Mathematics

PM-91: Aralashma va foizli masalalar

Aralashmada foizlar qoʻshilmaydi — sof modda qoʻshiladi. Shu bitta jumla suv qoʻshish, bugʻlatish va ikki eritmani aralashtirish masalalarining hammasini yechadi.

powerty

Aug. 17, 2026

3 6 min 0

PM-91: Aralashma va foizli masalalar

20% li tuzli suvga 45% li tuzli suv qoʻshildi. Yangi eritma necha foizli boʻladi?

65% deb javob berish juda oson — va butunlay xato. 32,5% (oʻrtachasi) ham xato. Foizlarni qoʻshib yoki oʻrtachalab boʻlmaydi, chunki foiz — son emas, nisbat. U nimadandir olinadi.

Bu darsning butun mazmuni bitta jumlada: aralashtirganda sof modda qoʻshiladi, foiz emas.

Bu darsda siz

sof modda miqdorini topasiz;
ikki eritmani aralashtirasiz;
suv qoʻshganda va bugʻlatganda nima oʻzgarishini bilasiz;
kerakli foizni beradigan miqdorni tenglama bilan topasiz.

Aralashmaning kaliti sof modda = massa × foiz

1. Sof modda — asosiy tushuncha

«200 g eritmada 10% tuz bor» degani: eritmaning oʻzi 200 g, uning ichidagi toza tuz esa:

200 × 0,1 = 20 g

Ikki yuz grammning oʻn foizi — yigirma gramm tuz. Qolgan 180 g — suv.

Foizni oʻnlik kasrga oʻgirib koʻpaytiramiz (PM-22, PM-23).

Har doim sof moddaga oʻting

Aralashma masalasida birinchi qadam har doim bir xil: har bir idishdagi sof modda necha gramm ekanini hisoblang. Foizlar bilan toʻgʻridan-toʻgʻri ishlab boʻlmaydi, sof modda bilan esa bemalol — u oddiy massa, uni qoʻshsa ham, ayirsa ham boʻladi.

2. Ikki eritmani aralashtirish

Masala. 300 g 20% li eritmaga 200 g 45% li eritma qoʻshildi. Yangi eritma necha foizli?

Idishning eni — massa, boʻyalgan qismning balandligi — foiz. Demak boʻyalgan yuza sof moddadir: 60 + 90 = 150 g. Uchinchi idishning boʻyalgan yuzasi roppa-rosa birinchi ikkitasining yigʻindisi.

Eritma	Massa × foiz	Sof tuz
Birinchi	300 × 0,20	60 g
Ikkinchi	200 × 0,45	90 g
Aralashma	500 g	150 g

Sof tuz: 60 + 90 = 150 g Sof modda qoʻshiladi

Massa: 300 + 200 = 500 g Massalar ham qoʻshiladi

150 ÷ 500 = 0,3 = 30% Yangi foiz — yangi massadan

Tekshiramiz

500 g eritmaning 30% i: 500 × 0,3 = 150 g ✓
Javob: yangi eritma 30% li.

Taxmin Javob 20 bilan 45 orasida boʻlishi shart — aralashma hech qachon eng kuchlisidan kuchli, eng kuchsizidan kuchsiz boʻlmaydi. 30 shu oraliqda ✓ Va u 20 ga yaqinroq, chunki birinchi eritma koʻproq (300 > 200) ✓

Nega oʻrtachasi emas?

(20 + 45) ÷ 2 = 32,5 — bu faqat massalar teng boʻlganda toʻgʻri boʻlardi. Bu yerda birinchi eritma koʻproq, shuning uchun natija uning tomoniga tortiladi. Xuddi PM-88 dagi oʻrtacha tezlik kabi: koʻproq turgan tomon ogʻirroq tortadi.

3. Suv qoʻshish va bugʻlatish

Bu ikkisi bitta gʻoyaning ikki tomoni: sof modda oʻzgarmaydi, faqat umumiy massa oʻzgaradi.

Suv qoʻshildi

Massa ortadi, sof modda oʻsha.
Foiz kamayadi — suyultirish.

Suv bugʻlandi

Massa kamayadi, sof modda oʻsha.
Foiz ortadi — quyultirish.

400 g 15% li + 100 g suv → 60 ÷ 500 = 0,12 = 12%

Sof modda 400 × 0,15 = 60 g edi va shundayligicha qoldi; massa esa 500 g boʻldi.

600 g 5% li − 100 g suv → 30 ÷ 500 = 0,06 = 6%

Sof modda 600 × 0,05 = 30 g. Suv uchib ketdi, tuz qoldi — shuning uchun foiz ortdi.

Qoʻshilgan suvning foizi 0

Suv — sof moddasi boʻlmagan «eritma». Uni jadvalga 0% qatori sifatida yozsangiz, aralashtirish masalasi bilan bir xil yoʻldan yechiladi.

