PM-66: Toʻrtburchaklar oilasi: kvadrat, romb, parallelogramm, trapetsiya
Toʻrtburchaklarning hammasi bitta oila: burchaklari yigʻindisi 360°. Parallelogramm, toʻgʻri toʻrtburchak, romb, kvadrat va trapetsiya bir-biridan qanday shart bilan ajraladi.
PM-66: Toʻrtburchaklar oilasi: kvadrat, romb, parallelogramm, trapetsiya
Xonangizga qarang: deraza, eshik, stol usti, kitob, ekran, gilamdagi naqsh. Deyarli hammasi toʻrt tomonli. Lekin ularning nomi har xil — biri kvadrat, biri toʻgʻri toʻrtburchak, gilamdagi naqsh esa romb.
Farq qayerda va kim kimga qarindosh? Bu dars — shakllarning oilaviy daraxti.
Bu darsda siz
- toʻrtburchakning burchaklari nega 360° berishini isbotlaysiz;
- parallelogrammning xossalarini bilib, nomaʼlum burchakni topasiz;
- kvadrat, romb va toʻgʻri toʻrtburchakni bir-biridan ajratasiz;
- trapetsiya nima bilan boshqalardan farq qilishini aytasiz.
1. Nega 360°?
Uchburchakda burchaklar yigʻindisi 180° edi (PM-61). Toʻrtburchakda qancha? Yodlash shart emas — bir chizib koʻrsak, oʻzi chiqadi.
Qarama-qarshi ikki uchni diagonal bilan tutashtiramiz. Toʻrtburchak ikkita uchburchakka boʻlinadi. Ularning burchaklari birgalikda aynan toʻrtburchakning burchaklarini tashkil qiladi — bittasi ham qoʻshilmadi, bittasi ham yoʻqolmadi.
Uch burchagi 90°, 85° va 100° → 360 − 275 = 85°
Toʻrtinchi burchak 85 gradus.
Uchtasini qoʻshib, 360 dan ayirdik: 90 + 85 + 100 = 275.
2. Parallelogramm
Parallelogramm — qarama-qarshi tomonlari juft-juft parallel boʻlgan toʻrtburchak (PM-60).
Parallelogrammning xossalari
1. Qarama-qarshi tomonlar teng.
2. Qarama-qarshi burchaklar teng.
3. Qoʻshni burchaklar yigʻindisi 180°.
4. Diagonallari kesishib, bir-birini teng ikkiga boʻladi.
Uchinchi xossa bizga tanish joydan keladi. AB va DC parallel, AD esa ularni kesib oʻtuvchi (PM-60). ∠A va ∠D — bir tomonli ichki burchaklar, ularning yigʻindisi esa 180°:
Tekshiramiz
65 + 115 + 65 + 115 = 360 ✓ — toʻrtburchakning qoidasi bajarildi.
Qarama-qarshi va qoʻshni — bu ikki boshqa narsa
Qarama-qarshi burchaklar roʻparama-roʻpara turadi va ular teng. Qoʻshni burchaklar bitta tomonni baham koʻradi va ular 180° ni beradi. Chalkashtirsangiz, 65° oʻrniga 115° yozib qoʻyasiz. Chizmada barmoq bilan koʻrsatib tekshiring.
3. Uchta maxsus parallelogramm
Parallelogrammga qoʻshimcha shart qoʻysak, u alohida nom oladi.
| Nomi | Qoʻshimcha shart | Nima kelib chiqadi |
|---|---|---|
| Toʻgʻri toʻrtburchak | burchaklari 90° | diagonallari teng |
| Romb | tomonlari teng | diagonallari perpendikulyar |
| Kvadrat | ikkala shart ham | ikkalasining hamma xossasi |
Kvadrat — oiladagi eng «boy» aʼzo: u ayni paytda parallelogramm ham, toʻgʻri toʻrtburchak ham, romb ham. Shuning uchun yuqoridagi hamma xossa unga tegishli.
Bitta burchak yetadi
Parallelogrammning bitta burchagi 90° boʻlsa, qolgan uchtasi ham 90° boʻlib qoladi: qoʻshnisi 180 − 90 = 90, qarama-qarshisi ham 90. Shuning uchun usta xonaning faqat bitta burchagini tekshiradi.
4. Trapetsiya — oiladan tashqaridagi qarindosh
Trapetsiya — faqat bitta juft tomoni parallel boʻlgan toʻrtburchak. Parallel tomonlar asoslar, qolgan ikkitasi yon tomonlar deyiladi.
Yon tomonlari teng boʻlsa — teng yonli trapetsiya. Unda bitta asosdagi ikki burchak ham teng boʻladi, xuddi teng yonli uchburchakdagidek (PM-63).
Trapetsiyaning katta asosidagi burchaklari 70° va 70°
Kichik asosdagi burchaklar: 180 − 70 = 110° va 110°.
Yon tomon ikki parallel asosni kesib oʻtadi, demak yuqori va quyi burchaklar bir tomonli ichki burchaklar — yigʻindisi 180° (PM-60). Tekshiruv: 70 + 70 + 110 + 110 = 360 ✓
5. Oila daraxti
Daraxtni pastdan yuqoriga oʻqing: har bir shakl oʻzidan yuqoridagining hamma xossasiga ega. Kvadrat — romb, demak tomonlari teng. Kvadrat — toʻgʻri toʻrtburchak, demak burchaklari 90°.
