PM-83: Ehtimollik gʻoyasi: 0 dan 1 gacha
«Ehtimol», «boʻlishi mumkin», «aniq» — bu soʻzlarni son bilan almashtirish mumkin. Har qanday hodisaning ehtimolligi 0 bilan 1 orasida yotadi va uni hisoblab topsa boʻladi.
PM-83: Ehtimollik gʻoyasi: 0 dan 1 gacha
«Ertaga yomgʻir yogʻishi mumkin.» «Bu jamoa gʻalaba qozonsa kerak.» «Menimcha, imtihon oson boʻladi.»
Bu jumlalarning hammasi noaniq. Matematika esa ularni songa aylantirishni oʻrgatadi — va oʻsha son har doim 0 bilan 1 orasida boʻladi.
Bu darsda siz
- ehtimollikni 0 dan 1 gacha boʻlgan shkalada joylashtirasiz;
- teng imkoniyatli hollarda ehtimollikni hisoblaysiz;
- uni kasr, oʻnlik kasr va foiz koʻrinishida yozasiz;
- imkonsiz va aniq hodisalarni ajratasiz.
1. Shkala: 0 dan 1 gacha
Ehtimollik — hodisaning roʻy berish imkoniyatini oʻlchaydigan son. U hech qachon 0 dan kichik va 1 dan katta boʻlmaydi.
Shkalaning ikki chekkasi
P = 0 — hodisa hech qachon roʻy bermaydi (imkonsiz).
P = 1 — hodisa har doim roʻy beradi (aniq).
Qolgan hamma narsa shu ikkisining orasida.
2. Hisoblash: qulay hollarni jamiga boʻlish
Agar hamma natija teng imkoniyatli boʻlsa — tanga yasama emas, zar toʻgʻri — ehtimollik oddiy boʻlinma bilan topiladi.
P(gerb) = 1 ÷ 2 = 0,5 = 50%
Tangada ikkita natija bor, gerb esa ulardan bittasi.
P(zarda 6) = 1 ÷ 6 ≈ 0,17 ≈ 17%
Zarda oltita yoq bor, olti esa bittasi.
1 ÷ 6 = 0,1666… — bu yerda oʻnlik kasr yaxlitlanadi (PM-14), kasr koʻrinishi esa aniq.
P(zarda juft son) = 3 ÷ 6 = 0,5 = 50%
Juft sonlar 2, 4 va 6 — uchtasi qulay hol.
Uch xil libos, bitta son
Ehtimollikni kasr, oʻnlik kasr yoki foiz bilan yozish mumkin — bu PM-22 dagi oʻsha uchlik. 1/2 = 0,5 = 50%. Masala qaysi koʻrinishni soʻrasa, oʻshanisini yozing.
3. Imkonsiz va aniq
| Hodisa | Qulay ÷ jami | P |
|---|---|---|
| Zarda 7 tushadi | 0 ÷ 6 | 0 — imkonsiz |
| Zarda 6 tushadi | 1 ÷ 6 | ≈ 0,17 |
| Tangada gerb | 1 ÷ 2 | 0,5 |
| Zarda 6 dan katta boʻlmagan son | 6 ÷ 6 | 1 — aniq |
P hech qachon 1 dan katta boʻlmaydi
Qulay hollar jami hollardan koʻp boʻlishi mumkin emas — shuning uchun boʻlinma ham 1 dan oshmaydi. Agar javobingiz 1,5 yoki 120% chiqsa, xato bor: koʻpincha qulay hollar notoʻgʻri sanalgan yoki boʻlish teskari qilingan.
4. Qaysi hodisa ehtimolliroq?
Ikki hodisani solishtirish uchun ularning ehtimolligini bir xil koʻrinishga keltiring.
Zarda 5 yoki 6
P = 2 ÷ 6 = 1/3 ≈ 0,33
Tangada gerb
P = 1 ÷ 2 = 0,5
0,5 > 0,33 — demak tangada gerb tushishi ehtimolliroq. Kasrlarni solishtirish qiyin boʻlsa, ikkalasini oʻnlik kasrga oʻgiring (PM-22).
Matnli masala
Qopchada 10 ta shar bor: 3 tasi qizil, 7 tasi koʻk. Qopchaga qaramasdan bitta shar olinadi.
Qizil shar chiqish ehtimolligi qancha? Va nechta qizil shar qoʻshilsa, ehtimollik 0,5 boʻladi?
Reja: avval hozirgi ehtimollikni topamiz. Keyin qizil sharlar qoʻshilganda ham qulay hollar, ham jami hollar oʻsishini hisobga olamiz.
Tekshiramiz
Qoʻshgandan keyin: 7 qizil, 7 koʻk, jami 14 ta shar.
