Mathematics

PM-62: Uchburchak tengsizligi: tomon va burchak bogʻliqligi

Har uchta uzunlikdan uchburchak yasab boʻlmaydi: ikki tomonning yigʻindisi uchinchisidan katta boʻlishi shart. Va uchburchak ichida katta burchak har doim katta tomonning qarshisida turadi.

powerty

Aug. 12, 2026

7 6 min 0

PM-62: Uchburchak tengsizligi: tomon va burchak bogʻliqligi

Uchta tayoq oling: 3 sm, 4 sm va 8 sm. Ulardan uchburchak yasashga urinib koʻring. Qanday burasangiz ham chiqmaydi — qisqa ikkitasi uzunining ikki uchini tutashtira olmaydi.

Endi uzunini 6 sm ga almashtiring. Darrov chiqadi. Farq qayerda? Mana shu darsning savoli.

Bu darsda siz

berilgan uch uzunlikdan uchburchak chiqadimi-yoʻqmi, aniqlaysiz;
uchinchi tomon qaysi oraliqda boʻlishini topasiz;
katta burchak qaysi tomon qarshisida turishini bilasiz;
«toʻgʻri yoʻl eng qisqa» degan gapni matematik isbotlaysiz.

Uchburchak tengsizligi a + b > c · har uch juftlik uchun

Nega yopilmaydi?

3 + 4 = 7, bu esa 8 dan kichik. Tayoqlarni toʻgʻri yotqizsak ham bir birlik yetmaydi.

3 + 4 = 7 > 6 — endi tayoqlar yetadi va uchburchak yopiladi.

Uchburchak tengsizligi

Uchburchakning har ikki tomoni yigʻindisi uchinchi tomonidan katta:
a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Uchala shart ham bajarilishi kerak.

Amalda faqat bitta tekshiruv yetadi

Uchta shartni yozib oʻtirmang: eng qisqa ikki tomonni qoʻshib, eng uzuniga taqqoslang. Agar shu shart bajarilsa, qolgan ikkitasi avtomatik bajariladi — chunki eng uzun tomonga kichikroq son qoʻshilganda yigʻindi baribir katta chiqadi.

5, 9, 13 → 5 + 9 = 14 > 13 ✓

Uchburchak chiqadi.

4, 6, 10 → 4 + 6 = 10, bu 10 dan katta emas

Uchburchak chiqmaydi — tayoqlar aynan yopishadi va yassi chiziq hosil boʻladi.

Tenglik ham yetmaydi: qatʼiy katta boʻlishi shart.

Uchinchi tomon qaysi oraliqda?

Ikki tomoni 5 va 7 boʻlgan uchburchakning uchinchi tomoni qanday boʻlishi mumkin? Ikkita chegara bor.

x < 5 + 7 = 12 Ikki tomon yigʻindisidan kichik boʻlishi kerak

x > 7 − 5 = 2 Farqidan katta: aks holda 5 + x > 7 sharti buziladi

2 < x < 12 Oraliq (PM-40 dagi qoʻsh tengsizlik)

0 2 12 14 x

Boʻyalgan oraliq — mumkin boʻlgan qiymatlar. Chetlarining oʻzi kirmaydi: x = 2 yoki x = 12 boʻlsa, uchburchak yassilanib qoladi.

Chegaraning oʻzi javobga kirmaydi

«2 dan 12 gacha» degan gap ikki xil tushuniladi. Bu yerda 2 ning oʻzi ham, 12 ning oʻzi ham boʻlmaydi — ularda uchburchak yassilanib qoladi. Shuning uchun belgi <, hech qachon ≤ emas.

Katta tomon — katta burchak

Uchburchak ichida tomonlar bilan burchaklar bogʻlangan: eng uzun tomon qarshisida eng katta burchak turadi, eng qisqa tomon qarshisida esa eng kichigi.

AB eng uzun tomon — uning qarshisidagi ∠C eng katta. AC eng qisqa — qarshisidagi ∠B eng kichik.

Tomonlari 6, 9, 11 → eng katta burchak 11 ning qarshisida

Tomonlarni tartiblab chiqsangiz, burchaklar ham oʻsha tartibda joylashadi.

Matnli masala

Doʻkon orqali yoki toʻgʻri? Sherbekning uyidan maktabgacha toʻgʻri yoʻl bilan 800 metr. Doʻkon orqali yursa, uydan doʻkongacha 500 metr, doʻkondan maktabgacha esa 400 metr.

Nima soʻralyapti: qaysi yoʻl qisqa va nechchi metrga.

Reja: uch nuqta — uy, doʻkon, maktab — uchburchak hosil qiladi. Doʻkon orqali yurish ikki tomonni bosib oʻtish, toʻgʻri yurish esa uchinchisini.

500 + 400 = 900 m Doʻkon orqali

800 m Toʻgʻri yoʻl

900 − 800 = 100 m Toʻgʻri yoʻl 100 metrga qisqa

Tekshiramiz — uchburchak haqiqiymi?

