Mathematics

PM-89: Harakat masalalari 2: uchrashuv va quvish

Ikki jism harakatlanganda muhimi ularning tezligi emas, orasidagi masofa qanchalik tez kamayishi. Qarshi yursa tezliklar qoʻshiladi, quvsa — ayiriladi.

powerty

Aug. 17, 2026

4 7 min 0

PM-89: Harakat masalalari 2: uchrashuv va quvish

Ikki avtobus bir-biriga qarab kelyapti. Biri 60, ikkinchisi 40 km/soat. Ular orasidagi masofa har soatda qancha kamayadi?

Har soatda birinchisi 60 km, ikkinchisi 40 km yaqinlashadi. Demak oradagi masofa soatiga 100 km ga qisqaradi. Mana shu son — butun darsning kaliti.

Bu darsda siz

yaqinlashish tezligini topasiz (v₁ + v₂);
quvish masalasida farq tezligini qoʻllaysiz (v₁ − v₂);
bir vaqtda chiqmagan harakatni sxema bilan yechasiz;
uchrashuv joyini ham, vaqtini ham hisoblaysiz.

Qarama-qarshi harakat t = oradagi masofa ÷ v₁ + v₂

1. Uchrashuv — tezliklar qoʻshiladi

Masala. Ikki shahar orasi 300 km. Ulardan bir vaqtda bir-biriga qarab ikkita mashina chiqdi: biri 60 km/soat, ikkinchisi 40 km/soat. Necha soatdan keyin uchrashadi?

Har soatda oradagi masofa 60 + 40 = 100 km ga kamayadi. Uchrashuv joyi oʻrtada emas — tez mashina koʻproq yoʻl bosadi.

Yaqinlashish tezligi: 60 + 40 = 100 km/soat Har soatda ora shuncha qisqaradi

t = 300 ÷ 100 = 3 soat Butun ora shu tezlikda yopiladi

Uchrashuv joyini ham topamiz: birinchi mashina 60 × 3 = 180 km, ikkinchisi 40 × 3 = 120 km yurgan.

Tekshiramiz

180 + 120 = 300 ✓ — ikkalasi birgalikda butun yoʻlni bosgan.
Javob: 3 soatdan keyin, A shahardan 180 km narida uchrashadi.

Uchrashuv joyi oʻrtada emas

Vaqt ikkalasi uchun bir xil — ular bir vaqtda chiqib, bir vaqtda uchrashdi. Masofa esa har xil: tez yurgan koʻproq bosadi. «Uchrashuv yoʻlning oʻrtasida boʻladi» degan fikr faqat tezliklar teng boʻlgandagina toʻgʻri.

2. Quvish — tezliklar ayiriladi

Bir yoʻnalishdagi harakat t = oradagi masofa ÷ v₁ − v₂

Masala. Bekzod uydan piyoda chiqdi va 5 km/soat bilan ketdi. 2 soatdan keyin Jasur velosipedda oʻsha yoʻldan 15 km/soat bilan uning ortidan chiqdi. Jasur Bekzodni necha soatdan keyin quvib yetadi?

Jasur yoʻlga chiqqan payt Bekzod allaqachon 10 km narida. Har soatda bu ora 10 km ga kamayadi.

Bekzodning boshlangʻich ustunligi: 5 × 2 = 10 km Jasur chiqquncha 2 soat yurgan

Farq tezligi: 15 − 5 = 10 km/soat Jasur har soatda 10 km yaqinlashadi

t = 10 ÷ 10 = 1 soat Ora shu tezlikda yopiladi

Tekshiramiz

Jasur chiqqanidan 1 soat oʻtdi. Bekzod jami 3 soat yurgan: 5 × 3 = 15 km. Jasur 1 soat yurgan: 15 × 1 = 15 km. Ikkalasi ham uydan 15 km narida ✓
Javob: Jasur 1 soatdan keyin, uydan 15 km narida quvib yetadi.