P(qizil) = 7 ÷ 14 = 0,5 ✓
Javob: hozir 0,3 (30%); toʻrtta qizil shar qoʻshilsa,
0,5 boʻladi.
Koʻp uchraydigan xatolar
P(zarda 6) = 6
P = 1 ÷ 6 ≈ 0,17
Ehtimollik hech qachon 1 dan katta boʻlmaydi. 6 — bu yoqning raqami, ehtimollik emas.
P(zarda juft) = 6 ÷ 3 = 2
3 ÷ 6 = 0,5
Boʻlish teskari qilingan. Yuqorida qulay hollar, pastda jami hollar turadi.
Qopchada 3 qizil va 7 koʻk → P(qizil) = 3 ÷ 7
3 ÷ 10
Maxrajda hamma sharlar turadi, faqat boshqa rangdagilar emas: 3 + 7 = 10.
«Ertaga yo yomgʻir yogʻadi, yo yogʻmaydi — demak P = 0,5»
Ikkita natija teng imkoniyatli boʻlgandagina 0,5
Formula faqat teng imkoniyatli hollarda ishlaydi. Yomgʻir yogʻishi va yogʻmasligi teng imkoniyatli emas — buni oʻlchash uchun kuzatuv maʼlumoti kerak.
Mashq
1. Tanga tashlandi. Gerb tushish ehtimolligi qancha? Uch xil koʻrinishda yozing.
Javobni koʻrish
1/2 = 0,5 = 50%. Ikkita teng imkoniyatli natijadan bittasi qulay.
2. Zar tashlandi. 3 tushish ehtimolligi qancha?
Javobni koʻrish
1/6 ≈ 0,17. Oltita yoqdan bittasi.
3. Zarda 4 dan katta son tushish ehtimolligi qancha?
Javobni koʻrish
1/3 ≈ 0,33. Qulay hollar 5 va 6 — ikkitasi: 2 ÷ 6 = 1/3.
4. Qopchada 4 ta qizil va 6 ta koʻk shar bor. Koʻk shar chiqish ehtimolligi qancha?
Javobni koʻrish
0,6 yoki 60%. Jami sharlar: 4 + 6 = 10. Qulay hollar 6 ta: 6 ÷ 10 = 0,6.
5. Ehtimolligi 0 va ehtimolligi 1 boʻlgan bittadan hodisa ayting.
Javobni koʻrish
Masalan: P = 0 — oddiy zarda 7 tushishi (imkonsiz). P = 1 — zarda 1 dan 6 gacha boʻlgan sonlardan biri tushishi (aniq).
6. Qaysi biri ehtimolliroq: zarda juft son tushishimi yoki zarda 5 dan kichik son tushishimi?
Javobni koʻrish
5 dan kichik son. Juft: 2, 4, 6 → 3 ÷ 6 = 0,5. Beshdan kichik: 1, 2, 3, 4 → 4 ÷ 6 ≈ 0,67. 0,67 > 0,5.
7. Lotereyada 20 ta bilet bor, ulardan 5 tasi yutuqli. Bitta bilet olindi. Yutish ehtimolligi qancha (foizda)? Va yutmaslik ehtimolligi-chi?
Javobni koʻrish
Yutish 25%, yutmaslik 75%. Yutish: 5 ÷ 20 = 0,25 = 25%. Yutuqsiz biletlar 20 − 5 = 15 ta, demak 15 ÷ 20 = 0,75 = 75%. Ikkalasining yigʻindisi 100% — bu tasodif emas.
Kalit soʻzlar
- Ehtimollikhodisaning roʻy berish imkoniyati oʻlchovi; ingl. probability
- Hodisaroʻy berishi mumkin boʻlgan natija; ingl. event
- Qulay holbizni qiziqtirgan natija; ingl. favourable outcome
- Jami hollarhamma mumkin boʻlgan natijalar; ingl. total outcomes
- Teng imkoniyatlihamma natijaning imkoniyati bir xil; ingl. equally likely
- Imkonsiz hodisaP = 0 boʻlgan hodisa; ingl. impossible event
- Aniq hodisaP = 1 boʻlgan hodisa; ingl. certain event
- Tasodifoldindan aytib boʻlmaydigan natija; ingl. chance
- Shkala0 dan 1 gacha boʻlgan oʻlchov chizigʻi; ingl. scale
Qisqacha
- Ehtimollik har doim 0 bilan 1 orasida.
- P = 0 — imkonsiz, P = 1 — aniq, P = 0,5 — teng ehtimol.
- Teng imkoniyatli hollarda P = qulay ÷ jami.
- Maxrajda hamma natijalar turadi, faqat qolganlari emas.
- Uni kasr, oʻnlik kasr yoki foiz bilan yozish mumkin.
- Formula faqat natijalar teng imkoniyatli boʻlganda ishlaydi.