PM-63: Teng yonli va teng tomonli uchburchak
Ikki tomoni teng boʻlsa, asosdagi ikki burchak ham teng — va teskarisi ham toʻgʻri. Shu bitta qoida bilan tomning, chodirning va teng tomonli uchburchakning hamma burchagi topiladi.
PM-63: Teng yonli va teng tomonli uchburchak
Koʻchaga chiqib uylarning tomiga qarang. Deyarli hammasining ikki yon yogʻochi bir xil uzunlikda — shuning uchun tom qiyshiq emas, simmetrik koʻrinadi. Usta buni tasodifan qilmaydi.
Bunday uchburchakning bitta ajoyib xossasi bor: bitta burchagini bilsangiz, qolgan ikkitasini oʻlchamasdan aytib berasiz.
Bu darsda siz
- teng yonli uchburchakning qismlarini nomlaysiz: asos, yon tomon, uchidagi va asosdagi burchaklar;
- asosdagi burchaklar nega teng ekanini tushunasiz;
- bitta burchakdan qolgan ikkitasini hisoblaysiz;
- teng tomonli uchburchakning har bir burchagi nega aynan 60° ekanini isbotlaysiz.
1. Qismlarning nomi
Uchburchakning ikki tomoni teng boʻlsa, u teng yonli deyiladi. Uning qismlari alohida nom oladi, chunki ularning har biri boshqacha ishlaydi.
- Yon tomonlar — teng boʻlgan ikkita tomon (chizmada kichik chiziqcha bilan belgilangan).
- Asos — uchinchi tomon. U yon tomonlarga teng boʻlishi shart emas.
- Uchidagi burchak — ikki yon tomon orasidagi burchak (∠A).
- Asosdagi burchaklar — asosga tegib turgan ikkita burchak (∠B va ∠C).
Chizmadagi bir xil chiziqchalar
Geometriyada teng tomonlar bir xil sondagi kichik chiziqcha bilan belgilanadi. Ikki tomonda bittadan chiziqcha boʻlsa — ular teng. Bu yozuvni oʻqishni oʻrganib olsangiz, chizmaning yarmi oʻzi gapirib beradi.
2. Asosdagi burchaklar nega teng?
Qogʻozdan teng yonli uchburchak qirqib oling va uni uchidagi burchakdan asosning oʻrtasiga qarab buklang. Ikki yarmi ustma-ust tushadi: yon tomonlar teng edi, buklash chizigʻi esa ikkalasiga ham umumiy.
Ustma-ust tushgandan keyin ∠B ∠C ning ustiga tushadi. Ikki narsa ustma-ust tushsa, ular teng — demak ∠B = ∠C.
Teng yonli uchburchak qoidasi
Uchburchakning ikki tomoni teng boʻlsa, ularning qarshisidagi ikki
burchak ham teng boʻladi.
Bu PM-62 dagi «katta tomon — katta burchak» qoidasining tabiiy
davomi: tomonlar teng boʻlsa, burchaklar ham tenglashadi.
Qoida ikki tomonga ham ishlaydi — teskarisi ham toʻgʻri.
Teskari qoida
Uchburchakning ikki burchagi teng boʻlsa, ularning qarshisidagi ikki tomon ham teng — yaʼni uchburchak teng yonli boʻladi. Buni ish paytida koʻp ishlatishadi: burchakni oʻlchash tomonni oʻlchashdan oson.
3. Bitta burchakdan qolganini topish
PM-61 dan bilamiz: uchala burchakning yigʻindisi 180°. Teng yonli uchburchakda esa ikkitasi teng. Ikkita maʼlumot birga — bitta burchak yetarli boʻlib qoladi.
Holat 1. Uchidagi burchak berilgan. ∠A = 40°. Asosdagi burchaklar qancha?
Tekshiramiz
40 + 70 + 70 = 180 ✓ — yigʻindi joyida.
Amallar tartibi bu yerda ham tuzoq
Formulani (180 − 40) ÷ 2 deb yozing, qavs bilan. Qavssiz yozilsa, 180 − 40 ÷ 2 = 180 − 20 = 160 chiqadi — bu bitta burchak uchun hech qanday maʼnoga ega emas. Avval ayirish, keyin boʻlish (PM-5).
Holat 2. Asosdagi burchak berilgan. ∠B = 65°. Uchidagi burchak qancha?
«Bitta burchagi 40°» — bu yetarli maʼlumotmi?
Yoʻq, agar qaysi burchak ekani aytilmagan boʻlsa. Ikki xil javob
chiqadi:
• 40° uchidagi boʻlsa → 70°, 70°, 40°;
• 40° asosdagi boʻlsa → 40°, 40°, 100°.
Masalada «uchidagi» yoki «asosdagi» degan soʻzni har doim izlang.
Asosdagi burchak 95° boʻla oladimi? 95 + 95 = 190 > 180 ✗
Yoʻq. Asosdagi burchak har doim 90° dan kichik.
Ikkalasi teng, yigʻindisi esa 180 dan kam boʻlishi kerak — chunki uchidagi burchakka ham joy qolishi shart.
4. Teng tomonli uchburchak
Endi eng chiroyli holat: uchala tomon teng. Bunday uchburchak teng tomonli deyiladi.
Isbot bir qatorga sigʻadi. Qaysi tomonni «asos» deb olsangiz ham, uchburchak teng yonli boʻlib chiqadi — demak hamma burchak bir-biriga teng. Uchtasining yigʻindisi 180° edi:
Yodda tuting
Teng tomonli uchburchakning burchaklari hech qachon oʻzgarmaydi: har doim 60°, 60°, 60°. Uchburchak katta yoki kichik boʻlishi mumkin, lekin burchaklari oʻsha-oʻsha. Har bir teng tomonli uchburchak ayni paytda teng yonli hamdir — teskarisi esa notoʻgʻri.
