Mathematics

PM-84: Ehtimollikni hisoblash va tajriba bilan tekshirish

Ehtimollikni ikki yoʻl bilan topamiz: hollarni sanab hisoblab va tajriba oʻtkazib. Teskari hodisa qoidasi (1 − P) koʻp masalani bir qatorga qisqartiradi.

powerty

Aug. 17, 2026

5 8 min 0

PM-84: Ehtimollikni hisoblash va tajriba bilan tekshirish

Ikkita zar tashlaymiz va yigʻindisi 7 chiqishiga umid qilamiz. Nega aynan 7? Chunki 7 — eng koʻp uchraydigan yigʻindi. Buni qaydan bilamiz?

Ikki yoʻl bor. Birinchisi — hamma hollarni sanab, formulaga qoʻyish. Ikkinchisi — zarni yuz marta tashlab, hisoblab turish. Bu darsda ikkalasini ham oʻrganamiz va ular bir-birini tekshirishini koʻramiz.

Bu darsda siz

koʻpaytirish prinsipi bilan jami hollarni sanaysiz;
teskari hodisa qoidasini (1 − P) qoʻllaysiz;
nisbiy chastotani hisoblab, uni ehtimollik bilan solishtirasiz;
qachon faqat tajriba yordam berishini bilib olasiz.

Ikki yoʻl, bitta son qulay ÷ jami ≈ roʻy berdi ÷ tajriba soni

1. Jami hollarni sanash — PM-82 shu yerda kerak boʻladi

PM-83 da formulani oʻrgandik: P = qulay hollar ÷ jami hollar. Zar va tanga uchun jami hollar koʻrinib turardi: 6 va 2. Endi qiyinrogʻi.

Ikkita zar tashlandi. Jami nechta hol bor?

Birinchi zar — 6 xil natija 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ikkinchi zar — yana 6 xil natija Birinchisi qanday tushishidan qatʼi nazar

6 × 6 = 36 ta hol Koʻpaytirish prinsipi (PM-82)

Endi yigʻindisi 7 boʻlgan hollarni sanaymiz. Birinchi zarni oldin yozamiz, shuning uchun (1; 6) va (6; 1) — ikkita har xil hol:

(1; 6) (2; 5) (3; 4) (4; 3) (5; 2) (6; 1) — 6 ta hol

Yigʻindisi 7 boʻladigan oltita juftlik bor.

P(7) = 6 ÷ 36 = ¹/₆ ≈ 0,17 Olti qulay hol, jami 36 ta

Endi 8 ni sanaymiz: (2; 6) (3; 5) (4; 4) (5; 3) (6; 2) — beshta hol. Demak P(8) = 5 ÷ 36 ≈ 0,14. Haqiqatan ham 7 ehtimolliroq ekan.

Yigʻindilar teng imkoniyatli EMAS

Ikki zarning yigʻindisi 2 dan 12 gacha — oʻn bir xil son. «Demak har birining ehtimolligi ¹/₁₁» deb oʻylash — eng koʻp uchraydigan xato. Yigʻindi 2 faqat bitta yoʻl bilan chiqadi (1; 1), yigʻindi 7 esa oltita yoʻl bilan. Formula teng imkoniyatli hollarni talab qiladi, yigʻindilar esa teng emas — shuning uchun maxrajda 11 emas, 36 turadi.

2. Teskari hodisa: 1 − P

Baʼzan qulay hollarni sanash uzoq, teskarisini sanash esa oson. Shunda teskari tomondan yuriladi.

Teskari hodisa qoidasi P(A roʻy bermasligi) = 1 − P(A)

Nega ishlaydi? Hodisa yo roʻy beradi, yo bermaydi — uchinchi yoʻl yoʻq. Demak ularning ehtimolliklari yigʻindisi butun 1 ni beradi.

P(zarda 6 emas) = 1 − ¹/₆ = ⁵/₆

Oltita yoqdan beshtasi olti emas.

Endi qoida haqiqatan ish beradigan masala. Ikkita zar tashlandi. Kamida bitta 6 tushish ehtimolligi qancha?

«Kamida bitta» — bu bir 6, ikkita 6, birinchi zarda 6, ikkinchisida 6… sanash chalkash. Teskarisi esa juda tiniq: hech bir zarda 6 yoʻq.

Jami hollar: 6 × 6 = 36 Koʻpaytirish prinsipi

6 siz hollar: 5 × 5 = 25 Har bir zarda 6 dan boshqa 5 xil natija

P(6 yoʻq) = 25 ÷ 36 Teskari hodisaning ehtimolligi

P(kamida bitta 6) = 1 − ²⁵/₃₆ = ¹¹/₃₆ ≈ 0,31 Butundan teskarisini ayirdik

Tekshiramiz

36 ta holdan 25 tasida 6 yoʻq, demak qolgan 36 − 25 = 11 tasida kamida bitta 6 bor. 11 ÷ 36 ≈ 0,31 ✓ — ikki yoʻl bir xil javob berdi.

