchalik tez oʻsadi.
Kalit soʻzlar
- Darajatakroriy koʻpaytirishning qisqa yozuvi; ingl. power
- Asoskoʻpaytiriladigan son, 23 dagi 2; ingl. base
- Koʻrsatkichnecha marta koʻpaytirilishi, 23 dagi 3; ingl. exponent
- Standart koʻrinisha × 10n shakli; ingl. standard form
- Nolinchi darajahar qanday sonning nolinchi darajasi 1; ingl. zero power
- Manfiy koʻrsatkichmaxrajga tushishni bildiradi; ingl. negative exponent
- Kvadratikkinchi daraja; ingl. square
- Kubuchinchi daraja; ingl. cube
Esda qoladigan uch narsa
- Koʻpaytirishda qoʻshiladi, boʻlishda ayiriladi, darajaga koʻtarilganda koʻpaytiriladi — asoslar bir xil boʻlsa.
- a0 = 1, chunki an ÷ an = 1.
- Standart koʻrinish: 150 000 000 = 1,5 × 108 — nollarni sanash oʻrniga koʻrsatkichni oʻqing.