Yuqoriga qarab ishlaydi, pastga qarab yoʻq
«Har bir kvadrat — romb» — toʻgʻri. «Har bir romb — kvadrat» — notoʻgʻri: gilamdagi qiyshiq romblarning burchagi 90° emas. Xuddi shunday, har bir kvadrat toʻgʻri toʻrtburchak, lekin har bir toʻgʻri toʻrtburchak kvadrat emas.
Matnli masala
Darvoza paneli. Karim aka darvozaga naqshli panel yasayapti. Panel parallelogramm shaklida va uning bitta burchagi 72°.
Nima soʻralyapti: panelning qolgan uchta burchagi.
Reja: parallelogrammda qarama-qarshi burchaklar teng, qoʻshnilari esa 180° ni beradi. Bitta burchakdan hammasi chiqadi.
Tekshiramiz
72 + 108 + 72 + 108 = 360 ✓
Javob: qolgan burchaklar 108°, 72° va 108°.
Koʻp uchraydigan xatolar
Har bir romb — kvadrat
Har bir kvadrat — romb, teskarisi emas
Rombda faqat tomonlar teng. Burchaklari ham 90° boʻlsagina u kvadratga aylanadi. Daraxtni pastdan yuqoriga oʻqing.
Parallelogrammning bitta burchagi 65° → qoʻshnisi ham 65°
Qoʻshnisi 180 − 65 = 115°, teng boʻlgani qarama-qarshisi
Teng boʻlgan burchaklar roʻparama-roʻpara turadi. Yonma-yon turganlari 180° ni beradi.
Trapetsiya — parallelogrammning bir turi
Trapetsiyada faqat bitta juft tomon parallel
Parallelogrammda ikkala juft ham parallel. Shuning uchun daraxtda ular yonma-yon turadi, biri ikkinchisining tagida emas.
Toʻrtburchakning burchaklari yigʻindisi 180°
360° — chunki u ikkita uchburchakdan iborat
180° — uchburchakniki. Diagonal chizib koʻring: ikkita uchburchak, demak ikki barobar.
Mashq
1. Toʻrtburchakning uch burchagi 80°, 95° va 100°. Toʻrtinchisi qancha?
Javobni koʻrish
85°. 80 + 95 + 100 = 275, keyin 360 − 275 = 85.
2. Parallelogrammning bitta burchagi 48°. Qolgan uchtasi qancha?
Javobni koʻrish
132°, 48°, 132°. Qarama-qarshisi 48°, qoʻshnilari 180 − 48 = 132°. Tekshirish: 48 + 132 + 48 + 132 = 360 ✓
3. Rombning bitta burchagi 60°. Qolganlari-chi?
Javobni koʻrish
120°, 60°, 120°. Romb — parallelogramm, demak unga ham oʻsha qoida ishlaydi: qarama-qarshisi 60°, qoʻshnisi 180 − 60 = 120°.
4. Qaysi gap toʻgʻri: «har bir kvadrat toʻgʻri toʻrtburchak» yoki «har bir toʻgʻri toʻrtburchak kvadrat»?
Javobni koʻrish
Birinchisi. Kvadratning burchaklari 90°, demak u toʻgʻri toʻrtburchak shartini bajaradi. Lekin tomonlari 8 va 3 boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchak kvadrat emas — tomonlari teng emas.
5. Teng yonli trapetsiyaning katta asosidagi burchaklari 75° dan. Kichik asosdagi burchaklar qancha?
Javobni koʻrish
105° dan. Yon tomon ikki parallel asosni kesadi, demak yuqori va quyi burchaklar bir tomonli ichki burchaklar: 180 − 75 = 105. Tekshirish: 75 + 75 + 105 + 105 = 360 ✓
6. Dilnoza gilamdagi naqshni oʻlchadi: shaklning toʻrtala tomoni ham 12 sm, burchaklaridan biri esa 90°. Bu qanday shakl?
Javobni koʻrish
Kvadrat. Toʻrtala tomoni teng — demak romb. Bitta burchagi 90° boʻlsa, parallelogrammda qolgan uchtasi ham 90° boʻladi — demak toʻgʻri toʻrtburchak ham. Ikkalasi birga — kvadrat.
Kalit soʻzlar
- Toʻrtburchaktoʻrt tomonli shakl, burchaklari 360°; ingl. quadrilateral
- Parallelogrammqarama-qarshi tomonlari parallel toʻrtburchak; ingl. parallelogram
- Toʻgʻri toʻrtburchakburchaklari 90° boʻlgan parallelogramm; ingl. rectangle
- Rombtomonlari teng boʻlgan parallelogramm; ingl. rhombus
- Kvadratham romb, ham toʻgʻri toʻrtburchak; ingl. square
- Trapetsiyafaqat bitta juft tomoni parallel toʻrtburchak; ingl. trapezium
- Asostrapetsiyaning parallel tomonlaridan biri; ingl. base
- Diagonalqarama-qarshi uchlarni tutashtiruvchi kesma; ingl. diagonal
- Qarama-qarshi burchaklarroʻparama-roʻpara turgan, teng burchaklar; ingl. opposite angles
- Qoʻshni burchaklarbitta tomonni baham koʻrgan, 180° beruvchi burchaklar; ingl. adjacent angles
Qisqacha
- Har qanday toʻrtburchakda burchaklar yigʻindisi 360° — chunki u ikkita uchburchak.
- Parallelogramm: qarama-qarshi tomonlar va burchaklar teng, qoʻshni burchaklar 180°.
- Toʻgʻri toʻrtburchak = burchaklari 90° boʻlgan parallelogramm.
- Romb = tomonlari teng boʻlgan parallelogramm.
- Kvadrat = ikkalasi birga.
- Trapetsiyada faqat bitta juft tomon parallel — u parallelogramm emas.