Mathematics

PM-93: Yosh masalalari va sonlar haqidagi masalalar

Yosh masalalarining kaliti bitta: yoshlar farqi hech qachon oʻzgarmaydi. Sonlar masalalarida esa ikki xonali son 10a + b koʻrinishida yoziladi — razryad shu yerda ish beradi.

powerty

Aug. 17, 2026

5 8 min 0

PM-93: Yosh masalalari va sonlar haqidagi masalalar

Ota 35 yoshda, oʻgʻli 5 yoshda. Ota oʻgʻlidan 7 marta katta. Yetti yildan keyin-chi? Ota 42, oʻgʻli 12 — endi atigi 3,5 marta.

Nisbat oʻzgardi. Lekin bir narsa oʻzgarmadi va hech qachon oʻzgarmaydi: ular orasidagi 30 yoshlik farq. Ikkalasi ham yiliga bir yoshdan kattaradi.

Yosh masalalarining butun kaliti shu jumlada. Qolgani — jadval tuzish (PM-86) va tenglama yechish (PM-37).

Bu darsda siz

yoshlar farqining oʻzgarmasligidan foydalanasiz;
«hozir / keyin / oldin» jadvalini tuzasiz;
manfiy javob nimani anglatishini bilib olasiz;
ketma-ket sonlar va ikki xonali sonni harf bilan yozasiz.

Yosh masalalarining kaliti yoshlar farqi = oʻzgarmas

1. Hamma bir xil tezlikda kattaradi

Bir yil oʻtsa, hammaning yoshiga bittadan qoʻshiladi. Shuning uchun jadvalning har bir ustunida bir xil son qoʻshiladi yoki ayiriladi.

Kim	5 yil oldin	Hozir	x yildan keyin
Ota	30	35	35 + x
Oʻgʻil	0	5	5 + x
Farqi	30	30	30

Eng koʻp uchraydigan xato

«Ota oʻgʻlidan 30 yosh katta, 10 yildan keyin 40 yosh katta boʻladi» — bu notoʻgʻri. Oʻn yil ikkalasiga ham qoʻshiladi, shuning uchun farq oʻsha 30 boʻlib qoladi. Oʻzgaradigan narsa — nisbat (necha marta katta), farq emas.

2. Birinchi misol — «necha yildan keyin?»

Masala. Ota 35 yoshda, oʻgʻli 5 yoshda. Necha yildan keyin ota oʻgʻlidan 4 marta katta boʻladi?

Reja: x — oʻtadigan yillar soni. Ikkalasining yoshiga ham x qoʻshiladi.

35 + x = 4(5 + x) Ota oʻgʻlidan 4 marta katta boʻlsin

35 + x = 20 + 4x Qavsni ochdik (PM-33)

15 = 3x x va 20 ni boshqa tomonga oʻtkazdik

x = 5 3 ga boʻldik

Tekshiramiz

5 yildan keyin ota 40, oʻgʻil 10 yoshda boʻladi. 40 ÷ 10 = 4 ✓ Farqi esa hamon 30 ✓
Javob: 5 yildan keyin.

3. Ikkinchi misol — «necha yil oldin?»

Masala. Hozir ota oʻgʻlidan 3 marta katta. 10 yil oldin 7 marta katta edi. Hozir har biri necha yoshda?

Reja: bu safar nomaʼlum — oʻgʻilning hozirgi yoshi. Uni x deb olamiz (PM-86: qolganlari shunga qarab aytilgan), unda ota 3x.

Kim	Hozir	10 yil oldin
Oʻgʻil	x	x − 10
Ota	3x	3x − 10

3x − 10 = 7(x − 10) Oʻsha paytda 7 marta katta edi

3x − 10 = 7x − 70 Qavsni ochdik

60 = 4x 3x va 70 ni boshqa tomonga oʻtkazdik

x = 15, ota 45 4 ga boʻldik, keyin 3 ga koʻpaytirdik

Tekshiramiz

Hozir: 45 va 15 → 45 ÷ 15 = 3 ✓
10 yil oldin: 35 va 5 → 35 ÷ 5 = 7 ✓
Farqi ikkala paytda ham 30 ✓
Javob: oʻgʻil 15, ota 45 yoshda.

