PM-79: Mediana va moda — qaysi biri haqiqatni toʻgʻriroq aytadi
Oʻrtachani bitta katta son buzib qoʻyadi. Mediana — saralangan qatordagi oʻrtadagi son — bunga berilmaydi. Moda esa eng koʻp uchraganini aytadi va hatto sonsiz maʼlumotda ham ishlaydi.
PM-79: Mediana va moda — qaysi biri haqiqatni toʻgʻriroq aytadi
Oʻtgan darsni bitta muammo bilan tugatgan edik: beshta oʻquvchining choʻntak puli 5, 6, 5, 4 va 30 ming soʻm. Oʻrtacha 10 ming chiqdi — lekin beshtadan toʻrttasida bundan kam pul bor.
Demak «oʻrtacha 10 ming» degan jumla rost, lekin haqiqatni koʻrsatmaydi. Uni koʻrsatadigan ikkita boshqa son bor.
Bu darsda siz
- medianani topasiz — sonlar juft va toq boʻlganda ham;
- modani topasiz va u sonsiz maʼlumotda ham ishlashini koʻrasiz;
- uchala oʻlchovni bir maʼlumotda taqqoslaysiz;
- qaysi biri qachon toʻgʻriroq gapirishini bilib olasiz.
1. Mediana — qatorning oʻrtasi
Ikki qadam, tartibi muhim
1. Sonlarni oʻsish tartibida saralang.
2. Roppa-rosa oʻrtadagi sonni oling.
Saralamasdan oʻrtadagini olish — bu darsdagi eng koʻp uchraydigan
xato.
Choʻntak pullarini saralaymiz: 4, 5, 5, 6, 30. Beshta son bor, demak uchinchisi oʻrtada turadi — 5.
Mana asosiy farq: agar oʻsha 30 ming 300 ming boʻlganida ham, mediana baribir 5 boʻlib qolardi — chunki oʻrtadagi son oʻzgarmaydi. Oʻrtacha esa 70 mingga sakrardi.
2. Sonlar juft boʻlsa
Agar sonlar soni juft boʻlsa, oʻrtada bittasi emas, ikkitasi turadi. Unda ularning oʻrta arifmetigi olinadi (PM-78).
3, 5, 8, 10 → (5 + 8) ÷ 2 = 6,5
Toʻrtta son bor, oʻrtadagilari 5 va 8; mediana — 6,5.
Mediana ham maʼlumotdagi sonlardan biri boʻlishi shart emas.
3. Moda — eng koʻp uchragani
Moda — maʼlumotda eng koʻp marta takrorlangan qiymat. Choʻntak pullarida 5 ikki marta uchradi, qolganlari bir martadan — demak moda 5.
Moda sonsiz maʼlumotda ham ishlaydi
«Sinfda eng koʻp uchraydigan sevimli meva» yoki «doʻkonda eng koʻp sotiladigan oʻlcham» — bularning oʻrtachasini ham, medianasini ham hisoblab boʻlmaydi. Modani esa topsa boʻladi, chunki u faqat sanashni talab qiladi. Doʻkonchi uchun aynan shu son kerak.
Moda boʻlmasligi ham, bir nechta boʻlishi ham mumkin
Agar hamma son bir martadan uchrasa, moda yoʻq. Agar ikkita qiymat bir xil marta takrorlansa, ikkalasi ham moda boʻladi. Bu xato emas — shunchaki maʼlumotning xossasi.
4. Uchalasini yonma-yon qoʻyamiz
| Oʻlchov | Qanday topiladi | Chetki songa |
|---|---|---|
| Oʻrta arifmetik | yigʻindi ÷ soni | juda sezgir |
| Mediana | saralab, oʻrtadagi | deyarli sezgir emas |
| Moda | eng koʻp uchragani | sezgir emas |
| Qachon ishlatiladi | Qaysi biri |
|---|---|
| Sonlar bir-biriga yaqin, chetki son yoʻq | oʻrtacha |
| Bitta-ikkita son juda katta yoki juda kichik | mediana |
| Maʼlumot son emas (rang, oʻlcham, meva) | moda |
Matnli masala
Kichik korxonada yetti kishi ishlaydi. Oylik maoshlari (million soʻmda): 5, 3, 26, 3, 4, 5 va 3.
Uchala oʻlchovni ham toping. Ish qidirayotgan odamga qaysi birini aytish halolroq?
Reja: avval saralaymiz — mediana ham, moda ham shundan koʻrinadi. Keyin oʻrtachani hisoblaymiz.
Tekshiramiz
Yettitadan oltitasi 7 milliondan kam oladi — demak
«oʻrtacha maosh 7 million» degan gap odamni chalgʻitadi.
Mediana 4: yarmi bundan koʻp, yarmi kam oladi — bu halol son.
