PM-73: Simmetriya, koʻchirish va burilish
Kapalak, qorbobo naqshi va Samarqand gumbazi — hammasida bitta matematika bor. Simmetriya oʻqini topishni, burilish simmetriyasini sanashni va koordinatada aks ettirishni oʻrganasiz.
PM-73: Simmetriya, koʻchirish va burilish
Kapalakning ikki qanoti bir xil. Qor parchasining olti nuri bir xil. Samarqanddagi gumbazning naqshi esa qaysi tomondan qarasangiz ham oʻzgarmaydi.
Bularning hammasi bitta narsaning nomi: simmetriya. Va u naqqoshning ishini toʻrt barobar yengillashtiradigan aniq matematik qurol.
Bu darsda siz
- shaklning simmetriya oʻqlarini topib, sanaysiz;
- burilish simmetriyasi tartibini aniqlaysiz;
- koʻchirish, burilish va aks ettirishni farqlaysiz;
- koordinatada nuqtani aks ettirasiz.
1. Oʻq simmetriyasi
Shaklni bir chiziq boʻylab bukkanda ikki yarmi bir-birining ustiga aniq tushsa, oʻsha chiziq — simmetriya oʻqi.
| Shakl | Simmetriya oʻqlari | Izoh |
|---|---|---|
| Kvadrat | 4 | 2 ta oʻrta chiziq va 2 ta diagonal |
| Teng tomonli uchburchak | 3 | har bir uchidan |
| Toʻgʻri toʻrtburchak | 2 | faqat oʻrta chiziqlar, diagonal emas |
| Romb | 2 | faqat ikkala diagonal |
| Parallelogramm | 0 | bitta ham yoʻq |
| Doira | cheksiz | markazdan oʻtgan har qanday chiziq |
Toʻgʻri toʻrtburchakning diagonali simmetriya oʻqi EMAS
Bu eng koʻp uchraydigan xato. Kvadratda diagonal oʻq boʻladi, chunki tomonlari teng. Toʻgʻri toʻrtburchakda esa uni diagonal boʻylab bukkanda uzun tomon qisqa tomonning ustiga tushmaydi — bir chekkasi osilib qoladi. Bir varaq qogʻozni bukib koʻring, darrov ishonasiz.
2. Burilish simmetriyasi
Baʼzi shakllarning oʻqi yoʻq, lekin ularni burib qoʻysangiz, oʻzgarmaganday koʻrinadi.
Burilish simmetriyasining tartibi
Shakl toʻliq bir aylanish (360°) davomida necha marta oʻzidek koʻrinsa, oʻsha son — tartib. Burilish burchagi esa 360° ÷ tartib.
| Shakl | Tartib | Burilish burchagi |
|---|---|---|
| Kvadrat | 4 | 90° |
| Teng tomonli uchburchak | 3 | 120° |
| Parallelogramm | 2 | 180° |
| Doira | cheksiz | istalgan burchak |
Parallelogrammga eʼtibor bering: uning bitta ham simmetriya oʻqi yoʻq, lekin 180° ga burilganda u oʻzidek boʻlib qoladi. Demak bu ikki xil simmetriya bir-biridan mustaqil.
360 ÷ 8 = 45°
Sakkiz qirrali yulduz naqshi 45 gradusga burilganda oʻzgarmaydi.
Tartibi 8, demak burchak 360 ni 8 ga boʻlgandagi qiymat.
3. Uchta harakat
Shaklni qaerga qoʻyish yoki qanday oʻgirishning uchta yoʻli bor. Uchalasi ham shaklning oʻlchamini ham, shaklini ham oʻzgartirmaydi — natija dastlabkisiga teng boʻladi.
| Harakat | Nima qiladi | Hayotda |
|---|---|---|
| Koʻchirish | siljitadi | hoshiyadagi naqsh takrorlanishi |
| Burilish | buradi | gumbaz naqshi, gʻildirak |
| Aks ettirish | koʻzguga soladi | kapalak qanotlari, «A» harfi |
PM-72 bilan farqi
Oʻxshashlikda shakl kattalashadi yoki kichrayadi. Bu uchta harakatda esa oʻlcham umuman oʻzgarmaydi — narsa faqat joyini yoki holatini almashtiradi. Shuning uchun bu yerda k = 1.
4. Koordinatada aks ettirish
Koordinata tekisligida (PM-45) aks ettirish juda oddiy qoidaga aylanadi: bitta ishora almashadi.
| Nima qilinadi | Qoida | A (3; 2) qayerga tushadi |
|---|---|---|
| x oʻqiga nisbatan aks | (x; −y) | (3; −2) |
| y oʻqiga nisbatan aks | (−x; y) | (−3; 2) |
| Boshi atrofida 180° burilish | (−x; −y) | (−3; −2) |
| Koʻchirish (a; b) ga | (x + a; y + b) | (3 + a; 2 + b) |
A (1; 1), B (4; 1), C (1; 3) → A′ (1; −1), B′ (4; −1), C′ (1; −3)
Uchburchak x oʻqiga nisbatan aks ettirildi: har bir nuqtaning faqat y i ishorasini almashtirdi.
Yuzasi oʻzgarmaydi: ikkalasida ham (3 × 2) ÷ 2 = 3 kvadrat birlik (PM-68).
Qaysi oʻq, qaysi ishora
x oʻqiga nisbatan aks ettirsangiz, nuqta yuqoridan pastga tushadi — demak y oʻzgaradi. y oʻqiga nisbatan aks ettirsangiz, nuqta oʻngdan chapga oʻtadi — demak x oʻzgaradi. Yaʼni oʻqning nomi emas, ikkinchisi almashadi. Aynan shu joyda yarim sinf adashadi.
