PM-57: Nuqta, chiziq, kesma, nur — geometriya alifbosi
Geometriyaning toʻrtta asosiy soʻzi: nuqta, toʻgʻri chiziq, kesma va nur. Ularni toʻgʻri belgilash, kesmalarni qoʻshish va nega ikki nuqta bitta toʻgʻri chiziqni aniqlashi.
PM-57: Nuqta, chiziq, kesma, nur — geometriya alifbosi
Doʻstingizga «maktabdan uyingizgacha qancha?» deb soʻrasangiz, u yoʻlning ikki uchi bor deb oʻylaydi. «Quyoshdan chiqqan nur qayerda tugaydi?» desangiz — javob yoʻq, chunki uning oxiri yoʻq. Mana shu farq geometriyaning birinchi darsi.
Bu darsdan boshlab yangi blok — geometriya — boshlanadi. Sonlar oʻrniga shakllar, lekin mantiq oʻsha-oʻsha. Va har bir yangi soʻz aniq belgilanadi: geometriyada «taxminan shunday» degan gap yoʻq.
Bu darsda siz
- nuqta, toʻgʻri chiziq, kesma va nurni bir-biridan ajratasiz;
- ularni harflar bilan toʻgʻri belgilaysiz;
- kesmalarni qoʻshasiz va oʻrta nuqtasini topasiz;
- nega ikki nuqta bitta toʻgʻri chiziqni aniqlashini tushuntirasiz.
Toʻrtala shakl bitta chizmada
Toʻrttasining farqi bitta jumlada
| Nomi | Yozuvi | Uzunligi bormi? |
|---|---|---|
| Nuqta | A | yoʻq — faqat oʻrin |
| Toʻgʻri chiziq | AB | yoʻq — ikki tomonga cheksiz |
| Kesma | AB | bor — oʻlchash mumkin |
| Nur | AB | yoʻq — boshi bor, oxiri yoʻq |
Nuqta — geometriyaning eng kichik soʻzi. Uning eni ham, boʻyi ham yoʻq; u faqat oʻrinni koʻrsatadi. Qogʻozdagi nuqtacha — uning rasmi, oʻzi emas. Nuqtalar bosh harflar bilan belgilanadi: A, B, O.
Toʻgʻri chiziq ikki tomonga ham cheksiz davom etadi. Uni butunlay chizib boʻlmaydi — shuning uchun bir boʻlagini chizib, uchlariga strelka qoʻyamiz. Ustidagi ikki nuqta bilan belgilanadi: AB toʻgʻri chizigʻi.
Kesma — toʻgʻri chiziqning ikki nuqta orasidagi boʻlagi. Faqat u oʻlchanadi: AB = 12 sm deb yozish mumkin. Maktabdan uyingizgacha boʻlgan yoʻl — kesma.
Nur — bir uchi bor, ikkinchi tomonga cheksiz. Belgilashda tartib muhim: nur AB ning boshi A da, nur BA ning boshi esa B da. Bu yagona joyki, harflarni almashtirsangiz boshqa shakl chiqadi.
Kesma AB va toʻgʻri chiziq AB — bir xil yozuv, boshqa narsa
Ikkalasi ham «AB» deb yoziladi, farqni soʻz aytadi: «kesma AB» yoki «toʻgʻri chiziq AB». Shuning uchun javobda soʻzni tushirib qoldirmang. «AB = 12 sm» deb yozish faqat kesma haqida maʼnoga ega — toʻgʻri chiziqning uzunligi yoʻq.
Nega ikki nuqta yetadi?
Bitta nuqtadan cheksiz koʻp toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin — qalamni aylantiraverasiz. Lekin ikkita nuqta berilsa, ular orqali faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtadi.
Buni har kuni ishlatasiz. Devorga taxta qoqayotgan usta bitta emas, ikkita mix qoqadi — bitta mixda taxta aylanadi, ikkitasida qotib qoladi. Chizgʻich ham shu qoidaga tayanadi: ikki nuqtani belgilab, ular orqali chiziq oʻtkazasiz.
Asosiy qoida
Ikki nuqta orqali bitta va faqat bitta toʻgʻri chiziq oʻtadi. Ikki toʻgʻri chiziq esa yo bitta nuqtada kesishadi, yo umuman kesishmaydi.
Kesmalarni qoʻshish
Agar B nuqtasi A bilan C orasida yotsa, kichik kesmalar katta kesmani tashkil qiladi:
Oʻrta nuqta — kesmani ikkita teng boʻlakka boʻluvchi nuqta (PM-46 da uni koordinatalar bilan topgan edik). Agar M — AB kesmaning oʻrtasi boʻlsa, AM = MB = AB ÷ 2.
AB = 26 sm, M — oʻrtasi → AM = 26 ÷ 2 = 13 sm
Oʻrta nuqta kesmani teng ikkiga boʻladi.
«Orasida yotadi» degan shart tekinga kelmaydi
AB = 12 va BC = 7 boʻlsa, AC har doim ham 19 emas. Agar C nuqtasi A bilan B orasida yotsa, u holda AC = 12 − 7 = 5. Chizmasiz masala yechmang: avval nuqtalarni tartib bilan qoʻying.
Matnli masala
Yoʻldagi uch qishloq. A, B va C qishloqlari bitta toʻgʻri yoʻl ustida joylashgan. A dan B gacha 12 km, B dan C gacha 7 km. Nodira opa A dan C ga boradi.
