PM-99: Namuna izlash va umumlashtirish
Kichik hollarni hisoblang, namunani koʻring va uni n orqali yozing — shunda bitta formula cheksiz koʻp savolga javob beradi. Lekin namuna taxmin beradi, isbot emas.
PM-99: Namuna izlash va umumlashtirish
1 dan 100 gacha boʻlgan hamma sonni qoʻshing. Qoʻlda.
Bu masalani bundan ikki asr oldin bir maktab oʻqituvchisi sinfga bergan — bolalarni bir soatga band qilish uchun. Bir bola javobni bir necha soniyada aytgan.
U tezroq qoʻshmagan. U boshqa narsa qilgan: namuna koʻrgan. Bu darsda biz ham shuni qilamiz.
Bu darsda siz
- kichik hollarni hisoblab, namunani topasiz;
- namunani n harfi orqali yozasiz;
- formulani kichik hollarda tekshirasiz;
- namuna qachon aldashini bilib olasiz.
1. Gaussning hiylasi
Sonlarni ikki uchidan juftlaymiz:
1 + 100 = 101 · 2 + 99 = 101 · 3 + 98 = 101 …
Har bir juftlik roppa-rosa 101 beradi.
Endi buni istalgan n uchun yozamiz. n ta son bor, juftlik soni n ÷ 2, har juftlik n + 1 ga teng:
| n | Formula boʻyicha | Bevosita qoʻshib |
|---|---|---|
| 4 | 4 × 5 ÷ 2 = 10 | 1+2+3+4 = 10 ✓ |
| 5 | 5 × 6 ÷ 2 = 15 | 1+2+3+4+5 = 15 ✓ |
| 10 | 10 × 11 ÷ 2 = 55 | 55 ✓ |
| 100 | 100 × 101 ÷ 2 = 5050 | Gaussning javobi ✓ |
Formulani har doim kichik hollarda tekshiring
n = 1, 2, 3 kabi kichik sonlar bilan sinash bir necha soniya vaqt oladi va notoʻgʻri formulani darrov fosh qiladi. n = 1 uchun: 1 × 2 ÷ 2 = 1 ✓
2. Toq sonlar va kvadratlar
Endi oʻzingiz namuna toping. Ketma-ket toq sonlarni qoʻshamiz:
1 = 1 · 1 + 3 = 4 · 1 + 3 + 5 = 9 · 1 + 3 + 5 + 7 = 16
1, 4, 9, 16 — bular aniq kvadratlar (PM-13).
Tekshiramiz
n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 va 5² = 25 ✓
n = 10 uchun javob 10² = 100 — yuzta son qoʻshmasdan.
Nega shunday? Kvadratdan kvadratga oʻtish qoidasi
Yuqoridagi chizmada har safar kvadratga bitta burchak qoʻshildi. Endi oʻsha burchakda nechta nuqta borligini sanaymiz.
n × n kvadratni (n + 1) × (n + 1) ga aylantirish uchun: oʻng tomonga n ta nuqta, tepaga yana n ta, va burchakka 1 ta qoʻshiladi.
Va 2n + 1 har doim toq son. Mana nima uchun qoʻshiladigan sonlar aynan toq boʻlib chiqadi — bu tasodif emas, kvadratning shaklidan kelib chiqadi.
Buni algebra bilan ham koʻrsatish mumkin. Qisqa koʻpaytirish formulasiga koʻra (PM-44):
| Kvadrat | Qoʻshiladigan 2n + 1 | Keyingi kvadrat |
|---|---|---|
| 12 = 1 | 2 × 1 + 1 = 3 | 1 + 3 = 4 = 22 |
| 22 = 4 | 2 × 2 + 1 = 5 | 4 + 5 = 9 = 32 |
| 32 = 9 | 2 × 3 + 1 = 7 | 9 + 7 = 16 = 42 |
| 92 = 81 | 2 × 9 + 1 = 19 | 81 + 19 = 100 = 102 |
Bu qoida ogʻzaki hisobda ish beradi
Kvadratni bilsangiz, keyingisini yodlash shart emas — uni chiqarib olasiz. 302 = 900 ekanini bilsangiz, 312 = 900 + (2 × 30 + 1) = 900 + 61 = 961. Xuddi shunday orqaga ham: 292 = 900 − (2 × 29 + 1) = 900 − 59 = 841.
