PM-65: Pifagorning hayotdagi qoʻllanishi
Narvon, tom balandligi, arqon, xaritadagi qiya masofa — hammasida bitta yashirin toʻgʻri burchakli uchburchak bor. Uni koʻrishni va javobni yaxlitlab tekshirishni oʻrganamiz.
PM-65: Pifagorning hayotdagi qoʻllanishi
Oʻtgan darsda formulani oldik: a2 + b2 = c2. Endi eng muhim savol qoladi — uni qachon ishlatish kerakligini qayerdan bilamiz?
Javob sodda: hayotda toʻgʻri burchak juda koʻp. Devor yerga tik turadi, ustun tik qoqiladi, xaritaning katakchalari perpendikulyar. Toʻgʻri burchak bor joyda Pifagor teoremasi ishlaydi.
Bu darsda siz
- hayotdagi vaziyatdan toʻgʻri burchakli uchburchakni ajratib olasiz;
- narvon, ustun va arqon masalalarini yechasiz;
- teng yonli tomning balandligini topasiz;
- javob butun chiqmaganda uni yaxlitlaysiz va mantiqiyligini tekshirasiz.
1. Vaziyatni uchburchakka aylantirish
Masalani oʻqib boʻlgach, hisoblashga shoshilmang. Avval toʻrtta qadam.
- Chizing. Kichkina boʻlsa ham, qoʻlda. Chizmasiz masala qiyinlashadi.
- Toʻgʻri burchakni toping. Devor bilan yer, ustun bilan yer, xaritadagi ikki yoʻnalish — deyarli har doim shu yerda.
- Gipotenuzani belgilang. U toʻgʻri burchakka tegmaydigan tomon: narvonning oʻzi, tortilgan arqon, qiya yoʻl.
- Nomaʼlumni qoʻying va formulani yozing.
Narvon hech qachon katet emas
Eng koʻp uchraydigan xato shu. Narvon devorga suyaladi — u qiya turadi va toʻgʻri burchakni hosil qilmaydi. Toʻgʻri burchakni devor bilan yer hosil qiladi. Demak narvon — har doim gipotenuza, yaʼni uchtasining eng uzuni.
2. Narvon devorga suyalganda
Narvonning uzunligi 5 metr. Uning oyogʻi devordan 3 metr narida turibdi. Narvonning uchi devorning qaysi balandligiga yetadi?
Tekshiramiz
9 + 16 = 25 ✓ Balandlik (4 m) narvondan (5 m) qisqa — mantiqan ham toʻgʻri, chunki narvon qiya turibdi.
Narvon 5 m, oyogʻi 4 m narida → a2 = 25 − 16 = 9, a = 3 m
Oyoq uzoqroqqa surilsa, narvon pastroqqa yetadi.
Narvonning uzunligi oʻzgarmadi — u faqat qiyaroq boʻldi.
3. Tomning balandligi
Bu yerda ikkita dars birlashadi: PM-63 (teng yonli uchburchak) va PM-64 (Pifagor).
Tomning asosi 12 metr, ikki yon yogʻochi esa 10 metrdan. Tomning uchi shiftdan qancha baland?
Tom uchburchagi teng yonli, lekin toʻgʻri burchakli emas — demak Pifagor teoremasini unga toʻgʻridan-toʻgʻri qoʻllab boʻlmaydi. Uchidan asosga perpendikulyar tushiramiz: u uchburchakni ikkita bir xil toʻgʻri burchakli uchburchakka boʻladi.
Asosning oʻzi emas, YARMI
Bu yerda eng koʻp yoʻqotiladigan ball shu. Toʻgʻri burchakli uchburchakning kateti — asosning yarmi (6), butun asos (12) emas. Butun asosni qoʻysangiz, h2 = 100 − 144 = −44 chiqadi. Kvadrat manfiy boʻlmaydi — bu darhol xatoni koʻrsatuvchi belgi.
4. Xaritadagi qiya masofa
PM-46 da faqat gorizontal va vertikal kesmani oʻlchagan edik. Endi qiya kesma ham qoʻlimizdan keladi.
Nega qadamlarni qoʻshib yuborib boʻlmaydi
4 + 3 = 7 — bu katakchalar boʻylab yurgandagi yoʻl: avval oʻngga, keyin yuqoriga. Toʻgʻridan-toʻgʻri masofa esa 5. Farq — 2 birlik, va u PM-62 dagi qoidaning oʻzi: toʻgʻri yoʻl har doim qisqaroq.
5. Javob butun chiqmasa
Hayotdagi sonlar Pifagor uchligiga kamdan kam toʻgʻri keladi. Narvon 6 metr, oyogʻi devordan 2 metr narida boʻlsin.
Javob butun chiqmasa — bu xato emas
Koʻp oʻquvchi «√32 butun chiqmadi, demak adashdim» deb qaytadan hisoblaydi. Aslida bu normal: butun javob faqat Pifagor uchliklarida chiqadi. Bunday paytda javob taxminiy yoziladi va ≈ belgisi qoʻyiladi.
Matnli masala
Ustunga tortilgan arqon. Karim aka hovliga 12 metrli ustun tikladi. Ustun qulamasligi uchun uning eng uchidan yerga arqon tortadi. Arqonning yerdagi uchi ustun tagidan 5 metr narida qoqiladi. Shunday arqondan 3 ta kerak, arqonning bir metri 6000 soʻm turadi.
Nima soʻralyapti: uchala arqon uchun qancha pul kerak.