Matnli masala
Tomning burchagi. Karim aka uy tomini yasayapti. Tomning ikki yon yogʻochi teng uzunlikda, ular uchida tutashadi va oʻsha yerda 110° burchak hosil qiladi.
Nima soʻralyapti: yogʻochlar gorizontal devor bilan qanday burchak hosil qiladi.
Reja: ikki yon yogʻoch teng — demak uchburchak teng yonli, va gorizontal chiziq uning asosi. Bizga asosdagi burchak kerak.
Tekshiramiz
35 + 35 + 110 = 180 ✓
Javob: har bir yogʻoch gorizontal bilan 35° burchak hosil
qiladi.
Koʻp uchraydigan xatolar
Uchidagi 40° → asosdagi = 180 − 40 ÷ 2 = 160°
Uchidagi 40° → asosdagi = (180 − 40) ÷ 2 = 70°
Qavs tushib qolgan. Avval ayirish, keyin boʻlish — amallar tartibi (PM-5). 160° bitta burchak uchun juda katta: uchtasining yigʻindisi 180° ekanini eslang.
Teng yonli uchburchakning bitta burchagi 40° → qolgan ikkitasi 70° va 70°
Qaysi burchak ekani aytilmagan boʻlsa, ikkita javob bor: 70°, 70° yoki 40°, 100°
40° uchidagi ham, asosdagi ham boʻlishi mumkin. Masala matnida bu soʻz boʻlmasa, ikkala holatni ham yozing.
Teng yonli uchburchakning uchala burchagi teng
Faqat asosdagi ikkitasi teng
Uchalasi teng boʻladigan uchburchak boshqacha ataladi — teng tomonli, va u yerda har bir burchak 60°.
Asosdagi burchaklar 95° va 95°, uchidagisi −10°
Asosdagi burchak 90° dan kichik boʻlishi shart
95 + 95 = 190 va bu 180 dan katta — bunday uchburchak yoʻq. Javob manfiy chiqsa, demak boshlangʻich son notoʻgʻri.
Mashq
1. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 96°. Asosdagi burchaklar qancha?
Javobni koʻrish
42° va 42°. (180 − 96) ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42. Tekshirish: 96 + 42 + 42 = 180 ✓
2. Teng yonli uchburchakning asosdagi burchagi 55°. Uchidagi burchak qancha?
Javobni koʻrish
70°. Asosdagi ikkinchi burchak ham 55°, ikkalasi 110° beradi. 180 − 110 = 70.
3. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi toʻgʻri burchak. Asosdagi burchaklar qancha?
Javobni koʻrish
45° va 45°. Toʻgʻri burchak — 90° (PM-58). (180 − 90) ÷ 2 = 45. Bu uchburchak ham teng yonli, ham toʻgʻri burchakli — ikkala nom bir vaqtda toʻgʻri.
4. Teng yonli uchburchakning bitta burchagi 100°. Qolgan ikkitasi qancha?
Javobni koʻrish
40° va 40°. Bu yerda ikkinchi javob yoʻq: 100° asosdagi boʻlsa, ikkitasi 200° boʻlib ketardi — bu esa 180 dan katta. Demak 100° faqat uchidagi burchak boʻla oladi va (180 − 100) ÷ 2 = 40.
5. Uchburchakning ikki burchagi 64° va 52°. U teng yonlimi?
Javobni koʻrish
Ha. Uchinchi burchak: 180 − 64 − 52 = 64°. Demak ikkita burchak 64° ga teng, teskari qoidaga koʻra ularning qarshisidagi tomonlar ham teng — uchburchak teng yonli.
6. Dilnoza chodir tikdi. Chodirning ikki yon tomoni teng, uchidagi burchagi esa 44°. Chodirning yon tomoni yer bilan qanday burchak hosil qiladi?
Javobni koʻrish
68°. Yer — chodirning asosi. (180 − 44) ÷ 2 = 136 ÷ 2 = 68. Tekshirish: 68 + 68 + 44 = 180 ✓ Chodir tik: asosdagi burchak 45° dan katta boʻlgani uchun u baland va tor koʻrinadi.
Kalit soʻzlar
- Teng yonli uchburchakikki tomoni teng uchburchak; ingl. isosceles triangle
- Teng tomonli uchburchakuchala tomoni teng, har bir burchagi 60°; ingl. equilateral triangle
- Yon tomonteng boʻlgan ikki tomondan biri; ingl. leg
- Asosteng yonli uchburchakning uchinchi tomoni; ingl. base
- Uchidagi burchakikki yon tomon orasidagi burchak; ingl. apex angle
- Asosdagi burchaklarasosga tegib turgan teng burchaklar; ingl. base angles
- Teskari qoidashart bilan xulosa oʻrin almashgan qoida; ingl. converse
- Simmetrikbuklaganda ikki yarmi ustma-ust tushadigan; ingl. symmetric
- Belgi chiziqchachizmada teng tomonlarni koʻrsatuvchi kichik chiziq; ingl. tick mark
- Burchaklar yigʻindisiuchburchakda har doim 180°; ingl. angle sum
Qisqacha
- Ikki tomoni teng → asosdagi ikki burchak teng. Teskarisi ham toʻgʻri.
- Uchidagi burchak berilgan: asosdagi = (180 − uchidagi) ÷ 2 — qavs bilan.
- Asosdagi burchak berilgan: uchidagi = 180 − 2 × asosdagi.
- Asosdagi burchak har doim 90° dan kichik.
- Teng tomonli uchburchakning har bir burchagi 60°, doim.
- «Bitta burchagi 40°» — qaysi burchak ekanini aniqlang: 70°/70° yoki 40°/100°.