Matnli masala

Laboratoriyada 300 g 20% li eritma bor. Unga 60% li eritmadan qoʻshib, 30% li eritma olmoqchi.

60% li eritmadan necha gramm qoʻshish kerak?

Reja: qoʻshiladigan miqdorni x deb olamiz (PM-86) va jadval tuzamiz. Tenglama oxirgi ustundan chiqadi: sof moddalar yigʻindisi yangi eritmaning sof moddasiga teng.

Eritma	Massa	Sof modda
Bor eritma (20%)	300	60
Qoʻshiladigan (60%)	x	0,6x
Natija (30%)	300 + x	0,3(300 + x)

60 + 0,6x = 0,3(300 + x) Sof modda balansi

60 + 0,6x = 90 + 0,3x Qavsni ochdik (PM-33)

0,3x = 30 0,3x va 60 ni boshqa tomonga oʻtkazdik

x = 100 g 0,3 ga boʻldik

Tekshiramiz

Sof modda: 60 + 100 × 0,6 = 60 + 60 = 120 g. Umumiy massa: 300 + 100 = 400 g. Foiz: 120 ÷ 400 = 0,3 = 30% ✓
Javob: 60% li eritmadan 100 g qoʻshish kerak.

Javobni mantiq bilan tekshirish

30% — 20 bilan 60 orasida, lekin 20 ga ancha yaqin. Demak zaif eritma koʻproq boʻlishi kerak. 300 > 100 ✓ Agar javob 500 g chiqqanida, darrov shubhalanish kerak edi.

Koʻp uchraydigan xatolar

20% li va 45% li aralashsa → 65% li

30% li

Foizlar qoʻshilmaydi. Natija har doim ikki foizning orasida boʻladi.

(20 + 45) ÷ 2 = 32,5%

150 ÷ 500 = 30%

Oʻrtacha faqat massalar teng boʻlganda toʻgʻri. Bu yerda 300 g va 200 g — teng emas.

Suv qoʻshildi → sof modda ham ortdi

Sof modda oʻzgarmaydi, faqat massa ortadi

Suvda tuz yoʻq. Uning foizi 0 — u faqat maxrajni kattalashtiradi.

200 g ning 10% i = 200 × 10 = 2000 g

200 × 0,1 = 20 g

Foizni oʻnlik kasrga oʻgirish unutilgan: 10% = 0,1. Sof modda eritmadan ogʻir boʻlishi mumkin emas.

Mashq

1. 400 g eritmada 25% shakar bor. Sof shakar necha gramm?

Javobni koʻrish

100 g. 400 × 0,25 = 100 g. Qolgan 300 g — suv.

2. 500 g eritmada 40 g tuz bor. Eritma necha foizli?

Javobni koʻrish

8% li. 40 ÷ 500 = 0,08 = 8%.

3. 200 g 10% li eritmaga 300 g 20% li eritma qoʻshildi. Yangi foiz qancha?

Javobni koʻrish

16%. Sof modda: 20 + 60 = 80 g. Massa: 500 g. 80 ÷ 500 = 0,16 = 16%. Javob 10 bilan 20 orasida va 20 ga yaqinroq — chunki 20% li eritma koʻproq ✓

4. 300 g 12% li eritmaga 100 g suv qoʻshildi. Yangi foiz qancha?

Javobni koʻrish

9%. Sof modda 300 × 0,12 = 36 g va u oʻzgarmaydi. Yangi massa 400 g. 36 ÷ 400 = 0,09 = 9%.

5. 800 g 5% li eritmadan 300 g suv bugʻlatildi. Yangi foiz qancha?

Javobni koʻrish

8%. Sof modda 800 × 0,05 = 40 g, oʻzgarmaydi. Yangi massa 800 − 300 = 500 g. 40 ÷ 500 = 0,08 = 8%. Foiz ortdi — quyulgan ✓

6. 200 g 40% li eritmaga necha gramm suv qoʻshilsa, 25% li boʻladi?

Javobni koʻrish

120 g. Sof modda 80 g va oʻzgarmaydi. Kerakli massa: 80 ÷ 0,25 = 320 g. Demak qoʻshiladigan suv 320 − 200 = 120 g. Tekshirish: 80 ÷ 320 = 0,25 ✓

7. 500 g 10% li eritmaga 40% li eritmadan necha gramm qoʻshilsa, 20% li boʻladi?

Javobni koʻrish

250 g. 50 + 0,4x = 0,2(500 + x) → 50 + 0,4x = 100 + 0,2x → 0,2x = 50 → x = 250. Tekshirish: sof modda 50 + 100 = 150 g, massa 750 g, 150 ÷ 750 = 0,2 ✓