PM-56: Parabola bilan tanishuv: y = x²
Birinchi toʻgʻri chiziq boʻlmagan grafik: y = x². Jadval tuzish, parabolani chizish, uchi va simmetriya oʻqini topish, y = x² + c va y = −x² ni farqlash.
PM-56: Parabola bilan tanishuv: y = x²
Bolakay toʻpni tepdi. Toʻp yuqoriga koʻtarildi, bir lahza havoda turdi va pastga tushdi. Uning yoʻlini havoda chizib koʻrsangiz — toʻgʻri chiziq emas, silliq egri chiziq chiqadi. Favvora suvi ham, tashlangan tosh ham xuddi shu shaklda uchadi.
PM-49 dan beri biz faqat toʻgʻri chiziqlar bilan ishladik: y = kx + b. Bu darsda birinchi marta chiziq egiladi. Uning nomi — parabola, va eng sodda tenglamasi bor-yoʻgʻi y = x².
Bu darsda siz
- y = x² uchun jadval tuzib, parabolani chizasiz;
- uchi, simmetriya oʻqi va tarmoqlarini nomlaysiz;
- y hech qachon manfiy boʻlmasligini tushuntirasiz;
- y = x² + c va y = −x² grafikni qanday oʻzgartirishini bilasiz.
Jadvaldan boshlaymiz
PM-48 dagi tartib oʻzgarmaydi: x ni tanlaymiz, qoidani qoʻllaymiz, y ni yozamiz. Faqat endi qoida «×3 qilib 1 qoʻsh» emas, «oʻzini oʻziga koʻpaytir».
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Jadvalda darrov ikkita narsa koʻzga tashlanadi.
Birinchisi: pastki qatorda bitta ham manfiy son yoʻq. Chunki manfiy sonni manfiyga koʻpaytirsak musbat chiqadi (PM-11): (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
Ikkinchisi: jadval oʻrtasidan koʻzgudek takrorlanadi. −2 ham, +2 ham 4 ni beradi. −3 ham, +3 ham 9 ni beradi. Demak grafik ham simmetrik boʻlishi kerak.
(−3)² = 9, «−9» emas
Kvadrat butun songa tegishli: (−3)² degani (−3) × (−3). Agar minus kvadratdan tashqarida tursa — −3² — u holda avval 3² = 9 hisoblanadi va javob −9 boʻladi. Qavs bor-yoʻqligi butun javobni oʻzgartiradi.
Nuqtalarni qoʻyamiz — va chiziq egiladi
Jadvaldagi yettita juftlikni koordinata tekisligiga qoʻyamiz (PM-45): (−3; 9), (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9).
Ikki nuqta yetmaydi
Toʻgʻri chiziq uchun ikkita nuqta yetardi (PM-49). Parabola uchun kamida beshta, uchidan ikki tomonga bir xil miqdorda, kerak. Ikki nuqta qoʻyib chizgʻich bilan tutashtirsangiz, parabola oʻrniga notoʻgʻri toʻgʻri chiziq chiqadi.
Parabolaning uch qismi
Uchi
Eng past nuqta — (0; 0). Egri chiziq shu yerda burilib, yana koʻtariladi.
Simmetriya oʻqi
y oʻqi. Grafikni shu chiziq boʻylab buklasangiz, ikki yarmi ustma-ust tushadi.
Tarmoqlari
Uchidan yuqoriga ketgan ikkita qanot. Ikkalasi ham yuqoriga qaragan.
Yana bir muhim kuzatish: parabola tik boʻlib boradi. x ni 1 dan 2 ga oshirsak y 1 dan 4 ga (3 ga) oʻsadi; 2 dan 3 ga oshirsak y 4 dan 9 ga (5 ga) oʻsadi. Toʻgʻri chiziqda oʻsish har doim bir xil edi (PM-49 dagi k), bu yerda esa oʻsish ham oʻsib boradi. Kvadratning butun mohiyati shunda.
y = x² + c: grafik yuqoriga koʻchadi
Endi har bir y ga 2 ni qoʻshamiz: y = x² + 2.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| y = x² + 2 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 |
Har bir nuqta aynan 2 birlik yuqoriga koʻchdi. Shakli oʻzgarmadi, faqat oʻrni oʻzgardi — uchi endi (0; 2) da. Bu PM-50 dagi b ning aynan oʻzi: qoʻshimcha son grafikni koʻtaradi, −3 boʻlsa tushiradi.
y = −x²: parabola agʻdariladi
Endi har bir y ning ishorasini almashtiramiz: y = −x². x = 2 boʻlsa y = −4, x = −3 boʻlsa y = −9. Endi bitta ham musbat y yoʻq.
Grafik xuddi oʻsha parabola, lekin x oʻqi boʻylab agʻdarilgan: tarmoqlari pastga qaraydi va uchi (0; 0) endi eng past emas, eng baland nuqta.
Ishoraga qarab shaklni aytish
x² oldida musbat son tursa (y = x², y = 2x²) — tarmoqlar yuqoriga, uchi eng past nuqta. Manfiy tursa (y = −x²) — tarmoqlar pastga, uchi eng baland nuqta. Grafikni chizmasdan turib ham shuni ayta olasiz.
Matnli masala
Tormoz yoʻli. Haydovchilik qoidalarida oddiy taxminiy qoida bor: mashinaning tormoz yoʻli (metrda) tezlikning oʻndan biri kvadratiga teng. Yaʼni s = (v ÷ 10)², bunda v — km/soatdagi tezlik.
