PM-78: Oʻrta arifmetik
Oʻrtacha — bu «agar hammaga baravar boʻlinganda» degani. Uni topishni, teskari masalani yechishni va nega bitta katta son oʻrtachani buzib qoʻyishini koʻrasiz.
PM-78: Oʻrta arifmetik
«Oʻrtacha bahom qancha?» «Oʻrtacha necha soat uxlaysan?» «Bu oyda oʻrtacha qancha sarfladik?»
Bu savollarning hammasi bitta amalga olib keladi. Va u juda oddiy: hammasini qoʻsh, keyin nechta ekaniga boʻl.
Bu darsda siz
- oʻrta arifmetikni topasiz va uning maʼnosini tushuntirasiz;
- oʻrtacha maʼlum boʻlganda yigʻindini tiklaysiz;
- yetishmayotgan qiymatni topasiz;
- bitta chetki son oʻrtachani qanday buzishini koʻrasiz.
1. Oʻrtacha — bu «baravar boʻlinganda»
Afsonaning matematikadan beshta bahosi bor: 5, 4, 5, 3, 4.
Oʻrtachaning maʼnosi
Oʻrtacha 4,2 degani: agar bahoning hammasi bir xil boʻlganida, har biri 4,2 boʻlardi. Yigʻindi oʻzgarmaydi — u faqat baravar taqsimlanadi.
Oʻrtacha maʼlumotdagi sonlardan biri boʻlishi shart emas
Afsonada 4,2 degan baho yoʻq — bunday baho umuman boʻlmaydi. Xuddi shunday, oilada «oʻrtacha 2,5 ta bola» boʻlishi mumkin, lekin hech bir oilada yarim bola yoʻq. Oʻrtacha — bu hisob natijasi, roʻyxatdan olingan son emas.
2. Teskari masala: oʻrtachadan yigʻindiga
Formulani teskari oʻgirsak, juda foydali qoida chiqadi:
Afsonaning toʻrtta bahosining oʻrtachasi 4 edi. Beshinchi bahodan keyin oʻrtacha 4,2 boʻldi. Beshinchi baho qanday?
Tekshiramiz
Bahosi 4, 4, 4, 4 va 5 boʻlsa: yigʻindi 21, va 21 ÷ 5 = 4,2 ✓
3. Bitta katta son hammasini buzadi
Beshta oʻquvchining bir kunlik choʻntak puli (ming soʻmda): 5, 6, 5, 4 va 30.
Endi diqqat qiling: beshtadan toʻrttasining puli oʻrtachadan kam. «Oʻrtacha 10 ming» degan jumla toʻgʻri, lekin u sinf haqida notoʻgʻri taassurot qoldiradi.
Bu muammoni keyingi darsda hal qilamiz
Oʻrtacha — kuchli, lekin yagona qurol emas. Bunday hollarda haqiqatni toʻgʻriroq aytadigan boshqa son bor; u bilan PM-79 da tanishasiz.
Matnli masala
Karim aka taksi haydaydi. Besh ish kunidagi daromadi (ming soʻmda): 90, 120, 80, 150 va 110.
Bir kunlik oʻrtacha daromadi qancha va shu tezlikda ishlasa, toʻrt haftada (20 ish kunida) qancha topadi?
Reja: oʻrtachani topamiz, keyin uni ish kunlari soniga koʻpaytiramiz.
Tekshiramiz
110 — taxminimizdagi 100–120 oraligʻida ✓
Boshqa yoʻl: bir haftada 550 ming, toʻrt haftada 550 × 4 =
2200 ming ✓ — javob mos keldi.
Javob: kuniga 110 000 soʻm, oyiga 2 200 000 soʻm.
Koʻp uchraydigan xatolar
5 + 4 + 5 + 3 + 4 = 21, demak oʻrtacha 21
21 ÷ 5 = 4,2
Boʻlish qadami tushib qolgan. Oʻrtacha har doim eng katta son bilan eng kichik son orasida boʻladi — 21 esa hammasidan katta, demak u javob boʻlolmaydi.
