PM-82: Sanash: koʻpaytirish prinsipi
Nechta variant bor? Har bir tanlovni bittalab sanash shart emas: bosqichlarning imkoniyatlari koʻpaytiriladi. Daraxt diagrammasi bu qoida nega ishlashini koʻrsatadi.
PM-82: Sanash: koʻpaytirish prinsipi
Shkafingizda uchta koʻylak va ikkita shim bor. Necha xil kiyinishingiz mumkin?
Bittalab sanab chiqsa boʻladi. Lekin koʻylak yigirmata boʻlsa-chi? Shuning uchun matematikada boshqa yoʻl bor va u bitta amaldan iborat.
Bu darsda siz
- koʻpaytirish prinsipini qoʻllaysiz;
- daraxt diagrammasi chizib, qoidani isbotlaysiz;
- uch va undan koʻp bosqichli tanlovni sanaysiz;
- kod va parollar sonini hisoblaysiz.
1. Daraxt chizamiz
Uchta koʻylak: oq, koʻk, yashil. Ikkita shim: qora, jinsi.
Daraxtning oxiridagi nuqtalarni sanang: 6 ta. Va endi qarang nega: uchta koʻylakning har biriga ikkitadan shim mos keladi, demak 2 + 2 + 2, yaʼni 3 × 2.
Koʻpaytirish prinsipi
Agar birinchi tanlovni m xil, ikkinchisini n xil qilish mumkin boʻlsa, ikkalasini birga m × n xil qilish mumkin. Bosqich qancha koʻp boʻlsa, shuncha koʻpaytiruvchi qoʻshiladi.
2. Jadval bilan tekshirish
Endi toʻrtta shim boʻlsin. Jadval tuzamiz: qatorlar — koʻylaklar, ustunlar — shimlar.
| Koʻylak \ Shim | qora | jinsi | kulrang | oq |
|---|---|---|---|---|
| oq | 1 | 2 | 3 | 4 |
| koʻk | 5 | 6 | 7 | 8 |
| yashil | 9 | 10 | 11 | 12 |
Jadvalda 3 qator va 4 ustun bor, katakchalar soni esa 3 × 4 = 12. Bu — oʻsha koʻpaytirish prinsipining boshqa koʻrinishi.
3. Uchinchi bosqich qoʻshamiz
Ikkita poyabzal ham boʻlsin. Endi har bir variantdan yana ikkitaga tarmoqlanadi:
3 × 4 × 2 = 24
Uchta koʻylak, toʻrtta shim va ikkita poyabzal bilan yigirma toʻrt xil kiyinish mumkin.
Bosqichlarni ketma-ket koʻpaytirib boraverasiz — tartibning ahamiyati yoʻq.
Qoʻshish emas, koʻpaytirish
3 + 4 + 2 = 9 emas! Qoʻshish «yo koʻylak, yo shim, yo poyabzal tanlayman» degan boshqa savolga javob berardi. Bu yerda esa hammasi birga tanlanadi — har bir koʻylak har bir shim bilan keladi. «Va» — koʻpaytirish, «yoki» — qoʻshish.
4. Kodlar va parollar
Velosiped qulfida uchta gʻildirak bor, har birida 0 dan 9 gacha raqam. Nechta kod boʻlishi mumkin?
Diqqat: bu yerda raqamlar takrorlanishi mumkin — 777 ham haqiqiy kod. Shuning uchun har bir bosqichda baribir 10 ta imkoniyat qoladi.
Matnli masala
Maktab bufetida tushlik uchun: 3 xil birinchi taom, 4 xil ikkinchi taom va 2 xil ichimlik bor. Tushlik — har biridan bittadan.
Necha xil tushlik boʻlishi mumkin? Va toʻrt haftalik oyda (20 ta oʻquv kuni) har kuni boshqacha tushlik qilish mumkinmi?
Reja: bosqichlarni koʻpaytiramiz, keyin natijani oʻquv kunlari soni bilan solishtiramiz.
Tekshiramiz
24 — taxminimizdagi «20 dan koʻp» ✓
Boshqa yoʻl: har bir ichimlik uchun 12 tadan variant bor, yaʼni
12 + 12 = 24 ✓
Javob: 24 xil tushlik; 20 kunga yetadi va yana 4 ta ortadi.
