PM-74: Fazoviy shakllar: hajm va sirt yuzasi
Qogʻozdan chiqib, uch oʻlchamli dunyoga oʻtamiz: hajm nima, uni nima bilan oʻlchashadi, litr qayerdan chiqqan va silindr shaklidagi suv baki necha chelak suv sigʻdiradi.
PM-74: Fazoviy shakllar: hajm va sirt yuzasi
Shu paytgacha hamma shaklimiz qogʻozda yotardi. Lekin xona, quti, suv baki va choynak qogʻozda yotmaydi — ularning ichi bor.
Ichiga qancha narsa sigʻishi — hajm. Ustini qoplashga qancha material ketishi — sirt yuzasi. Bular ikki xil savol va ikki xil birlik.
Bu darsda siz
- hajmni V = a × b × c bilan hisoblaysiz;
- qutining yoyilmasidan sirt yuzasini topasiz;
- sm3, m3 va litrni bir-biriga oʻgirasiz;
- silindrning hajmini topasiz.
1. Hajm — nechta kubcha sigʻadi
Yuza «nechta birlik kvadrat sigʻadi» degani edi (PM-68). Hajm ham xuddi shunday, faqat kvadrat oʻrniga kubcha: tomoni 1 sm boʻlgan kichkina kub — 1 kub santimetr, sm3.
Bu qutining tubiga nechta kubcha teriladi? Tub — 5 × 3 li toʻgʻri toʻrtburchak, demak 15 ta. Endi shunday qavatlardan nechtasi bor? Balandligi 4, demak 4 ta qavat:
Bitta qoida — hamma prizmaga
V = asos yuzasi × balandlik. Bu qoida qutida ham, uch burchakli prizmada ham, silindrda ham ishlaydi. Faqat asosning yuzasi har xil formula bilan topiladi.
Kub — hamma qirrasi teng parallelepiped, shuning uchun V = a3. Masalan a = 6 sm boʻlsa, V = 6 × 6 × 6 = 216 sm3.
2. Sirt yuzasi va yoyilma
Qutini kesib, yozib qoʻysak, oltita toʻgʻri toʻrtburchak chiqadi. Bu — qutining yoyilmasi. Sirt yuzasi esa shu oltitasining yigʻindisi.
Kub uchun bu yanada oson: oltita bir xil kvadrat, demak S = 6 × a2. a = 6 boʻlsa, S = 6 × 36 = 216 sm2.
Bir xil son, boshqa maʼno
Tomoni 6 boʻlgan kubda hajm ham 216, sirt yuzasi ham 216 chiqdi. Lekin biri 216 kub santimetr, ikkinchisi 216 kvadrat santimetr — butunlay boshqa narsalar. Javobni birligisiz yozish shu yerda katta xato boʻladi.
3. Litr — hayotdagi hajm birligi
Doʻkonda hech kim «uch ming kub santimetr sut» deb soʻramaydi. Suyuqlik uchun litr ishlatiladi va u kub santimetr bilan juda oddiy bogʻlangan.
40 × 25 × 30 = 30 000 sm3 = 30 litr
40 sm, 25 sm va 30 sm oʻlchamli akvariumga 30 litr suv sigʻadi.
30 000 ni 1000 ga boʻldik. Yaʼni oxiridan uchta nolni oʻchirsangiz, litr chiqadi.
1 litr 100 sm3 emas
Hajmda uchta oʻlcham bor, shuning uchun nollar ham uchtadan yuradi: 1 litr = 1000 sm3 (tomoni 10 sm boʻlgan kub: 10 × 10 × 10). Xuddi shunday, 1 m3 = 1000 litr, 100 emas. Yuzada bu boshqacha edi: 1 m2 = 10 000 sm2 (PM-68).
4. Silindr
Suv baki, konserva bankasi, quduq halqasi — hammasi silindr. Unga ham oʻsha bitta qoida ishlaydi: asos yuzasi × balandlik. Asos esa doira, uning yuzasini PM-71 da topganmiz.
Matnli masala
Dilnozaning akvariumi toʻgʻri burchakli quti shaklida: uzunligi 60 sm, eni 30 sm, balandligi 40 sm. Suv yuqori chetidan 5 sm past quyiladi. Suv 7 litrli chelakda tashiladi.
Necha chelak suv kerak? Va akvarium uchun necha kvadrat metr shisha ketgan (usti ochiq)?
