PM-90: Ish va unumdorlik masalalari
Butun ishni 1 deb olsak, hamma narsa joyiga tushadi: 6 kunda bitiradigan usta bir kunda ishning 1/6 qismini qiladi. Birga ishlaganda unumdorliklar qoʻshiladi, vaqtlar emas.
PM-90: Ish va unumdorlik masalalari
Bir usta devorni 6 kunda quradi. Ikkinchisi xuddi shu devorni 12 kunda quradi. Ikkalasi birga ishlasa, necha kunda bitiradi?
Koʻpchilik darrov 18 deydi (6 + 12) yoki 9 deydi (oʻrtachasi). Ikkalasi ham notoʻgʻri — va ikkalasi ham mantiqan notoʻgʻri: yordamchi kelganda ish tezroq bitishi kerak, sekinroq emas. Toʻgʻri javob 6 kundan ham kam.
Bu darsda shu masalaning kaliti bor va u juda oddiy: butun ishni 1 deb olamiz.
Bu darsda siz
- butun ishni 1 deb olishni oʻrganasiz;
- unumdorlikni 1 ÷ vaqt bilan topasiz;
- birgalikda ishlashda unumdorliklarni qoʻshasiz;
- bosqichma-bosqich bajarilgan ishni jadvalga solasiz.
1. Butun ishni 1 deb olamiz
Devor nechta gʻishtdan iborat? Bilmaymiz — va bilishimiz shart emas. Masalada devorning kattaligi berilmagan, demak u javobga taʼsir qilmaydi.
Shuning uchun butun ishni 1 deb belgilaymiz: bitta devor, bitta hovuz, bitta buyurtma. Endi bir kunda bajarilgan ulushni yozish mumkin.
u = 1 ÷ 6 = 1/6
Devorni 6 kunda bitiradigan usta bir kunda devorning oltidan bir qismini quradi.
u = 1 ÷ 12 = 1/12
Ikkinchi usta bir kunda oʻn ikkidan bir qismini quradi — ya'ni ikki barobar sekin.
Bu — PM-88 dagi uchlikning oʻzi
S = v × t da tezlik «bir soatda bosilgan masofa» edi. Bu yerda unumdorlik — «bir kunda bajarilgan ish». Formula bir xil, faqat nomlari boshqa: ish = unumdorlik × vaqt.
2. Birgalikda ishlash — unumdorliklar qoʻshiladi
Ikki usta birga ishlasa, bir kunda ikkalasining hissasi qoʻshiladi.
Bir kunda birgalikda: 3/12 = 1/4 qism
Tekshiramiz
4 kunda birinchi usta 4 × 1/6 =
2/3, ikkinchisi 4 × 1/12 =
1/3 qismini quradi.
2/3 + 1/3 = 1 ✓ — devor
roppa-rosa bitgan.
Javob: birga ishlasa 4 kunda bitiradi.
Eng katta xato: vaqtlarni qoʻshish
6 + 12 = 18 kun degan javob shuni bildiradiki, yordamchi kelgach ish uch barobar sekinlashgan. Bu maʼnosiz. Javob har doim eng tez ishlovchining vaqtidan ham kichik boʻlishi kerak — bu yerda 6 kundan kam. 4 < 6 ✓ Javobni shu bilan darrov tekshiring.
Unumdorlikni topgach toʻxtamang
1/4 — bu bir kunlik ulush, javob emas. Vaqtni topish uchun uni teskari qilish kerak: 1 ÷ 1/4 = 4. Javob «1/4 kun» emas, «4 kun».
3. Teskari masala — bittasining vaqtini topish
Masala. Bir usta ishni 12 kunda bitiradi. Ikkovi birga ishlasa, 4 kunda bitiradi. Ikkinchi usta yolgʻiz necha kunda bitiradi?
Endi qoʻshish emas, ayirish kerak: umumiy unumdorlikdan birinchisiniki ayiriladi.
Tekshiramiz
1/12 + 1/6 =
1/12 + 2/12 =
3/12 = 1/4 ✓ — birgalikda
4 kun chiqadi, masaladagidek.
Javob: ikkinchi usta yolgʻiz 6 kunda bitiradi.
4. Trubalar ham xuddi shunday
Masala. Bir truba hovuzni 3 soatda toʻldiradi, ikkinchisi 6 soatda. Ikkalasi birga ochilsa, necha soatda toʻladi?
Matnli masala
Bir brigada uyni 8 kunda taʼmirlaydi, ikkinchisi xuddi shu ishni 24 kunda bajaradi. Avval birinchi brigada 4 kun yolgʻiz ishladi. Keyin ikkinchi brigada ham qoʻshildi va ish oxirigacha birga davom etdi.
Ish jami necha kunda tugadi?
Reja: ish ikki bosqichdan iborat — jadval tuzamiz (PM-86). Avval birinchi bosqichda qancha bajarilganini topamiz, keyin qolganini birgalikdagi unumdorlikka boʻlamiz.
| Bosqich | Unumdorlik | Bajarilgan ulush |
|---|---|---|
| 1-brigada, 4 kun yolgʻiz | 1/8 | 4 × 1/8 = 1/2 |
| Ikkalasi birga | 1/8 + 1/24 = 1/6 | qolgan 1/2 |
Tekshiramiz
Birinchi brigada boshdan oxirigacha 7 kun ishladi:
7 × 1/8 = 7/8.