Koʻp uchraydigan xatolar
3 koʻylak va 4 shim → 3 + 4 = 7 variant
3 × 4 = 12 variant
Har bir koʻylak har bir shim bilan kiyiladi. Qoʻshish «faqat bittasini tanlayman» degan boshqa savolga javob beradi.
Uchta bosqich: 3 × 4 + 2 = 14
3 × 4 × 2 = 24
Har bir bosqich koʻpaytiruvchi boʻlib qoʻshiladi. Amallar tartibi ham buni buzadi: qoʻshish oxirida bajarilib, javob butunlay boshqa chiqadi (PM-5).
Uch xonali kod, har xonada 10 raqam → 10 × 3 = 30
10 × 10 × 10 = 1000
Bosqichlar soni koʻpaytiruvchi emas, koʻpaytiruvchilar soni. Uchta bosqich — uchta oʻnlik koʻpaytiriladi.
Daraxtdagi hamma nuqtani sanash: 1 + 3 + 6 = 10
Faqat oxirgi nuqtalarni sanang: 6
Variant — bu daraxtning uchi, yaʼni toʻliq bir yoʻl. Oraliq tugunlar tugallanmagan tanlovlar.
Mashq
1. 4 xil muzqaymoq va 5 xil qoʻshimcha bor. Necha xil kombinatsiya?
Javobni koʻrish
20 ta. 4 × 5 = 20.
2. 2 xil non, 3 xil pishloq va 4 xil sabzavot. Necha xil buterbrod?
Javobni koʻrish
24 ta. 2 × 3 × 4 = 24.
3. Ikkita zar tashlandi. Nechta natija boʻlishi mumkin?
Javobni koʻrish
36 ta. Har bir zarda 6 tadan natija: 6 × 6 = 36.
4. Uch xonali kod tuziladi, har xonaga 4 ta harfdan biri qoʻyiladi. Nechta kod boʻlishi mumkin?
Javobni koʻrish
64 ta. 4 × 4 × 4 = 64. Harflar takrorlanishi mumkin, shuning uchun har xonada baribir 4 ta imkoniyat qoladi.
5. Tanga uch marta tashlandi. Nechta natija boʻlishi mumkin?
Javobni koʻrish
8 ta. Har tashlashda 2 ta natija: 2 × 2 × 2 = 8.
6. Afsona 5 ta koʻylak, 3 ta yubka va 2 ta sharfdan iborat kiyimlarni almashtirib kiyadi. Har kuni boshqacha kiyinsa, necha kunga yetadi? Bu ikki oydan koʻpmi?
Javobni koʻrish
30 kunga; ikki oyga yetmaydi. 5 × 3 × 2 = 30 ta variant, demak 30 kun. Ikki oy taxminan 60 kun, shuning uchun yarmigagina yetadi.
Kalit soʻzlar
- Koʻpaytirish prinsipibosqichlarning imkoniyatlari koʻpaytiriladi; ingl. multiplication principle
- Variantmumkin boʻlgan bir tanlov; ingl. outcome
- Bosqichtanlovning bir qadami; ingl. stage
- Daraxt diagrammasitanlovlarni shoxlar bilan koʻrsatuvchi chizma; ingl. tree diagram
- Kombinatsiyabir nechta tanlovning birgalikdagi natijasi; ingl. combination
- Kodbelgilar ketma-ketligi; ingl. code
- Takrorlanishbir belgini qayta ishlatish imkoni; ingl. repetition
- Sanashvariantlar sonini aniqlash; ingl. counting
- Jadval usulivariantlarni qator va ustunga joylash; ingl. table method
Qisqacha
- Koʻpaytirish prinsipi: m × n × … = variantlar soni.
- «Va» — koʻpaytirish, «yoki» — qoʻshish.
- Daraxt diagrammasi qoidani koʻrsatadi: variant — daraxtning uchi.
- Jadval ikki bosqich uchun qulay: qatorlar × ustunlar.
- Har bir yangi bosqich yangi koʻpaytiruvchi qoʻshadi.
- Kodlarda belgilar takrorlanishi mumkin, shuning uchun har xonada imkoniyatlar soni kamaymaydi.