Reja: avval suvning balandligini aniqlaymiz, hajmni topib litrga oʻgiramiz, keyin beshta yoqning yuzasini qoʻshamiz.
Endi shisha. Usti ochiq, demak beshta yoq bor: tub, ikkita uzun yon va ikkita qisqa yon.
Tekshiramiz
63 litr — taxminimizdagi 60–70 oraligʻida ✓
9 × 7 = 63 ✓ — chelaklar roppa-rosa yetdi.
Javob: 9 chelak suv va 0,9 m2 shisha.
Koʻp uchraydigan xatolar
V = 5 × 3 × 4 = 60 sm2
60 sm3
Uchta uzunlik koʻpaytirildi, demak birlik ham uchinchi darajada. sm2 — yuzaning birligi.
1 litr = 100 sm3
1 litr = 1000 sm3
Litr — tomoni 10 sm boʻlgan kub: 10 × 10 × 10 = 1000. Shu bitta xato butun masalani oʻn barobar buzadi.
Akvariumdagi suv: 60 × 30 × 40 = 72 litr
60 × 30 × 35 = 63 litr
Formulaga qutining emas, suvning balandligi qoʻyiladi. Masalada «5 sm past» deyilgan — bu son shunchaki qoʻyilgan emas.
S = 15 + 12 + 20 = 47 sm2
S = 2 × 47 = 94 sm2
Uchta emas, oltita yoq bor: har birining qarama-qarshisi ham mavjud. Yoyilmaga qarang va sanang.
Mashq
1. Qutining qirralari 4 sm, 5 sm va 2 sm. Hajmi qancha?
Javobni koʻrish
40 sm3. V = 4 × 5 × 2 = 40.
2. Kubning qirrasi 3 sm. Hajmi qancha?
Javobni koʻrish
27 sm3. V = 33 = 3 × 3 × 3 = 27.
3. Oʻsha 4 sm × 5 sm × 2 sm qutining sirt yuzasi qancha?
Javobni koʻrish
76 sm2. 4 × 5 = 20, 5 × 2 = 10, 4 × 2 = 8; yigʻindisi 38; S = 2 × 38 = 76.
4. Kubning qirrasi 5 sm. Sirt yuzasi qancha?
Javobni koʻrish
150 sm2. S = 6 × a2 = 6 × 25 = 150.
5. 2500 sm3 necha litr?
Javobni koʻrish
2,5 litr. 2500 ÷ 1000 = 2,5.
6. Silindrning radiusi 2 m, balandligi 3 m. Hajmi qancha? (π ≈ 3,14)
Javobni koʻrish
37,68 m3. Asos yuzasi: 3,14 × 4 = 12,56 m2. Hajm: 12,56 × 3 = 37,68 m3.
7. Jasurlarning suv baki 1 m × 0,8 m × 0,5 m. Oila kuniga 80 litr suv sarflaydi. Toʻla bak necha kunga yetadi?
Javobni koʻrish
5 kunga. Hajm: 1 × 0,8 × 0,5 = 0,4 m3. Litrga: 0,4 × 1000 = 400 litr. Kunlar: 400 ÷ 80 = 5.
Kalit soʻzlar
- Hajmjism ichiga sigʻadigan joy, V; ingl. volume
- Kub santimetrsm3 — tomoni 1 sm boʻlgan kub; ingl. cubic centimetre
- Litr1000 sm3; ingl. litre
- Toʻgʻri burchakli parallelepipedoddiy quti shakli; ingl. cuboid
- Kubhamma qirrasi teng parallelepiped; ingl. cube
- Qirraikki yoq kesishgan chiziq; ingl. edge
- Yoqjismning yassi tomoni; ingl. face
- Sirt yuzasihamma yoqlarning yuzasi; ingl. surface area
- Yoyilmajismning yozib qoʻyilgan koʻrinishi; ingl. net
- Silindrasosi doira boʻlgan jism; ingl. cylinder
Qisqacha
- Hajm — nechta birlik kub sigʻishi, sm3 yoki m3 da.
- V = asos yuzasi × balandlik — qutida ham, silindrda ham.
- Quti: V = a × b × c. Kub: V = a3.
- Sirt yuzasi: S = 2 × (ab + bc + ac). Kub: S = 6a2.
- 1 litr = 1000 sm3, 1 m3 = 1000 litr.
- Silindr: V = π × r2 × h.