500 + 400 = 900 > 800 ✓, 800 + 400 = 1200 > 500 ✓, 800 + 500 = 1300 > 400 ✓ — uchala shart bajarildi, demak bunday uch nuqta haqiqatan mavjud.
Javob: toʻgʻri yoʻl 100 metrga qisqa.

Eʼtibor bering: bu tasodif emas. Uchburchak tengsizligi aynan shuni aytadi — ikki nuqta orasidagi eng qisqa yoʻl toʻgʻri chiziq. Uchinchi nuqtaga burilib borish har doim uzunroq.

Koʻp uchraydigan xatolar

4, 6, 10 — uchburchak chiqadi, chunki 4 + 6 = 10

Chiqmaydi: yigʻindi qatʼiy katta boʻlishi kerak

Teng boʻlsa, tayoqlar uzun tayoq ustiga yotib qoladi va uchburchak yassilanadi.

3, 4, 8: 3 + 8 = 11 > 4, demak chiqadi

Eng qisqa ikkitasini tekshiring: 3 + 4 = 7 < 8 ✗

Bitta shart bajarilgani yetarli emas — uchalasi ham bajarilishi kerak, va faqat eng qisqa ikkitasi tekshiruvga arziydi.

Tomonlari 5 va 7 → uchinchisi 2 dan 12 gacha, chegaralari bilan

2 < x < 12, chegaralarsiz

x = 2 va x = 12 da uchburchak yassilanib qoladi. Belgi <, ≤ emas.

Eng katta burchak eng uzun tomonning yonida

Eng katta burchak eng uzun tomonning qarshisida

Burchak oʻzi turgan tomonga emas, roʻparasidagi tomonga bogʻlangan. Chizmada barmoq bilan koʻrsatib tekshiring.

Mashq

1. 7, 10 va 15 uzunlikdagi tayoqlardan uchburchak chiqadimi?

Javobni koʻrish

Ha. Eng qisqa ikkitasi: 7 + 10 = 17, bu 15 dan katta ✓ Demak uchburchak yopiladi.

2. 2, 3 va 6 uzunlikdagi tayoqlardan uchburchak chiqadimi?

Javobni koʻrish

Yoʻq. 2 + 3 = 5, bu 6 dan kichik. Ikki qisqa tayoq uzunining uchlarini tutashtira olmaydi.

3. Uchburchakning ikki tomoni 8 va 3. Uchinchi tomon qaysi oraliqda boʻlishi mumkin?

Javobni koʻrish

5 < x < 11. Yuqori chegara: 8 + 3 = 11. Quyi chegara: 8 − 3 = 5. Masalan 6, 7 yoki 10 boʻlishi mumkin, 5 yoki 11 esa yoʻq.

4. Uchburchakning tomonlari 6, 9 va 11. Eng katta burchak qaysi tomonning qarshisida?

Javobni koʻrish

11 uzunlikdagi tomonning qarshisida. Eng uzun tomon qarshisida eng katta burchak turadi. Eng kichik burchak esa 6 ning qarshisida.

5. Uchburchakning ikki tomoni 9 va 9. Uchinchi tomon butun son boʻlsa, u eng koʻpi bilan qancha boʻlishi mumkin?

Javobni koʻrish

17. Shart: x < 9 + 9 = 18, demak eng katta butun son 17. Quyi chegara esa x > 9 − 9 = 0, yaʼni x kamida 1 boʻlishi kerak.

6. Uch qishloq uchburchak hosil qiladi. A dan B gacha 12 km, B dan C gacha 9 km. Dilnoza A dan C ga toʻgʻri bordi. Uning yoʻli eng koʻpi bilan va eng kami bilan qancha boʻlishi mumkin?

Javobni koʻrish

3 km dan koʻp, 21 km dan kam. 12 + 9 = 21 va 12 − 9 = 3, demak 3 < AC < 21. Masalan 15 km boʻlishi mumkin, 22 km esa hech qachon — aks holda A dan B va C orqali borish toʻgʻri yoʻldan qisqa chiqib qolardi.

Kalit soʻzlar

Uchburchak tengsizligiikki tomon yigʻindisi uchinchisidan katta; ingl. triangle inequality
Tomonuchburchakning kesmalaridan biri; ingl. side
Qarshisidagi burchaktomonga tegmaydigan burchak; ingl. opposite angle
Oraliqqiymat tushishi mumkin boʻlgan chegaralar; ingl. range
Qoʻsh tengsizlik2 < x < 12 koʻrinishi; ingl. compound inequality
Qatʼiy tengsizlik< belgisi, chegara kirmaydi; ingl. strict inequality
Yassilangan uchburchakuchala uchi bitta chiziqda; ingl. degenerate triangle
Eng qisqa yoʻlikki nuqta orasidagi toʻgʻri chiziq; ingl. shortest path
Chegaraoraliqning eng chetki qiymati; ingl. bound
Shartbajarilishi kerak boʻlgan talab; ingl. condition

Esda qoladigan uch narsa

Eng qisqa ikkita tomonni qoʻshib, eng uzuniga taqqoslang. Katta chiqsa — uchburchak bor.
Uchinchi tomon farq bilan yigʻindi orasida yotadi: |a − b| < x < a + b.
Katta burchak katta tomonning qarshisida — yonida emas.