«Kamida bitta» degan soʻzni koʻrsangiz

Deyarli har doim teskari hodisa qulayroq. «Kamida bitta» ning teskarisi — bitta ham emas, va uni sanash odatda bitta koʻpaytmaga sigʻadi.

3. Ikkinchi yoʻl: tajriba va nisbiy chastota

Zarni sanash mumkin edi, chunki uning oltita yogʻi teng. Lekin knopkani (kanselyariya tugmasini) tashlasak, u uchi bilan tushadimi yoki yonboshlab? Bu yerda sanaydigan «teng yoq» yoʻq. Bitta chora qoladi — tashlab koʻrish.

Nisbiy chastota chastota = hodisa roʻy bergan marta ÷ jami tajriba

Dilnoza tangani tashladi va gerb necha marta tushganini yozib bordi. Uning daftari:

Necha marta tashlandi	Gerb tushdi	Nisbiy chastota
20	13	13 ÷ 20 = 0,650
50	29	29 ÷ 50 = 0,580
100	56	56 ÷ 100 = 0,560
200	106	106 ÷ 200 = 0,530
500	254	254 ÷ 500 = 0,508

Tajriba koʻpaygan sari chastota 0,5 ga yaqinlashib boradi. Oʻq 0 dan boshlangan — PM-81 dagi qoida bu yerda ham amal qiladi.

Koʻp takrorlash qoidasi

Tajriba soni ortgani sari nisbiy chastota ehtimollikka yaqinlashadi. 20 ta tashlashda 0,65 chiqishi mumkin va bu hech qanday gʻalati emas; 500 ta tashlashda esa 0,5 dan uzoqlashish deyarli imkonsiz. Shuning uchun bitta qisqa tajribaga ishonib xulosa chiqarilmaydi.

Tanga «qarzdor» emas

Ketma-ket besh marta gerb tushdi — endi raqam tushish ehtimolligi ortadimi? Yoʻq. Tangada xotira yoʻq: keyingi tashlashda ham P = 0,5. Chastota 0,5 ga qaytishi kelgusi natijalar «tuzatgani» uchun emas, yangi tashlashlar soni koʻpayib, eski beshtasining ulushi kichrayib ketgani uchun.

4. Qachon faqat tajriba qoladi

Sanab hisoblanadi

Tanga, zar, qopchadagi sharlar, lotereya biletlari — natijalar teng imkoniyatli va sanoqli.

Faqat tajriba

Knopka, ob-havo, jamoaning gʻalabasi, lampochkaning ishlash muddati — teng yoqlar yoʻq, kuzatuv kerak.

PM-83 da ob-havo bashoratidagi «60% yomgʻir» soni haqida gapirgan edik. Mana u qayerdan olinadi: bugungiga oʻxshash ob-havo sharoiti oʻtmishda 100 marta kuzatilgan boʻlsa va shulardan 60 tasida yomgʻir yoqqan boʻlsa, chastota 60 ÷ 100 = 0,6 boʻladi. Bu — sanab emas, kuzatib olingan ehtimollik.

Matnli masala

Bekzodning qutisida faqat qizil va koʻk sharlar bor. Jami 20 ta shar borligini biladi, lekin nechtadan ekanini bilmaydi. U 60 marta koʻzini yumib bitta shar oldi, rangini yozdi va sharni qutiga qaytarib soldi. Koʻk shar 45 marta chiqdi.

Qutida taxminan nechta koʻk shar bor?

Reja: tajribadan nisbiy chastotani topamiz. U koʻk shar chiqish ehtimolligiga yaqin. Keyin bu ehtimollikni 20 ta sharga qoʻllaymiz.

chastota = 45 ÷ 60 = 0,75 Koʻk chiqqan marta ÷ jami tajriba

P(koʻk) ≈ 0,75 60 ta tajriba — yetarlicha koʻp

koʻk sharlar ≈ 20 × 0,75 Jami sharlarning 75 foizi

= 15 ta koʻk shar Qolgani 20 − 15 = 5 ta qizil

Tekshiramiz

Agar qutida 15 koʻk va 5 qizil shar boʻlsa, P(qizil) = 5 ÷ 20 = 0,25. Tajribada qizil 60 − 45 = 15 marta chiqqan, yaʼni chastotasi 15 ÷ 60 = 0,25 ✓
Javob: qutida taxminan 15 ta koʻk shar bor.

Taxmin 45 — 60 ning uchdan toʻrt qismi. Demak sharlarning ham taxminan uchdan toʻrti koʻk: 20 ning ³/₄ qismi 15 ta.

«Taxminan» soʻzi bejiz emas

Tajriba aniq javob bermaydi — u baho beradi. Boshqa 60 ta tajribada koʻk 43 yoki 47 marta chiqishi mumkin edi. Shuning uchun javobda «taxminan 15» deb yoziladi, «roppa-rosa 15» deb emas.