Ikkinchisi faqat 3 kun: 3 × 1/24 =
1/8.
7/8 + 1/8 = 1 ✓ — ish
roppa-rosa tugagan.
Javob: ish 7 kunda tugadi.
Koʻp uchraydigan xatolar
6 kun va 12 kun → birga 6 + 12 = 18 kun
4 kun
Vaqtlar qoʻshilmaydi. Yordamchi kelganda ish tezlashadi — javob 6 dan kichik boʻlishi kerak.
Birga ishlasa (6 + 12) ÷ 2 = 9 kun
4 kun
Oʻrtachasi ham 6 dan katta — demak baribir maʼnosiz. Qoʻshiladigan narsa vaqt emas, unumdorlik.
1/6 + 1/12 = 2/18
2/12 + 1/12 = 3/12
Kasr qoʻshishda maxrajlar qoʻshilmaydi (PM-17). Umumiy maxrajga keltiriladi.
Javob: 1/4 kun
Javob: 4 kun
1/4 — bir kunlik ulush. Vaqt uning teskarisi: 1 ÷ 1/4 = 4.
Mashq
1. Usta ishni 5 kunda bitiradi. Bir kunda ishning qanday qismini bajaradi?
Javobni koʻrish
1/5 qismini. Butun ish 1 ga teng, unumdorlik 1 ÷ 5 = 1/5.
2. Ikki ishchi: biri 10 kunda, ikkinchisi 10 kunda bitiradi. Birga necha kunda bitirishadi?
Javobni koʻrish
5 kunda. 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5, demak 5 kun. Bir xil tezlikdagi ikki kishi ishni roppa-rosa ikki barobar tez bitiradi — mantiqiy.
3. Ikki truba: biri 4 soatda, ikkinchisi 12 soatda toʻldiradi. Birga necha soatda?
Javobni koʻrish
3 soatda. 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3 → 3 soat. Tekshirish: 3 < 4 ✓
4. Bir usta 15 kunda bitiradi, ikkovi birga 6 kunda. Ikkinchisi yolgʻiz necha kunda bitiradi?
Javobni koʻrish
10 kunda. 1/6 − 1/15 = 5/30 − 2/30 = 3/30 = 1/10 → 10 kun. Tekshirish: 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 1/6 ✓
5. Uch ishchi: har biri ishni 9 kunda bitiradi. Uchalasi birga necha kunda bitirishadi?
Javobni koʻrish
3 kunda. 1/9 × 3 = 3/9 = 1/3 → 3 kun. Uch barobar koʻp kuch — uch barobar tez.
6. Ishchi ishni 20 kunda bitiradi. U 5 kun ishladi. Ishning qanday qismi qoldi?
Javobni koʻrish
3/4 qismi. Bajargani 5 × 1/20 = 1/4. Qolgani 1 − 1/4 = 3/4.
7. Bir brigada ishni 10 kunda bajaradi, ikkinchisi 15 kunda. Avval ikkalasi 3 kun birga ishladi, keyin birinchisi ketdi. Ikkinchisi qolgan ishni necha kunda tugatadi?
Javobni koʻrish
7,5 kunda. Birgalikdagi unumdorlik: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6. 3 kunda: 3 × 1/6 = 1/2. Qolgani 1/2. Ikkinchisining unumdorligi 1/15, demak 1/2 ÷ 1/15 = 7,5 kun. Tekshirish: 3 × 1/10 + 10,5 × 1/15 = 0,3 + 0,7 = 1 ✓
Kalit soʻzlar
- Ishbajarilishi kerak boʻlgan butun vazifa; ingl. work
- Unumdorlikbir vaqt birligida bajarilgan ish; ingl. work rate
- Butun ish1 deb olinadigan toʻliq vazifa; ingl. whole job
- Ulushishning bajarilgan qismi; ingl. share
- Birgalikda ishlashunumdorliklar qoʻshiladigan holat; ingl. working together
- Teskari son1 ÷ son; unumdorlikdan vaqtga oʻtish; ingl. reciprocal
- Umumiy maxrajkasrlarni qoʻshish uchun keltiriladigan maxraj; ingl. common denominator
- Bosqichishning bir xil tarkib bilan bajarilgan qismi; ingl. stage
- Brigadabirga ishlaydigan ishchilar guruhi; ingl. team
Qisqacha
- Butun ishni 1 deb oling — devorning kattaligi kerak emas.
- Unumdorlik = 1 ÷ vaqt.
- Birga ishlaganda unumdorliklar qoʻshiladi, vaqtlar emas.
- Vaqtni topish uchun unumdorlikni teskari qiling.
- Javob eng tez ishlovchining vaqtidan kichik boʻlishi shart.
- Bosqichli ish — jadval: har bosqichda bajarilgan ulush yoziladi.
- Tekshirish: hammaning bajargan ulushi yigʻindisi roppa-rosa 1 boʻlsin.