Ikki qarash, bitta haqiqat
Chizma «har safar burchak qoʻshiladi» deydi. Algebra «(n + 1)² − n² = 2n + 1» deydi. Bu bir gapning ikki tili — va ikkalasi ham nima uchun toq sonlar yigʻindisi kvadrat berishini tushuntiradi.
3. Ketma-ketlikdan formulaga
Namuna izlashning eng koʻp uchraydigan turi: qator berilgan, n-hadini toping.
| Qator | Har qadamda | n-hadi |
|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11, … | +3 | 3n − 1 |
| 3, 7, 11, 15, … | +4 | 4n − 1 |
| 5, 10, 15, 20, … | +5 | 5n |
| 1, 4, 9, 16, … | kvadratlar | n2 |
Qadam formulani aytib turadi
Har qadamda +3 boʻlsa, formulada 3n boʻladi. Qolgani — toʻgʻrilash: n = 1 da 3 chiqadi, bizga esa 2 kerak, demak «− 1». Shunday qilib 3n − 1. Tekshiramiz: n = 4 → 3 × 4 − 1 = 11 ✓
4. Shakldan formulaga
Gugurt choʻplaridan qator qilib kvadratlar yasaymiz.
| Kvadratlar | Tayoqchalar | Farq |
|---|---|---|
| 1 | 4 | — |
| 2 | 7 | +3 |
| 3 | 10 | +3 |
| n | 3n + 1 | +3 |
Tekshiramiz
n = 1: 3 × 1 + 1 = 4 ✓ n = 3: 3 × 3 + 1 = 10 ✓
n = 10 uchun: 3 × 10 + 1 = 31 ta tayoqcha — chizmasdan.
Formulaning maʼnosini oʻqing
3n + 1 shunchaki son emas — u shaklni tushuntiradi: har bir kvadrat 3 ta yangi tayoqcha qoʻshadi, ustiga boshida 1 ta qoʻshimcha turadi. Formulani maʼnosi bilan tushunsangiz, uni hech qachon unutmaysiz.
5. Namuna aldashi ham mumkin
Endi darsning eng muhim ogohlantirishi.
Aylana chizib, uning chetiga nuqtalar qoʻyamiz va har bir nuqtani qolganlari bilan chiziq orqali tutashtiramiz. Aylana nechta boʻlakka boʻlinadi?
1, 2, 4, 8, 16, …
Har safar ikki barobar — namuna aniq koʻrinyapti.
Keyingisi 32 boʻlishi kerak-ku? Sanab koʻrilsa, u 31 chiqadi.
Namuna — taxmin, isbot emas
Beshta hol toʻgʻri chiqqani formulaning rost ekanini bildirmaydi. Namuna sizga nima izlash kerakligini aytadi; uning rostligini esa sabab koʻrsatib isbotlash kerak — masalan juftlash (Gauss) yoki chizma (toq sonlar va kvadratlar) orqali.
Namuna koʻrish
Kichik hollarni hisoblab, qonuniyatni sezish. Tez, foydali — lekin ishonchsiz.
Sababni koʻrsatish
Nega shunday boʻlishini tushuntirish. Sekinroq — lekin shundan keyin shubha qolmaydi.
Matnli masala
Kafeda kvadrat stollar qatorga qoʻyiladi. Bitta stolga 4 kishi oʻtiradi. Ikkita stol yonma-yon qoʻyilsa, 6 kishi oʻtiradi (tegib turgan tomonlarga oʻtirib boʻlmaydi). Uchta stolga 8 kishi oʻtiradi.
20 ta stol qatorga qoʻyilsa, necha kishi oʻtiradi?
| Stollar | Kishilar | Farq |
|---|---|---|
| 1 | 4 | — |
| 2 | 6 | +2 |
| 3 | 8 | +2 |
Uchala kichik holni ham tekshiramiz
n = 1: 2 + 2 = 4 ✓ n = 2: 4 + 2 = 6 ✓ n = 3: 6 + 2 = 8 ✓
Javob: 42 kishi oʻtiradi.
Sababni ham koʻring
Har bir stol yuqoriga bitta va pastga bitta joy beradi — bu 2n. Qatorning ikki uchida esa yana bittadan joy qoladi — bu +2. Endi formula shunchaki topilgan emas, tushunilgan.
Koʻp uchraydigan xatolar
Namuna topildi → «demak formula isbotlandi»
Namuna taxmin beradi; sabab isbot beradi
1, 2, 4, 8, 16 dan keyin 31 kelishi mumkin. Bir necha hol yetarli dalil emas.