Javob: oʻrtacha 7, mediana 4, moda 3 million. Ish
qidirayotgan odamga medianani aytish toʻgʻriroq.
Koʻp uchraydigan xatolar
7, 2, 9, 4, 5 → mediana 9 (oʻrtada turibdi)
Saralaymiz: 2, 4, 5, 7, 9 → mediana 5
Saralashsiz mediana topib boʻlmaydi. «Oʻrtadagi» degani roʻyxatdagi emas, saralangan qatordagi oʻrtadagi.
2, 4, 6, 8 → mediana 4 yoki 6
(4 + 6) ÷ 2 = 5
Sonlar juft boʻlganda oʻrtada ikkita son qoladi va ularning oʻrta arifmetigi olinadi.
3, 3, 3, 7, 9 → moda 3 marta
Moda — 3
Moda — qiymatning oʻzi, u necha marta uchragani emas. «Necha marta» degani chastota (PM-75).
Mediana har doim oʻrtachadan kichik
Qaysi tomonda chetki son boʻlsa, oʻrtacha oʻsha tomonga siljiydi
Katta chetki son oʻrtachani yuqoriga, kichik chetki son pastga tortadi. Chetki son boʻlmasa, ikkalasi deyarli teng chiqadi.
Mashq
1. 3, 7, 5, 9, 1 sonlarining medianasi qancha?
Javobni koʻrish
5. Saralaymiz: 1, 3, 5, 7, 9. Beshta son, oʻrtadagisi uchinchisi — 5.
2. 4, 8, 6, 2 sonlarining medianasi qancha?
Javobni koʻrish
5. Saralaymiz: 2, 4, 6, 8. Juft son, oʻrtadagilari 4 va 6: (4 + 6) ÷ 2 = 5.
3. 2, 3, 3, 5, 7 sonlarining modasi qancha?
Javobni koʻrish
3. U ikki marta uchradi, qolganlari bir martadan.
4. 1, 2, 3, 4 va 100 sonlarining oʻrtachasi va medianasini toping. Qaysi biri maʼlumotni yaxshiroq tasvirlaydi?
Javobni koʻrish
Oʻrtacha 22, mediana 3; mediana yaxshiroq. Yigʻindi 1 + 2 + 3 + 4 + 100 = 110, va 110 ÷ 5 = 22. Mediana — saralangan qatorning oʻrtasi, yaʼni 3. Beshta sondan toʻrttasi 22 dan kichik, demak oʻrtacha bu yerda chalgʻitadi.
5. Doʻkonda shu oʻlchamdagi tuflilar sotildi: 38, 39, 39, 40, 41, 39. Doʻkonchi keyingi safar qaysi oʻlchamdan koʻproq keltirishi kerak?
Javobni koʻrish
39 — bu moda. U uch marta sotilgan. Bu yerda oʻrtachaning maʼnosi yoʻq: «oʻrtacha oʻlcham 39,3» degan tufli sotilmaydi.
6. Sinfda oltita oʻquvchining nazorat ishi bahosi: 5, 3, 4, 5, 2, 5. Oʻrtacha, mediana va modani toping.
Javobni koʻrish
Oʻrtacha 4, mediana 4,5, moda 5. Yigʻindi: 5 + 3 + 4 + 5 + 2 + 5 = 24, va 24 ÷ 6 = 4. Saralaymiz: 2, 3, 4, 5, 5, 5 — oʻrtadagilari 4 va 5, demak mediana (4 + 5) ÷ 2 = 4,5. Moda — 5 (uch marta).
Kalit soʻzlar
- Medianasaralangan qatorning oʻrtasidagi son; ingl. median
- Modaeng koʻp uchragan qiymat; ingl. mode
- Saralashoʻsish tartibida joylashtirish; ingl. sorting
- Oʻrta arifmetikyigʻindi ÷ soni; ingl. mean
- Chetki sonqolganlaridan keskin farq qiladigan qiymat; ingl. outlier
- Markaziy oʻlchovmaʼlumotni bitta son bilan tasvirlovchi kattalik; ingl. measure of centre
- Chastotaqiymat necha marta uchragani; ingl. frequency
- Maʼlumot toʻplamibirga qaraladigan qiymatlar; ingl. data set
- Vakilliksonning maʼlumotni toʻgʻri ifodalashi; ingl. representativeness
Qisqacha
- Mediana: avval saralang, keyin oʻrtadagini oling.
- Sonlar juft boʻlsa — oʻrtadagi ikkitasining oʻrta arifmetigi.
- Moda — eng koʻp uchragan qiymat, uning soni emas.
- Moda yoʻq boʻlishi ham, bir nechta boʻlishi ham mumkin.
- Chetki son bor joyda mediana haqiqatni toʻgʻriroq aytadi.
- Maʼlumot son boʻlmasa, faqat moda ishlaydi.