Ayirish tartibi

Farq tezligi quvuvchining tezligidan qochuvchiniki ayiriladi: 15 − 5. Teskarisi manfiy chiqadi va bu shuni bildiradiki, quvuvchi sekinroq — u hech qachon yetib ololmaydi. Javob manfiy chiqsa, masalani qayta oʻqing.

3. Ikkisini yonma-yon qoʻyamiz

Qarama-qarshi

Ora kamayadi soatiga v₁ + v₂ ga.
t = ora ÷ (v₁ + v₂)

Bir yoʻnalishda

Ora kamayadi soatiga v₁ − v₂ ga.
t = ora ÷ (v₁ − v₂)

Bitta savol ikkalasini hal qiladi

Formulani yodlashning oʻrniga shu savolni bering: ora har soatda qanchaga kamayadi? Qarshi yursa qoʻshiladi, birga ketsa ayiriladi. Keyin masofani shu songa boʻlasiz — vaqt chiqadi.

Matnli masala

A va B shaharlari orasi 530 km. Soat 08:00 da A dan poyezd chiqdi va 80 km/soat bilan B tomonga yoʻl oldi. Soat 09:00 da B dan qarshi poyezd chiqdi va 70 km/soat bilan yurdi.

Ular soat nechada uchrashadi?

Reja: poyezdlar bir vaqtda chiqmagan, demak avval 09:00 holatini aniqlaymiz. Shu paytdan boshlab masala oddiy uchrashuvga aylanadi.

08:00 → 09:00: birinchi poyezd 80 × 1 = 80 km yurdi Bir soat yolgʻiz harakatlandi

09:00 dagi ora: 530 − 80 = 450 km Endi ikkalasi ham yoʻlda

Yaqinlashish tezligi: 80 + 70 = 150 km/soat Qarama-qarshi harakat

t = 450 ÷ 150 = 3 soat 09:00 dan boshlab

09:00 + 3 soat = 12:00 Savol vaqtni soʻragan edi

Tekshiramiz

Birinchi poyezd 08:00 dan 12:00 gacha 4 soat yurgan: 80 × 4 = 320 km. Ikkinchisi 09:00 dan 12:00 gacha 3 soat: 70 × 3 = 210 km. Jami 320 + 210 = 530 km ✓ — roppa-rosa shaharlar orasidagi masofa.
Javob: poyezdlar soat 12:00 da uchrashadi.

Bir vaqtda chiqmagan boʻlsa

Har doim ikkinchisi yoʻlga chiqqan paytga oʻting: oradan birinchisi bosgan yoʻlni ayiring. Shundan keyin masala oddiy uchrashuvga aylanadi. Javobni esa oʻsha paytga qoʻshib yozing — 09:00 + 3 soat.

Koʻp uchraydigan xatolar

300 km, tezliklar 60 va 40 → t = 300 ÷ 60 = 5 soat

t = 300 ÷ (60 + 40) = 3 soat

Faqat bitta tezlik olingan. Ora ikkala mashina hisobiga kamayadi.

Quvishda: t = 10 ÷ (15 + 5) = 0,5 soat

t = 10 ÷ (15 − 5) = 1 soat

Bir yoʻnalishda ketishayotgan boʻlsa, tezliklar ayiriladi: qochuvchi ham oldinga siljib boradi.

Uchrashuv yoʻlning oʻrtasida — 150 km da

A dan 180 km, B dan 120 km narida

Vaqt teng, masofa esa tezlikka mutanosib. Oʻrtada uchrashish faqat tezliklar teng boʻlganda.

09:00 da chiqqan poyezd uchun ham 530 km olinadi

09:00 dagi ora — 450 km

Birinchi poyezd bir soat davomida 80 km yurib boʻlgan. Bir vaqtda chiqmagan masalada avval shu «boshlangʻich ustunlik» hisoblanadi.