2, 5, 8, 11 → n-hadi «3n»
3n − 1
Qadam toʻgʻri topilgan, lekin toʻgʻrilash unutilgan. n = 1 da 3 chiqadi, kerak esa 2.
Formula yozildi, kichik hollarda tekshirilmadi
n = 1, 2, 3 bilan sinash
Bir necha soniya vaqt oladi va notoʻgʻri formulani darrov fosh qiladi.
1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 = 10 100
100 × 101 ÷ 2 = 5050
Juftlaganda har bir son ikki marta sanaladi — shuning uchun 2 ga boʻlinadi.
Mashq
1. 1 + 2 + 3 + … + 20 yigʻindisini toping.
Javobni koʻrish
210. 20 × 21 ÷ 2 = 210.
2. Birinchi 10 ta toq sonning yigʻindisi qancha?
Javobni koʻrish
100. 10² = 100. Yaʼni 1 + 3 + 5 + … + 19 = 100.
3. 3, 7, 11, 15, … qatorining 8-hadi qanday?
Javobni koʻrish
31. Har qadamda +4 → 4n; n = 1 da 4 chiqadi, kerak 3 → 4n − 1. Demak 4 × 8 − 1 = 31. Tekshirish: n = 2 → 7 ✓
4. 1, 4, 9, 16, … qatorining 7-hadi qanday?
Javobni koʻrish
49. Bular aniq kvadratlar: n². 7² = 49.
5. Gugurt choʻplaridan qatorga uchburchaklar yasaladi: 1 tasi — 3 ta choʻp, 2 tasi — 5 ta, 3 tasi — 7 ta. 10 ta uchburchak uchun nechta choʻp kerak?
Javobni koʻrish
21 ta. Har qadamda +2 → 2n; n = 1 da 2 chiqadi, kerak 3 → 2n + 1. Demak 2 × 10 + 1 = 21. Tekshirish: n = 3 → 7 ✓
6. 8 kishi bir-biri bilan bir martadan qoʻl berdi. Nechta qoʻl berish boʻlgan?
Javobni koʻrish
28 ta. Har biri qolgan 7 kishi bilan: 8 × 7 = 56, lekin har bir qoʻl berish ikki marta sanaldi (PM-96), demak 56 ÷ 2 = 28. Umumiy formula: n(n − 1) ÷ 2.
7. 402 = 1600 ekani maʼlum. 412 ni yodlamasdan toping.
Javobni koʻrish
1681. n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 qoidasi bilan: 1600 + (2 × 40 + 1) = 1600 + 81 = 1681. Tekshirish: 41 × 41 = 1681 ✓
8. 1 dan 50 gacha boʻlgan sonlar yigʻindisi qancha?
Javobni koʻrish
1275. 50 × 51 ÷ 2 = 1275. Juftlash bilan: 25 ta juftlik, har biri 51 ga teng: 25 × 51 = 1275 ✓
Kalit soʻzlar
- Namunatakrorlanadigan qonuniyat; ingl. pattern
- Umumlashtirishbir necha holdan umumiy qoida chiqarish; ingl. generalisation
- Ketma-ketlikmaʼlum qoida boʻyicha kelgan sonlar qatori; ingl. sequence
- Hadketma-ketlikdagi bitta son; ingl. term
- n-hadiistalgan oʻrindagi hadni beruvchi ifoda; ingl. nth term
- Formulaqoidaning harflar bilan yozuvi; ingl. formula
- Aniq kvadratbutun sonning kvadrati: 1, 4, 9, 16; ingl. perfect square
- Juftlashsonlarni ikki uchidan qoʻshib hisoblash; ingl. pairing
- Isbotsabab koʻrsatib, shubhani yoʻqotish; ingl. proof
Qisqacha
- Kichik hollarni hisoblang — namuna oʻzi koʻrinadi.
- Har qadamdagi farq formulaning koeffitsiyentini beradi.
- Keyin toʻgʻrilang: n = 1 da kerakli son chiqsin.
- Formulani n = 1, 2, 3 bilan albatta tekshiring.
- 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2.
- Birinchi n ta toq sonning yigʻindisi n².
- n² + (2n + 1) = (n + 1)² — kvadratdan keyingi kvadratga oʻtish; shuning uchun qoʻshiladigan sonlar toq.
- Namuna taxmin beradi, isbot emas — sababni ham koʻrsating.