Reja: ustun yerga tik — demak toʻgʻri burchak ustunning tagida. Arqon qiya, demak u gipotenuza. Avval bitta arqonni topamiz, keyin uchtasini, keyin narxini.
Tekshiramiz
144 + 25 = 169 = 132 ✓
Javob: 39 metr arqon, 234 000 soʻm.
Koʻp uchraydigan xatolar
Narvon 5 m, oyogʻi 3 m → balandlik √(25 + 9) = √34
√(25 − 9) = √16 = 4 m
Narvon — gipotenuza, katet emas. Javob narvonning oʻzidan uzun chiqsa (√34 ≈ 5,8), darhol xato deb biling.
Tom: asos 12, yon 10 → h2 = 100 − 144
Asosning yarmi olinadi: h2 = 100 − 36 = 64
Perpendikulyar teng yonli uchburchakni ikkiga boʻladi, shuning uchun katet — 6, 12 emas. Kvadrat manfiy chiqishi mumkin emas.
A(1; 2) va B(5; 5) orasidagi masofa: 4 + 3 = 7
√(16 + 9) = √25 = 5
4 + 3 — katakchalar boʻylab yurgandagi yoʻl. Toʻgʻridan-toʻgʻri masofa esa gipotenuza va u har doim qisqaroq.
Katetlar 60 sm va 0,8 m → c2 = 3600 + 0,64
Avval bir birlikka keltiring: 60 sm = 0,6 m → 0,36 + 0,64 = 1, c = 1 m
Har xil birlikdagi sonlarni qoʻshib boʻlmaydi. Birinchi qadam — hammasini metrga (yoki hammasini santimetrga) aylantirish.
Mashq
1. Narvonning uzunligi 10 m, oyogʻi devordan 6 m narida. Narvonning uchi qanday balandlikka yetadi?
Javobni koʻrish
8 m. a2 = 100 − 36 = 64, a = 8. Bu 3-4-5 uchligining ikki barobari: 6, 8, 10.
2. Teng yonli tomning asosi 16 m, yon yogʻochlari 17 m dan. Tomning balandligi qancha?
Javobni koʻrish
15 m. Asosning yarmi: 16 ÷ 2 = 8. h2 = 289 − 64 = 225, h = √225 = 15. Bu 8-15-17 uchligi.
3. A(2; 1) va B(10; 7) nuqtalar orasidagi masofani toping.
Javobni koʻrish
10 birlik. Gorizontal qadam |10 − 2| = 8, vertikal qadam |7 − 1| = 6. d2 = 64 + 36 = 100, d = 10.
4. Bayroq ustuni 9 m balandlikda. Uning uchidan yerga arqon tortilgan; arqonning yerdagi uchi ustundan 12 m narida. Arqonning uzunligi qancha?
Javobni koʻrish
15 m. Arqon — gipotenuza: c2 = 81 + 144 = 225, c = 15. Diqqat: bu safar arqon ustundan ham, yerdagi masofadan ham uzun — chunki u gipotenuza.
5. Kvadrat shaklidagi maydonning tomoni 10 m. Uning diagonali qaysi ikki butun son orasida?
Javobni koʻrish
14 va 15 orasida. d2 = 100 + 100 = 200. 142 = 196, 152 = 225, demak 196 < 200 < 225 va 14 < d < 15. Aniqrogʻi d ≈ 14,1.
6. Bekzod velosipedda uydan 300 m sharqqa, soʻng 400 m shimolga yurdi. Agar toʻgʻridan-toʻgʻri qaytsa, necha metr yoʻl tejaydi?
Javobni koʻrish
200 m tejaydi. Sharq va shimol perpendikulyar yoʻnalishlar, demak toʻgʻri qaytish yoʻli — gipotenuza: 3002 + 4002 = 90 000 + 160 000 = 250 000, √250 000 = 500 m. Borgan yoʻli esa 300 + 400 = 700 m. Farq: 700 − 500 = 200 m.
Kalit soʻzlar
- Gipotenuzaqiya tomon: narvon, arqon, diagonal; ingl. hypotenuse
- Katettoʻgʻri burchakni hosil qiluvchi tomon: devor, yer; ingl. leg
- Balandlikuchdan asosga tushirilgan perpendikulyar; ingl. height
- Diagonalqarama-qarshi burchaklarni tutashtiruvchi kesma; ingl. diagonal
- Qiya masofaikki nuqta orasidagi toʻgʻri chiziq; ingl. straight-line distance
- Taxminiy javob≈ belgisi bilan yoziladigan yaxlitlangan natija; ingl. approximation
- Yaxlitlashjavobni yaqin oʻnlikka keltirish; ingl. rounding
- Birliklarni keltirishhamma sonni bir xil oʻlchovga oʻtkazish; ingl. unit conversion
- Chizmamasalani koʻrsatuvchi sxema; ingl. diagram
Qisqacha
- Toʻgʻri burchakni toping — devor bilan yer, ustun bilan yer, xaritadagi ikki yoʻnalish.
- Narvon, arqon, diagonal va qiya yoʻl — har doim gipotenuza.
- Teng yonli tomda katet — asosning yarmi.
- Koordinatada: qadamlarni qoʻshmang, kvadratlarini qoʻshing.
- Javob butun chiqmasa — yaxlitlang va ≈ belgisini qoʻying.
- Birliklar bir xil boʻlsin; javobni har doim mantiqan tekshiring.