PM-61: Uchburchak turlari va burchaklar yigʻindisi
Uchburchaklarni burchagi va tomoni boʻyicha turkumlash, va geometriyaning eng mashhur qoidasi: uchta burchakning yigʻindisi har doim 180°. Qoida isbot bilan keladi.
PM-61: Uchburchak turlari va burchaklar yigʻindisi
Qogʻozdan uchburchak qirqib oling. Uchta burchagini yirtib, uchalasini bitta chiziq ustiga yonma-yon qoʻying. Ular aynan yoyiq burchakni toʻldiradi — 180°.
Qanday uchburchak olsangiz ham shunday chiqadi: yassisini ham, choʻzigʻini ham. Bu tasodif emas — buni isbotlash mumkin. PM-59 da birinchi isbotimizni koʻrgan edik; bu ikkinchisi va u PM-60 dagi parallel chiziqlarga tayanadi.
Bu darsda siz
- uchburchakni burchagi boʻyicha uch turga ajratasiz;
- tomoni boʻyicha ham uch turga ajratasiz;
- ikki burchagidan uchinchisini topasiz;
- 180° qoidasining isbotini tushuntirasiz.
Burchaklari boʻyicha uch tur
| Turi | Sharti | Nechtasi shunday |
|---|---|---|
| Oʻtkir burchakli | hammasi < 90° | uchalasi |
| Toʻgʻri burchakli | bittasi = 90° | faqat bittasi |
| Oʻtmas burchakli | bittasi > 90° | faqat bittasi |
Nega ikkita toʻgʻri burchak boʻlolmaydi?
Chunki 90 + 90 = 180 boʻlib, uchinchi burchakka hech narsa qolmaydi. Xuddi shu sabab bilan bitta uchburchakda ikkita oʻtmas burchak ham boʻlolmaydi. Har bir uchburchakda kamida ikkita oʻtkir burchak bor.
Tomonlari boʻyicha uch tur
Turli tomonli — uchala tomoni ham har xil. Teng yonli — ikkita tomoni teng. Teng tomonli — uchalasi ham teng (va uning har bir burchagi 60°, chunki 180 ÷ 3 = 60).
Yigʻindi nega aynan 180°?
Uchburchak ABC ni olamiz va uning B uchidan AC tomoniga parallel chiziq oʻtkazamiz. Endi PM-60 ishga tushadi.
Isbot nima berdi
Biz bitta ham burchakni oʻlchamadik. Shuning uchun bu xulosa hamma uchburchaklar uchun toʻgʻri — hatto chizib boʻlmaydigan darajada katta yoki kichiklari uchun ham. Qogʻoz yirtish gʻoyani koʻrsatadi, isbot esa uni kafolatlaydi.
Javobni har doim qoʻshib tekshiring
Uchta burchakni topganingizdan keyin ularni qoʻshing. Yigʻindi 180° chiqmasa — hisobda xato bor. Bu butun blokdagi eng tez ishlaydigan nazorat, va u bir sekund oladi.
Uchinchi burchakni topish
∠A = 47°, ∠B = 65° → ∠C = 180 − 47 − 65 = 68°
Ikkitasini bilsak, uchinchisi 180 dan ayirish bilan topiladi.
Tekshirish: 47 + 65 + 68 = 180 ✓
Toʻgʻri burchakli uchburchak, ∠A = 90°, ∠B = 35° → ∠C = 55°
Toʻgʻri burchakli uchburchakda qolgan ikki burchak birgalikda 90° beradi.
180 − 90 = 90, keyin 90 − 35 = 55 ✓
Matnli masala
Uchburchak shaklidagi bogʻ. Mahalladagi kichik bogʻ uchburchak shaklida. Loyihachining chizmasida burchaklar 2 : 3 : 4 nisbatda koʻrsatilgan.
Nima soʻralyapti: uchala burchak va bogʻning turi.
Reja: nisbat degani ulushlar (PM-27). Bitta ulushni x deb olamiz; ulushlar yigʻindisi 180° ni beradi.
Tekshiramiz
40 + 60 + 80 = 180 ✓ va 40 : 60 : 80 = 2 : 3 : 4 ✓
Eng katta burchak 80°, u 90 dan kichik — demak bogʻ oʻtkir
burchakli uchburchak. Uchala burchak har xil, demak turli
tomonli.