«Oldin» boʻlsa, ikkalasidan ham ayiring

Faqat bittasining yoshidan 10 ni ayirish — juda koʻp uchraydigan xato. Vaqt hamma uchun bir xil oʻtadi: ustundagi har bir qatordan 10 ayiriladi.

4. Manfiy javob — xato emas, maʼlumot

Masala. Opa 12 yoshda, singlisi 8 yoshda. Necha yildan keyin opa singlisidan 2 marta katta boʻladi?

12 + x = 2(8 + x) Shartni yozdik

12 + x = 16 + 2x Qavsni ochdik

x = −4 Manfiy chiqdi (PM-10)

Manfiy x nimani bildiradi?

Bu hodisa kelajakda emas, oʻtmishda boʻlgan degani. Toʻrt yil oldin opa 8, singlisi 4 yoshda edi — va 8 roppa-rosa 4 ning ikki barobari ✓ Tenglama xato qilmadi; u bizga vaqt oʻqining teskari tomonini koʻrsatdi.

5. Sonlar haqidagi masalalar

Ikkinchi oila — sonlarning oʻzi haqidagi masalalar. Ular ham xuddi shu yoʻldan yechiladi: nomaʼlumni tanlab, qolganini u orqali yozamiz.

Ketma-ket sonlar

Qanday sonlar	Qanday yoziladi	Misol
Ketma-ket uchta son	x, x + 1, x + 2	23, 24, 25
Ketma-ket uchta juft son	x, x + 2, x + 4	10, 12, 14
Ketma-ket uchta toq son	x, x + 2, x + 4	7, 9, 11

Masala. Ketma-ket uchta sonning yigʻindisi 72. Sonlarni toping.

x + (x + 1) + (x + 2) = 72 Uchta ketma-ket son

3x + 3 = 72 Oʻxshash hadlar

x = 23 → 23, 24, 25 3 ni ayirib, 3 ga boʻldik

Taxmin Uchta yaqin sonning yigʻindisi 72 boʻlsa, ularning har biri 72 ÷ 3 = 24 atrofida. Javob 23, 24, 25 — roppa-rosa shunday. Aslida oʻrtadagi son har doim oʻrtacha arifmetikka teng (PM-78).

Ikki xonali son — razryad ish beradi

Ikki xonali sonni a + b deb yozib boʻlmaydi. 57 soni 5 va 7 raqamlaridan iborat, lekin uning qiymati 5 + 7 = 12 emas.

Ikki xonali son (PM-1) 10a + b , a — oʻnliklar, b — birliklar

57 = 10 × 5 + 7

Besh oʻnlik va yetti birlik.

Raqamlar oʻrni almashsa: 75 = 10 × 7 + 5.

Masala. Ikki xonali sonning raqamlari yigʻindisi 12. Raqamlar oʻrni almashtirilsa, son 18 ga ortadi. Sonni toping.

a + b = 12 Birinchi shart

10b + a = (10a + b) + 18 Almashgan son 18 ga katta

9b − 9a = 18 → b − a = 2 Ixchamladik va 9 ga boʻldik

a = 5, b = 7 → son 57 Yigʻindi 12, farq 2 (PM-87 usuli)

Tekshiramiz

5 + 7 = 12 ✓ Almashtirsak 75 boʻladi: 75 − 57 = 18 ✓
Javob: son 57.

Matnli masala

Hozir onaning yoshi qizinikidan 4 marta katta. 6 yildan keyin ona qizidan 3 marta katta boʻladi.

Hozir har biri necha yoshda?

Reja: hamma narsa qizga qarab aytilgan, demak x — qizning hozirgi yoshi. Jadval tuzamiz.

Kim	Hozir	6 yildan keyin
Qiz	x	x + 6
Ona	4x	4x + 6

4x + 6 = 3(x + 6) 6 yildan keyingi shart

4x + 6 = 3x + 18 Qavsni ochdik

x = 12, ona 48 3x va 6 ni oʻtkazdik

Tekshiramiz

Hozir: 48 va 12 → 48 ÷ 12 = 4 ✓
6 yildan keyin: 54 va 18 → 54 ÷ 18 = 3 ✓
Farqi ikkala paytda ham 36 ✓ — oʻzgarmadi, shunday boʻlishi kerak edi.
Javob: qiz 12, ona 48 yoshda.

