SAT-19: Systems with Infinite Solutions (Identical Lines)
Ikki tenglama aslida bitta chiziqni ikki marta yozgan boʻlsa, yechim cheksiz koʻp. Buni tanish usuli: bir tenglama ikkinchisining karrasi — va SAT aynan shu koʻpaytuvchini soʻraydi.
SAT-19: Systems with Infinite Solutions (Identical Lines)
Odatda ikki chiziq bitta nuqtada kesishadi va sistemaning bitta yechimi boʻladi. Lekin ikki tenglama aynan bir xil chiziqni tasvirlashi ham mumkin — shunchaki boshqacha yozilgan boʻladi. U holda ular butun uzunligi boʻylab ustma-ust tushadi va har bir nuqta yechim boʻladi.
Bu darsdan keyin siz
- «cheksiz koʻp yechim» nima demakligini rasm bilan tushunasiz;
- bir tenglama ikkinchisining karrasi ekanini bir qarashda koʻrasiz;
- nomaʼlum koeffitsientni (k yoki c) topasiz;
- nisbat testini qoʻllaysiz: A, B va C bir xil koʻpaytuvchi bilan oʻzgaradi.
Bitta chiziq, ikki xil yozuv
2x + 3y = 8 tenglamasining ikkala tomonini 2 ga koʻpaytiring: 4x + 6y = 16. Bu yangi chiziq emas — bu oʻsha chiziqning ikki barobar kattalashtirilgan yozuvi. Har bir (x, y) juftligi ikkalasini ham bir vaqtda rost qiladi.
SAT-2 dagi «cheksiz koʻp yechim» holati esingizdami? U yerda yechganda 0 = 0 qolar edi. SAT-11 da esa bu «ustma-ust tushgan chiziqlar» deb atalgan edi. Uchalasi — bitta hodisaning uch xil koʻrinishi: algebrada, grafikda va endi sistemada.
Nisbat testi
Ikki tenglamada mos koeffitsientlarning nisbati uchalasida ham bir xil boʻlsa — cheksiz koʻp yechim.
4 ÷ 2 = 6 ÷ 3 = 16 ÷ 8 = 2
4x + 6y = 16 va 2x + 3y = 8 — hamma joyda koʻpaytuvchi 2.
Agar oxirgi nisbat boshqacha boʻlganda, yechim umuman boʻlmasdi (SAT-20).
Misol 1 (oson)
4x + 6y = k Ikkinchi tenglamaning chap tomoni birinchisidan 2 barobar katta
Misol 2 (oʻrta) — koʻpaytuvchi kasr
3x + y = c Ikkinchisi birinchisining yarmi
Misol 3 (SAT darajasi) — nomaʼlum chap tomonda
kx + 4y = 12 va 3x + 2y = 6 sistemasining cheksiz koʻp yechimi bor. k nechaga teng?
Tekshiramiz
k = 6 boʻlsa birinchi tenglama 6x + 4y = 12 boʻladi, va u aynan 3x + 2y = 6 ning ikki barobari ✓
Exam English — savol qanday soʻraydi
- infinitely many solutionscheksiz koʻp yechim — bitta chiziq
- the same lineoʻsha chiziq
- a multiple of the otherikkinchisining karrasi
- for what value of kk ning qaysi qiymatida
- equivalent equationsteng kuchli tenglamalar
SAT savollari
SAT-style question 60 s
4x + ky = 20
2x + 3y = 10
If the system above has infinitely many solutions, what is the value of k?
- 3
- 6
- 10
- 12
Yechimni koʻrish
Javob: B) 6
4 ÷ 2 = 2 va 20 ÷ 10 = 2 — koʻpaytuvchi 2. Demak k = 2 × 3 = 6.
Tekshiruv: 4x + 6y = 20 aynan 2x + 3y = 10 ning ikki barobari ✓
SAT-style question 75 s
Which system of equations has infinitely many solutions?
- x + y = 4 and 2x + 2y = 9
- x + y = 4 and 3x + 3y = 12
- x + y = 4 and x − y = 4
- x + y = 4 and 2x + 3y = 8
Yechimni koʻrish
Javob: B) x + y = 4 va 3x + 3y = 12
Ikkinchi tenglama birinchisining aynan uch barobari: 3 ÷ 1 = 3 ÷ 1 = 12 ÷ 4 = 3 ✓
A — chap tomon ikki barobar, oʻng tomon esa emas (8 boʻlishi kerak edi, 9 emas): bu yechimsiz sistema (SAT-20). C va D oddiy kesishuvchi chiziqlar — bitta yechim.
«Cheksiz koʻp yechim» savolini uch qadamda yoping:
- Maʼlum ikki juft koeffitsientdan koʻpaytuvchini toping (masalan 4 ÷ 2 = 2).
- Uni oʻng tomonda ham tekshiring — bir xil chiqishi shart.
- Nomaʼlum koeffitsientni oʻsha koʻpaytuvchiga koʻpaytiring.
Agar oʻng tomondagi nisbat boshqacha boʻlsa, savol aslida yechimsiz holat haqida (SAT-20) — sarlavhani qayta oʻqing.
2x + 3y = 8 va 4x + 6y = 8 — cheksiz koʻp yechim.
Bu sistemaning yechimi yoʻq.
Chap tomon ikki barobar, oʻng tomon esa oʻsha-oʻsha. 16 boʻlishi kerak edi.
Koeffitsientlar teng boʻlsa — cheksiz koʻp yechim.
Ular proporsional boʻlishi kerak, teng emas.
3x + 3y = 12 va x + y = 4 — koeffitsientlar teng emas, lekin nisbat hamma joyda 3.
Mashq
1 For what value of k does 3x + 5y = 9 and 6x + 10y = k have infinitely many solutions?
Javobni koʻrish
k = 18 — koʻpaytuvchi 2, demak oʻng tomon ham ikkilanadi.
2 For what value of c does 10x + 4y = 22 and 5x + 2y = c have infinitely many solutions?
Javobni koʻrish
c = 11 — ikkinchisi birinchisining yarmi.
3 Do y = 2x + 1 and 2y = 4x + 2 have one solution, none, or infinitely many?
Javobni koʻrish
Cheksiz koʻp — ikkinchisini 2 ga boʻlsak birinchisi chiqadi. Bu bitta chiziq.
4 For what value of k does kx + 6y = 15 and 2x + 4y = 10 have infinitely many solutions?
Javobni koʻrish
k = 3 — 6 ÷ 4 = 1.5 va 15 ÷ 10 = 1.5, demak k = 1.5 × 2 = 3.
5 If a system has infinitely many solutions, what do its two graphs look like?
Javobni koʻrish
Ular ustma-ust tushgan bitta chiziq — ikkinchisi koʻrinmaydi, chunki u birinchisining tagida yotadi.
Key words
- infinitely many solutionscheksiz koʻp yechim
- identical / the same linebir xil chiziq
- a multiple of…ning karrasi
- proportionalproporsional; nisbati bir xil
- equivalent equationsteng kuchli tenglamalar
- coincideustma-ust tushmoq
- coefficientkoeffitsient
- constant termoʻzgarmas had (oʻng tomondagi son)
- simplify the equationtenglamani soddalashtirish
- for what value of kk ning qaysi qiymatida
Esda qoladigan uch narsa
- Cheksiz koʻp yechim = ikki tenglama bitta chiziqni yozgan.
- Test: A, B va C bir xil koʻpaytuvchi bilan bogʻlangan boʻlishi kerak.
- Eng tez yoʻl — bitta tenglamani soddalashtirib, ikkinchisi bilan solishtirish.