Sherbekning otasi shahar ichida 40 km/soat bilan ketyapti. Yoʻlda esa 80 km/soat bilan. Ikki holda tormoz yoʻli qancha va u necha marta farq qiladi?
Nima soʻralyapti: ikkita masofa va ularning necha marta farq qilishi.
Tekshiramiz
16 × 4 = 64 ✓. Sabab kvadratda: (2v ÷ 10)² — ichidagi son 2 marta katta boʻlsa, kvadrati 2 × 2 = 4 marta katta boʻladi.
Mana shuning uchun tezlikni «bir oz» oshirish xavfli. Chiziqli boʻlganda 16 dan 32 ga chiqardi; parabolada esa 64 ga chiqadi. y = x² chiziqdan tezroq oʻsadi — va bu grafikda ochiq koʻrinib turibdi.
Koʻp uchraydigan xatolar
(−4)² = −16
(−4)² = 16
Manfiy son manfiyga koʻpaysa musbat chiqadi (PM-11). Shuning uchun y = x² grafigi hech qachon x oʻqidan pastga tushmaydi.
y = x² grafigi — toʻgʻri chiziq
y = x² grafigi — parabola, egri chiziq
Toʻgʻri chiziq faqat y = kx + b da chiqadi. Bu yerda oʻsish teng emas: 1, 3, 5 — shuning uchun chiziq egiladi.
y = x² da y = 25 boʻlsa, x = 5
y = 25 boʻlsa, x = 5 yoki x = −5
Parabola simmetrik: bitta y ga ikkita x toʻgʻri keladi. Faqat uchida — y = 0 da — bitta x boʻladi.
x 2 marta oshsa, y ham 2 marta oshadi
x 2 marta oshsa, y 4 marta oshadi
3² = 9, 6² = 36 — 4 marta. Kvadratda oʻsish ham kvadratga koʻtariladi.
Mashq
1. y = x² boʻlsa, x = −5 da y qancha?
Javobni koʻrish
25. (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Manfiy son kvadratga koʻtarilganda musbat boʻladi.
2. Quyidagi nuqtalardan qaysilari y = x² grafigida yotadi: (3; 9), (−4; 16), (2; −4), (5; 10)?
Javobni koʻrish
(3; 9) va (−4; 16). 3² = 9 ✓ va (−4)² = 16 ✓. (2; −4) yotmaydi, chunki 2² = 4, −4 emas — parabolada manfiy y yoʻq. (5; 10) ham yotmaydi: 5² = 25, 10 emas (bu yerda kvadrat oʻrniga 2 ga koʻpaytirilgan).
3. y = x² grafigida y = 49 boʻlgan nuqtalarni toping.
Javobni koʻrish
(7; 49) va (−7; 49). 7² = 49 va (−7)² = 49. Simmetriya tufayli ikkita nuqta boʻladi — biri y oʻqining oʻng tomonida, biri chapida.
4. y = x² + 3 grafigining uchi qayerda va x = 2 da y qancha?
Javobni koʻrish
Uchi (0; 3), x = 2 da y = 7. Har bir nuqta 3 birlik yuqoriga koʻchgan. x = 2 da: 2² + 3 = 4 + 3 = 7.
5. y = −x² grafigining tarmoqlari qayoqqa qaraydi va x = 3 da y qancha?
Javobni koʻrish
Pastga qaraydi; y = −9. Avval 3² = 9 hisoblanadi, keyin minus qoʻyiladi: −9. Uchi (0; 0) endi eng baland nuqta.
6. Tormoz yoʻli s = (v ÷ 10)² formulasi bilan hisoblanadi. Mashina 30 km/soat va 90 km/soat bilan ketganda tormoz yoʻli qancha boʻladi va necha marta farq qiladi?
Javobni koʻrish
9 metr va 81 metr, 9 marta farq qiladi. (30 ÷ 10)² = 3² = 9 va (90 ÷ 10)² = 9² = 81. 81 ÷ 9 = 9. Tezlik 3 marta oshdi, tormoz yoʻli esa 3 × 3 = 9 marta oshdi. Tekshirish: 9 × 9 = 81 ✓
Kalit soʻzlar
- Parabolay = x² koʻrinishidagi funksiyaning egri grafigi; ingl. parabola
- Kvadrat funksiyax kvadratga koʻtariladigan qoida; ingl. quadratic function
- Uchiparabolaning burilish nuqtasi; ingl. vertex
- Simmetriya oʻqigrafikni ikki teng yarimga boʻladigan chiziq; ingl. axis of symmetry
- Tarmoqlaruchidan ketgan ikki qanot; ingl. branches
- Egri chiziqtoʻgʻri boʻlmagan chiziq; ingl. curve
- Kvadratga koʻtarishsonni oʻziga koʻpaytirish; ingl. squaring
- Koʻchishgrafikning yuqoriga yoki pastga siljishi; ingl. shift
- Chiziqli funksiyay = kx + b, grafigi toʻgʻri chiziq; ingl. linear function
- Tormoz yoʻlitormozdan toʻxtaguncha bosilgan masofa; ingl. braking distance
Esda qoladigan uch narsa
- y = x² grafigi — parabola, toʻgʻri chiziq emas. Kamida beshta nuqta qoʻyib, silliq tutashtiring.
- y hech qachon manfiy emas va grafik y oʻqiga nisbatan simmetrik — bitta y ga ikkita x.
- x² oldidagi ishora shaklni aytadi: musbat — tarmoqlar yuqoriga, manfiy — pastga.