Koʻp uchraydigan xatolar

Ota 30 yosh katta → 10 yildan keyin 40 yosh katta boʻladi

Farq hamon 30

Oʻn yil ikkalasiga ham qoʻshiladi. Oʻzgaradigan narsa — nisbat, farq emas.

5 yil oldin: ota 35 − 5 = 30, oʻgʻil 5

Ota 30, oʻgʻil 0

Ayirish faqat bittasiga qoʻllanilgan. Ustundagi har bir qatordan bir xil son ayiriladi.

Ketma-ket uchta son: x, x + 2, x + 4

x, x + 1, x + 2

x, x + 2, x + 4 — bu ketma-ket juft yoki toq sonlar. Oddiy ketma-ket sonlar bittadan farq qiladi.

Ikki xonali son = a + b

10a + b

a — oʻnliklar raqami, uning qiymati 10 barobar (PM-1). 57 ≠ 5 + 7.

Mashq

1. Aka 14, uka 9 yoshda. 6 yildan keyin ularning farqi qancha boʻladi?

Javobni koʻrish

5 yosh. Farq hech qachon oʻzgarmaydi: 14 − 9 = 5. Olti yildan keyin 20 va 15 — farqi hamon 5.

2. Ota 40, oʻgʻli 8 yoshda. Necha yildan keyin ota oʻgʻlidan 3 marta katta boʻladi?

Javobni koʻrish

8 yildan keyin. 40 + x = 3(8 + x) → 40 + x = 24 + 3x → 16 = 2x → x = 8. Tekshirish: 48 va 16, 48 ÷ 16 = 3 ✓

3. Hozir ona qizidan 5 marta katta. 4 yildan keyin 3 marta katta boʻladi. Hozir necha yoshda?

Javobni koʻrish

Qiz 4, ona 20. 5x + 4 = 3(x + 4) → 5x + 4 = 3x + 12 → 2x = 8 → x = 4. Tekshirish: 4 yildan keyin 24 va 8, 24 ÷ 8 = 3 ✓

4. Ketma-ket toʻrtta sonning yigʻindisi 90. Eng kichigini toping.

Javobni koʻrish

21. x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 90 → 4x + 6 = 90 → 4x = 84 → x = 21. Sonlar 21, 22, 23, 24; yigʻindisi 90 ✓

5. Ketma-ket ikkita juft sonning yigʻindisi 46. Sonlarni toping.

Javobni koʻrish

22 va 24. x + (x + 2) = 46 → 2x = 44 → x = 22. Juft sonlar ikkitadan farq qiladi. Tekshirish: 22 + 24 = 46 ✓

6. Ikki xonali sonning oʻnliklar raqami 4, birliklar raqami 9. Bu son qanday va raqamlar almashsa qanday boʻladi?

Javobni koʻrish

49 va 94. 10 × 4 + 9 = 49; almashgach 10 × 9 + 4 = 94. Farq 94 − 49 = 45 — u har doim 9 ning karralisi boʻladi.

7. Ikki xonali sonning raqamlari yigʻindisi 9. Raqamlar almashtirilsa, son 27 ga ortadi. Sonni toping.

Javobni koʻrish

36. a + b = 9; 10b + a = 10a + b + 27 → 9b − 9a = 27 → b − a = 3. Yigʻindisi 9, farqi 3 → a = 3, b = 6. Son 36. Tekshirish: 3 + 6 = 9 ✓, 63 − 36 = 27 ✓

Kalit soʻzlar

Yoshtugʻilgandan beri oʻtgan yillar soni; ingl. age
Yoshlar farqiikki kishi yoshi orasidagi oʻzgarmas ayirma; ingl. age difference
Nisbat«necha marta katta» degan savolning javobi; ingl. ratio
Oʻzgarmasvaqt oʻtishi bilan qiymati oʻzgarmaydigan kattalik; ingl. constant
Ketma-ket sonlarbittadan farq qiladigan sonlar; ingl. consecutive numbers
Raqamsonni yozishda ishlatiladigan belgi (0…9); ingl. digit
Oʻnliklar raqamiikki xonali sondagi chapdagi raqam; ingl. tens digit
Birliklar raqamiikki xonali sondagi oʻngdagi raqam; ingl. units digit
Razryadraqamning sondagi oʻrni va qiymati; ingl. place value
Manfiy javobhodisa oʻtmishda boʻlganini bildiruvchi natija; ingl. negative solution