Mashq

1. Ikki qishloq orasi 24 km. Ikki piyoda bir-biriga qarab chiqdi: 5 va 3 km/soat. Necha soatdan keyin uchrashadi?

Javobni koʻrish

3 soat. Yaqinlashish tezligi 5 + 3 = 8 km/soat. t = 24 ÷ 8 = 3. Tekshirish: 15 + 9 = 24 ✓

2. Oldingi masalada har biri qancha yoʻl bosgan?

Javobni koʻrish

15 km va 9 km. 5 × 3 = 15 va 3 × 3 = 9. Tez yurgan koʻproq bosgan — uchrashuv oʻrtada emas.

3. Ikki shahar orasi 480 km. Ikki poyezd qarshi chiqib, 4 soatda uchrashdi. Biri 70 km/soat bilan yurgan. Ikkinchisining tezligi qancha?

Javobni koʻrish

50 km/soat. Yaqinlashish tezligi 480 ÷ 4 = 120 km/soat. Demak 120 − 70 = 50. Tekshirish: 280 + 200 = 480 ✓

4. Mashina 40 km/soat bilan ketmoqda. Uning ortidan 20 km naridan 60 km/soat bilan ikkinchi mashina chiqdi. Qachon quvib yetadi?

Javobni koʻrish

1 soatdan keyin. Farq tezligi 60 − 40 = 20 km/soat. t = 20 ÷ 20 = 1 soat. Tekshirish: birinchisi 40, ikkinchisi 60 km yurdi; 20 + 40 = 60 ✓

5. Afsona 4 km/soat bilan piyoda ketdi. 30 minutdan keyin Dilnoza 12 km/soat bilan velosipedda ortidan chiqdi. Qachon quvib yetadi?

Javobni koʻrish

15 minutdan keyin. Ustunlik: 4 × 0,5 = 2 km. Farq tezligi 12 − 4 = 8 km/soat. t = 2 ÷ 8 = 0,25 soat = 15 minut. Tekshirish: Afsona 0,75 soatda 3 km, Dilnoza 0,25 soatda 3 km ✓

6. Ikki velosipedchi bir joydan qarama-qarshi tomonga chiqdi: 14 va 16 km/soat. 2 soatdan keyin oralari qancha boʻladi?

Javobni koʻrish

60 km. Bu safar ora ortadi: uzoqlashish tezligi 14 + 16 = 30 km/soat. 30 × 2 = 60 km. Qoʻshish qoidasi uzoqlashishda ham ishlaydi.

7. Ikki shahar orasi 460 km. Soat 06:00 da birinchisidan 50 km/soat bilan avtobus chiqdi. Soat 08:00 da ikkinchisidan 70 km/soat bilan qarshi avtobus chiqdi. Soat nechada uchrashadi?

Javobni koʻrish

11:00 da. 08:00 gacha birinchisi 50 × 2 = 100 km yurdi, demak ora 460 − 100 = 360 km. Yaqinlashish tezligi 50 + 70 = 120 km/soat. t = 360 ÷ 120 = 3 soat, 08:00 dan boshlab — ya'ni 11:00. Tekshirish: birinchisi 5 soatda 250 km, ikkinchisi 3 soatda 210 km; 250 + 210 = 460 ✓

Kalit soʻzlar

Uchrashuvikki jismning bir nuqtada toʻqnash kelishi; ingl. meeting
Qarama-qarshi harakatbir-biriga qarab yurish; ingl. opposite directions
Yaqinlashish tezligiorani kamaytirish tezligi, v₁ + v₂; ingl. closing speed
Quvishbir yoʻnalishda tezroq harakatlanib yetib olish; ingl. catching up
Farq tezligibir yoʻnalishdagi v₁ − v₂; ingl. relative speed
Boshlangʻich ustunlikoldin chiqqanning bosib ulgurgan yoʻli; ingl. head start
Uzoqlashishoraning ortib borishi; ingl. moving apart
Oraikki jism orasidagi masofa; ingl. gap
Bir vaqtdaikkalasi ayni paytda yoʻlga chiqishi; ingl. simultaneously