Nima soʻralyapti: AC masofasi. Lekin bitta savol tugʻiladi — B qayerda turibdi?
Reja: ikki holni ham koʻramiz, chunki matn B ning A bilan C orasida ekanini aytmagan.
Tekshiramiz
1-hol: 12 + 7 = 19 ✓. 2-hol: 5 + 7 = 12 ✓ — yaʼni AC + CB haqiqatan AB ni beradi. Javob: 19 km yoki 5 km; qaysi biri ekanini bilish uchun qishloqlarning tartibi aytilishi kerak.
Koʻp uchraydigan xatolar
Toʻgʻri chiziq AB ning uzunligi 12 sm
Kesma AB ning uzunligi 12 sm
Toʻgʻri chiziq ikki tomonga cheksiz — uni oʻlchab boʻlmaydi. Oʻlchanadigan yagona shakl — kesma.
Nur AB bilan nur BA — bir xil nur
Nur AB ning boshi A da, nur BA ning boshi B da
Nurda tartib maʼnoni oʻzgartiradi: birinchi harf — boshi. Kesmada esa AB va BA bir xil.
AB = 12, BC = 7 → AC = 19 (har doim)
B orada boʻlsa 19; C orada boʻlsa 5
Nuqtalarning tartibi aytilmasa, ikki javob ham mumkin. Avval chizing, keyin qoʻshing.
Bitta nuqta orqali bitta toʻgʻri chiziq oʻtadi
Bitta nuqta orqali cheksiz koʻp chiziq oʻtadi; ikkitasi orqali — bittasi
Qalamni bitta nuqtada aylantirib koʻring — har bir burilishda yangi chiziq chiqadi. Ikkinchi nuqta uni qotiradi.
Mashq
1. Qaysi shaklning uzunligini oʻlchash mumkin: nuqta, toʻgʻri chiziq, kesma yoki nur?
Javobni koʻrish
Faqat kesma. Nuqtaning oʻlchami yoʻq; toʻgʻri chiziq ikki tomonga, nur esa bir tomonga cheksiz davom etadi.
2. M nuqtasi AB kesmasining oʻrtasi. AB = 34 sm boʻlsa, MB qancha?
Javobni koʻrish
17 sm. Oʻrta nuqta kesmani teng ikkiga boʻladi: 34 ÷ 2 = 17. Tekshirish: 17 + 17 = 34 ✓
3. A, B, C nuqtalari shu tartibda bitta toʻgʻri chiziqda yotadi. AB = 9 sm, AC = 23 sm. BC qancha?
Javobni koʻrish
14 sm. AB + BC = AC, demak BC = 23 − 9 = 14. Tekshirish: 9 + 14 = 23 ✓
4. Nur CD ning boshi qaysi nuqtada?
Javobni koʻrish
C nuqtasida. Nurni belgilashda birinchi harf har doim uning boshini bildiradi, ikkinchisi esa yoʻnalishini koʻrsatadi.
5. Tekislikda 4 ta nuqta bor va ularning hech qaysi uchtasi bitta toʻgʻri chiziqda yotmaydi. Ular orqali nechta toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin?
Javobni koʻrish
6 ta. Har bir juft nuqta bitta chiziq beradi. Juftlarni sanaymiz: AB, AC, AD, BC, BD, CD — 6 ta. (Birinchi nuqtani 4 xil, ikkinchisini 3 xil tanlaymiz: 4 × 3 = 12, lekin AB bilan BA bir xil, shuning uchun 12 ÷ 2 = 6.)
6. Xonaning rejasi 1 : 50 masshtabda chizilgan. Rejadagi devor kesmasi 12 sm. Devor aslida necha metr?
Javobni koʻrish
6 metr. 1 : 50 degani rejadagi 1 sm — haqiqatda 50 sm (PM-28). 12 × 50 = 600 sm = 6 m. Tekshirish: 6 m = 600 sm, 600 ÷ 50 = 12 sm ✓
Kalit soʻzlar
- Nuqtaoʻlchamsiz, faqat oʻrinni koʻrsatuvchi shakl; ingl. point
- Toʻgʻri chiziqikki tomonga cheksiz davom etuvchi chiziq; ingl. line
- Kesmaikki uchi bor, oʻlchanadigan chiziq boʻlagi; ingl. segment
- Nurboshi bor, oxiri yoʻq chiziq; ingl. ray
- Oʻrta nuqtakesmani teng ikkiga boʻluvchi nuqta; ingl. midpoint
- Kesishish nuqtasiikki chiziq uchrashgan joy; ingl. point of intersection
- Tekislikcheksiz tekis yuza — chizmamiz shu yerda yotadi; ingl. plane
- Uchkesma yoki nurning boshlangʻich nuqtasi; ingl. endpoint
- Masshtabchizmadagi 1 sm haqiqatda qanchaligi; ingl. scale
- Chizmashakllarning aniq oʻlchovli tasviri; ingl. diagram
Esda qoladigan uch narsa
- Faqat kesmaning uzunligi bor. Toʻgʻri chiziq ham, nur ham cheksiz.
- Nurda tartib muhim: nur AB ≠ nur BA. Kesmada esa AB = BA.
- Ikki nuqta bitta toʻgʻri chiziqni aniqlaydi — usta ham shuning uchun ikkita mix qoqadi.