Oʻrtacha 4,2 chiqdi — 4 deb yozamiz
4,2 — javobning oʻzi
Oʻrtacha butun son boʻlishi shart emas. Uni yaxlitlash faqat masala shuni soʻraganda qilinadi.
Toʻrtta sonning oʻrtachasi 6 → yigʻindi 6 ÷ 4 = 1,5
Yigʻindi = 6 × 4 = 24
Teskari masalada koʻpaytiriladi. Yigʻindi har doim oʻrtachadan katta boʻladi (sonlar bittadan koʻp boʻlganda).
Uch kunda 20 sahifa, toʻrt kunda 28 sahifa → oʻrtacha (20 + 28) ÷ 2 = 24
(20 + 28) ÷ 7 ≈ 6,9 sahifa
Oʻrtachani ikkita oʻrtachadan emas, butun yigʻindidan hisoblang: hammasi 48 sahifa, kunlar esa 7 ta.
Mashq
1. 3, 7 va 5 sonlarining oʻrta arifmetigi qancha?
Javobni koʻrish
5. 3 + 7 + 5 = 15, va 15 ÷ 3 = 5.
2. 10, 12, 14 va 8 sonlarining oʻrtachasi qancha?
Javobni koʻrish
11. 10 + 12 + 14 + 8 = 44, va 44 ÷ 4 = 11.
3. Toʻrtta sonning oʻrtachasi 6. Ularning yigʻindisi qancha?
Javobni koʻrish
24. Yigʻindi = oʻrtacha × soni = 6 × 4 = 24.
4. Toʻrtta oilada 2, 3, 2 va 3 tadan bola bor. Oʻrtacha nechta?
Javobni koʻrish
2,5 ta. 2 + 3 + 2 + 3 = 10, va 10 ÷ 4 = 2,5. Hech bir oilada 2,5 ta bola yoʻq — bu oddiy hol, oʻrtacha shunday boʻlaveradi.
5. Beshta sonning oʻrtachasi 8. Ulardan toʻrttasi 6, 7, 9 va 10. Beshinchisi qancha?
Javobni koʻrish
8. Butun yigʻindi: 8 × 5 = 40. Maʼlum toʻrttasi: 6 + 7 + 9 + 10 = 32. Beshinchisi: 40 − 32 = 8.
6. Sherbek toʻrt kun kitob oʻqidi: 20, 35, 25 va 40 sahifa. Oʻrtacha kuniga necha sahifa oʻqidi? Beshinchi kuni necha sahifa oʻqisa, oʻrtachasi 32 boʻladi?
Javobni koʻrish
30 sahifa; keyin 40 sahifa. Yigʻindi: 20 + 35 + 25 + 40 = 120, va 120 ÷ 4 = 30 sahifa. Beshta kunning yigʻindisi 32 × 5 = 160 boʻlishi kerak, demak beshinchi kuni 160 − 120 = 40 sahifa oʻqishi kerak.
Kalit soʻzlar
- Oʻrta arifmetikyigʻindini sonlar soniga boʻlish; ingl. mean
- Oʻrtachaoʻrta arifmetikning qisqa nomi; ingl. average
- Yigʻindihamma sonning qoʻshilgani; ingl. sum
- Sonlar sonimaʼlumotda nechta qiymat borligi; ingl. count
- Maʼlumot toʻplamibirga qaraladigan sonlar roʻyxati; ingl. data set
- Chetki sonqolganlaridan keskin farq qiladigan qiymat; ingl. outlier
- Tekislashhammasini baravar qilib taqsimlash; ingl. levelling
- Teskari masalanatijadan berilganni topish; ingl. inverse problem
- Yaxlitlashsonni qulay koʻrinishga keltirish; ingl. rounding
Qisqacha
- Oʻrtacha = yigʻindi ÷ sonlar soni.
- Maʼnosi: «agar hammasi baravar boʻlinganda».
- Yigʻindi = oʻrtacha × sonlar soni — teskari masalaning kaliti.
- Oʻrtacha butun son boʻlishi ham, maʼlumotdagi sonlardan biri boʻlishi ham shart emas.
- U har doim eng kichik va eng katta son orasida yotadi — javobni shu bilan tekshiring.
- Bitta chetki son oʻrtachani oʻziga tortib ketadi.