Koʻp uchraydigan xatolar
Uchburchakda burchaklar 90°, 60° va 40°
Bunday uchburchak mavjud emas
90 + 60 + 40 = 190 ≠ 180. Har qanday javobni qoʻshib tekshiring.
Katta uchburchakning burchaklari yigʻindisi kattaroq
Yigʻindi har doim 180°, oʻlchamdan qatʼi nazar
Burchak burilishni oʻlchaydi (PM-58) — tomonlarni choʻzish burchakni oʻzgartirmaydi.
Teng tomonli uchburchakning burchaklari 90° dan
Teng tomonli uchburchakning har bir burchagi 60°
180 ÷ 3 = 60. Uchta 90° li burchak 270° beradi — bu mumkin emas.
Nisbat 2 : 3 : 4 → burchaklar 2°, 3°, 4°
Nisbat ulushni bildiradi: 2x + 3x + 4x = 180
2 + 3 + 4 = 9 boʻlib, 180° emas. Nisbat sonlarning oʻzi emas, ularning nisbati (PM-27).
Mashq
1. Uchburchakning ikki burchagi 52° va 61°. Uchinchisi qancha?
Javobni koʻrish
67°. 180 − 52 − 61 = 67. Tekshirish: 52 + 61 + 67 = 180 ✓
2. Toʻgʻri burchakli uchburchakning oʻtkir burchaklaridan biri 28°. Ikkinchisi qancha?
Javobni koʻrish
62°. Toʻgʻri burchak 90° ni oladi, qolgan ikkitasiga 90° qoladi: 90 − 28 = 62. Tekshirish: 90 + 28 + 62 = 180 ✓
3. Teng tomonli uchburchakning burchaklari qancha?
Javobni koʻrish
Har biri 60°. Uchala tomoni teng boʻlgani uchun uchala burchagi ham teng: 180 ÷ 3 = 60.
4. Uchburchakda 100° li burchak bor. Bu qanday uchburchak va qolgan ikki burchak haqida nima deyish mumkin?
Javobni koʻrish
Oʻtmas burchakli; qolgan ikkitasi birgalikda 80°. 180 − 100 = 80, demak ikkalasi ham albatta oʻtkir. Uchburchakda ikkita oʻtmas burchak boʻlishi mumkin emas.
5. Uchburchakning burchaklari 1 : 2 : 3 nisbatda. Ularni toping va turini ayting.
Javobni koʻrish
30°, 60°, 90° — toʻgʻri burchakli. x + 2x + 3x = 180, 6x = 180, x = 30. Tekshirish: 30 + 60 + 90 = 180 ✓ Eng kattasi aniq 90°, demak toʻgʻri burchakli uchburchak.
6. Tom yopayotgan usta uchburchak shaklidagi ferma yasadi. Pastki ikki burchak teng va har biri 35°. Yuqoridagi burchak qancha?
Javobni koʻrish
110°. Pastki ikkitasi birga 35 + 35 = 70°, demak yuqoridagisi 180 − 70 = 110°. Tekshirish: 35 + 35 + 110 = 180 ✓ Bu oʻtmas burchakli uchburchak — tom yassi boʻladi.
Kalit soʻzlar
- Uchburchakuchta tomoni va uchta burchagi bor shakl; ingl. triangle
- Oʻtkir burchaklihamma burchagi 90° dan kichik; ingl. acute triangle
- Toʻgʻri burchaklibitta burchagi 90°; ingl. right triangle
- Oʻtmas burchaklibitta burchagi 90° dan katta; ingl. obtuse triangle
- Turli tomonliuchala tomoni har xil; ingl. scalene
- Teng yonliikki tomoni teng; ingl. isosceles
- Teng tomonliuchala tomoni teng, burchaklari 60°; ingl. equilateral
- Burchaklar yigʻindisihar doim 180°; ingl. angle sum
- Yordamchi chiziqisbot uchun qoʻshimcha chizilgan chiziq; ingl. auxiliary line
- Nisbatulushlarning oʻzaro munosabati, 2 : 3 : 4; ingl. ratio
Esda qoladigan uch narsa
- Uchta burchak har doim 180° beradi — uchburchak qanchalik katta yoki kichik boʻlishidan qatʼi nazar.
- Ikkitasini bilsangiz, uchinchisi ayirish bilan topiladi.
- Isbot yordamchi chiziqdan tugʻildi: uchidan asosga parallel chiziq oʻtkazish yetarli boʻldi.