Matnli masala
Usta devorga naqshli plitka teradi. Devor 2 metr balandlikda va 3 metr uzunlikda. Plitkalar kvadrat, tomoni 20 santimetr. Har bir plitkadagi naqshning burilish simmetriyasi 4 — yaʼni plitkani 90° ga bursangiz, naqsh oʻzgarmaydi.
Nechta plitka kerak va usta naqshning qancha qismini chizsa yetarli?
Reja: avval plitkalar sonini topamiz, keyin simmetriya ustaning ishini necha marta kamaytirishini koʻramiz.
Endi naqsh. Bitta plitkaning yuzasi 20 × 20 = 400 sm2. Burilish simmetriyasi 4 boʻlgani uchun usta faqat chorak qismini chizadi, qolgan uchtasi burib chiqiladi:
Tekshiramiz
Devorning yuzasi: 200 × 300 = 60 000 sm2.
Plitkalarning yuzasi: 150 × 400 = 60 000 sm2 ✓ — toʻliq mos.
Javob: 150 ta plitka; naqshning chorak qismi, yaʼni
100 sm2.
Koʻp uchraydigan xatolar
Toʻgʻri toʻrtburchakning 4 ta simmetriya oʻqi bor
2 ta — faqat oʻrta chiziqlar
Diagonal boʻylab bukilganda tomonlar bir-biriga tushmaydi. Toʻrtta oʻq faqat kvadratda boʻladi, chunki unda tomonlar ham teng.
Parallelogrammning 2 ta simmetriya oʻqi bor
0 ta oʻq, lekin burilish simmetriyasi 2
Uni hech qanday chiziq boʻylab bukib boʻlmaydi. Lekin markazi atrofida 180° ga bursangiz, u oʻzidek boʻlib qoladi — bu boshqa turdagi simmetriya.
A (3; 2) ning x oʻqiga nisbatan aksi (−3; 2)
(3; −2)
x oʻqiga nisbatan aks ettirilganda nuqta pastga tushadi, demak y ning ishorasi almashadi. (−3; 2) — bu y oʻqiga nisbatan aks.
Burilishdan keyin shaklning yuzasi oʻzgaradi
Yuza ham, tomonlar ham oʻsha-oʻsha
Koʻchirish, burilish va aks ettirish shaklning faqat oʻrnini oʻzgartiradi. Oʻlcham oʻzgarishi uchun oʻxshashlik kerak (PM-72).
Mashq
1. Kvadratning nechta simmetriya oʻqi bor?
Javobni koʻrish
4 ta. Ikkitasi tomonlarning oʻrtasidan, ikkitasi diagonallar boʻylab.
2. Kvadrat boʻlmagan toʻgʻri toʻrtburchakda nechta simmetriya oʻqi bor?
Javobni koʻrish
2 ta. Faqat qarama-qarshi tomonlarning oʻrtasidan oʻtuvchi ikkita chiziq. Diagonallar bu yerda oʻq emas.
3. Parallelogrammning nechta simmetriya oʻqi bor?
Javobni koʻrish
Bitta ham yoʻq. Lekin uning burilish simmetriyasi 2: markazi atrofida 180° ga burilsa, oʻzidek boʻladi.
4. A (5; −3) nuqtaning x oʻqiga nisbatan aksi qaysi nuqta?
Javobni koʻrish
(5; 3). x oʻzgarmaydi, y ning ishorasi almashadi.
5. B (−2; 4) nuqtaning y oʻqiga nisbatan aksi qaysi nuqta?
Javobni koʻrish
(2; 4). Bu safar y oʻzgarmaydi, x ning ishorasi almashadi.
6. Naqshning takrorlanuvchi boʻlagi 25 sm. Hoshiya 3 metr uzunlikda. Naqsh necha marta takrorlanadi?
Javobni koʻrish
12 marta. 3 m = 300 sm, keyin 300 ÷ 25 = 12. Bu — koʻchirish: bitta boʻlak oʻzgarmagan holda 12 marta siljitib qoʻyiladi.
Kalit soʻzlar
- Simmetriyashaklning oʻzini takrorlash xossasi; ingl. symmetry
- Simmetriya oʻqishaklni teng ikkiga bukadigan chiziq; ingl. line of symmetry
- Burilish simmetriyasiburilgandan keyin oʻzgarmaslik; ingl. rotational symmetry
- Tartib360° da necha marta oʻzidek koʻrinishi; ingl. order
- Koʻchirishshaklni siljitish; ingl. translation
- Burilishmarkaz atrofida burish; ingl. rotation
- Aks ettirishchiziqqa nisbatan koʻzgudagidek oʻgirish; ingl. reflection
- Teng shakllaroʻlchami ham, shakli ham bir xil; ingl. congruent figures
- Naqshtakrorlanuvchi bezak; ingl. pattern
Qisqacha
- Simmetriya oʻqi — buklaganda ikki yarmi mos tushadigan chiziq.
- Kvadrat 4, toʻgʻri toʻrtburchak 2, parallelogramm 0, doira cheksiz oʻqqa ega.
- Burilish simmetriyasi oʻqdan mustaqil: parallelogrammda oʻq yoʻq, lekin tartibi 2.
- Burilish burchagi = 360° ÷ tartib.
- Koʻchirish, burilish va aks ettirish oʻlchamni oʻzgartirmaydi.
- x oʻqiga nisbatan (x; y) → (x; −y); y oʻqiga nisbatan (x; y) → (−x; y).