Koʻp uchraydigan xatolar

Ikki zarning yigʻindisi 2 dan 12 gacha, demak P(7) = ¹/₁₁

P(7) = 6 ÷ 36 = ¹/₆

Yigʻindilar teng imkoniyatli emas. Maxrajda teng imkoniyatli hollar turadi — ular 36 ta juftlik.

P(kamida bitta 6) = ¹/₆ + ¹/₆ = ²/₆

1 − ²⁵/₃₆ = ¹¹/₃₆

Ikkala zarda ham 6 tushgan hol ikki marta sanaladi. Qoʻshish oʻrniga teskari hodisadan yuriladi.

P(yutmaslik) = 1 ÷ P(yutish)

P(yutmaslik) = 1 − P(yutish)

Teskari hodisada ayiriladi, boʻlinmaydi. P = 0,25 boʻlsa, 1 ÷ 0,25 = 4 — bu ehtimollik boʻlishi mumkin emas.

20 marta tashlaganda gerb 13 marta tushdi — demak bu tanga nosoz

20 ta tajriba xulosa uchun juda kam

Kichik tajribada chastota 0,5 dan ancha chetlashishi tabiiy. Xulosa uchun yuzlab tashlash kerak.

Mashq

1. Ikkita zar tashlandi. Jami nechta hol bor va yigʻindisi 5 boʻlgan nechta hol bor?

Javobni koʻrish

36 ta hol, ulardan 4 tasi. Jami 6 × 6 = 36. Yigʻindisi 5: (1; 4) (2; 3) (3; 2) (4; 1) — toʻrtta. P = 4 ÷ 36 = ¹/₉ ≈ 0,11.

2. Bir hodisaning ehtimolligi 0,3. Uning roʻy bermaslik ehtimolligi qancha?

Javobni koʻrish

0,7. Teskari hodisa qoidasi: 1 − 0,3 = 0,7. Foizda aytganda 70%.

3. Ikkita zar tashlandi. Kamida bitta 1 tushish ehtimolligi qancha?

Javobni koʻrish

¹¹/₃₆ ≈ 0,31. 1 siz hollar: 5 × 5 = 25. Demak 1 − 25 ÷ 36 = 11 ÷ 36. Bu 6 bilan bir xil javob — zarning yoqlari teng huquqli.

4. Sherbek knopkani 200 marta tashladi; u 76 marta uchi bilan yuqoriga tushdi. Nisbiy chastotani toping.

Javobni koʻrish

0,38. 76 ÷ 200 = 0,38, yaʼni 38%. Knopkani sanab hisoblab boʻlmaydi — faqat shunday tajriba yordam beradi.

5. Tanga ketma-ket 4 marta gerb tomoni bilan tushdi. Beshinchi tashlashda raqam tushish ehtimolligi qancha?

Javobni koʻrish

0,5. Tangada xotira yoʻq. Oldingi natijalar keyingisiga umuman taʼsir qilmaydi.

6. Qopchada 8 ta yashil va 12 ta sariq shar bor. Bitta shar olindi. Yashil chiqmaslik ehtimolligini ikki yoʻl bilan toping.

Javobni koʻrish

0,6. Toʻgʻridan-toʻgʻri: sariqlar 12 ta, 12 ÷ 20 = 0,6. Teskari hodisa bilan: P(yashil) = 8 ÷ 20 = 0,4, demak 1 − 0,4 = 0,6 ✓

7. Afsona qutidagi rangli qalamlar bilan tajriba qildi: 80 marta qalam olib, rangini yozib, qaytarib soldi. Qizil qalam 20 marta chiqdi. Qutida jami 12 ta qalam bor. Taxminan nechtasi qizil?

Javobni koʻrish

Taxminan 3 ta. chastota = 20 ÷ 80 = 0,25. Demak 12 × 0,25 = 3 ta qizil qalam. Tekshiramiz: 3 ÷ 12 = 0,25 ✓

Kalit soʻzlar

Ehtimollikhodisaning roʻy berish imkoniyati oʻlchovi; ingl. probability
Teskari hodisaberilgan hodisa roʻy bermasligi; ingl. complementary event
Nisbiy chastotaroʻy bergan marta ÷ jami tajriba; ingl. relative frequency
Tajribanatijasi oldindan nomaʼlum boʻlgan takroriy sinov; ingl. experiment
Sinovtajribaning bitta takrori; ingl. trial
Koʻpaytirish prinsipibosqichlardagi variantlar koʻpaytiriladi; ingl. counting principle
Teng imkoniyatlihamma natijaning imkoniyati bir xil; ingl. equally likely
Kutilgan qiymatuzoq muddatda kutiladigan oʻrtacha natija; ingl. expected value
Bahoaniq emas, taxminiy qiymat; ingl. estimate