PM-98: Teskaridan yurish
Baʼzi masalalarda oxiri maʼlum, boshi nomaʼlum. Unda oxiridan boshlab, har bir amalni teskarisiga almashtirib orqaga yuriladi — va boshlanish oʻzi chiqadi.
PM-98: Teskaridan yurish
«Bir son oʻyladim. Uni 3 ga koʻpaytirdim, keyin 8 qoʻshdim va 35 chiqdi. Qanday son oʻylagandim?»
Oldinga yurish qiyin: qaysi sondan boshlashni bilmaymiz. Lekin oxiri maʼlum — 35. Va agar biz 8 qoʻshgan boʻlsak, orqaga qaytishda 8 ni ayirish kerak. Agar 3 ga koʻpaytirgan boʻlsak, orqaga qaytishda 3 ga boʻlish kerak.
35 − 8 = 27, keyin 27 ÷ 3 = 9. Tamom.
Bu darsda siz
- qachon teskaridan yurish kerakligini bilib olasiz;
- har bir amalning teskarisini topasiz;
- amallarni teskari tartibda bajarasiz;
- javobni oldinga yurib tekshirasiz.
1. Qachon bu usul kerak
PM-87 da oʻq sxemasini oʻrgangan edik. Oʻshanda biz sxemani chapdan oʻngga oʻqib, tenglama tuzgandik. Endi teskari tomonga yuramiz — va koʻpincha tenglamaning ham hojati qolmaydi.
Belgi
Masalada oxirgi natija berilgan, boshlangʻich miqdor esa soʻralgan boʻlsa — teskaridan yurish deyarli har doim eng qisqa yoʻl. «…va oxirida 5 ta qoldi», «…natijada 35 chiqdi», «…qopda 12 tasi qoldi» degan gaplar shu usulni chaqiradi.
2. Teskari amallar jadvali
| Oldinga yurganda | Orqaga qaytganda | Misol |
|---|---|---|
| + 8 qoʻshildi | − 8 | 35 → 27 |
| − 6 ayirildi | + 6 | 14 → 20 |
| × 3 koʻpaytirildi | ÷ 3 | 27 → 9 |
| ÷ 5 boʻlindi | × 5 | 9 → 45 |
| yarmi olindi | × 2 | 10 → 20 |
| uchdan biri olindi | × 3/2 | 20 → 30 |
«Yarmi olindi» ning teskarisi ÷ 2 EMAS
Yarmi olinsa, qolgani ham yarmi. Demak orqaga qaytishda qolganini ikkiga koʻpaytiramiz. Bu eng koʻp uchraydigan xato: «olindi» degan soʻzni koʻrib, orqaga qaytishda ham kamaytirib yuborish.
Tartib ham teskari boʻladi
Amallarni teskarisiga almashtirish yarim ish. Ularni oxirgisidan boshlab bajarish kerak. Oldinga «×3, keyin +8» boʻlsa, orqaga «−8, keyin ÷3» boʻladi — koʻpaytirish emas, qoʻshish birinchi qaytariladi.
3. Birinchi misollar
Oldinga yurib tekshiramiz
9 → ×3 → 27 → +8 → 35 ✓ — masaladagi son roppa-rosa chiqdi.
Ikkinchi misol. Bir songa 12 qoʻshildi, keyin natija 4 ga boʻlindi va 9 chiqdi. Bu son qanday?
Tekshiramiz
24 + 12 = 36, keyin 36 ÷ 4 = 9 ✓
4. Ulushlar bilan orqaga yurish
Masala. Savatda olmalar bor edi. Birinchi bolaga yarmini berdi. Keyin ikkinchi bolaga qolganning yarmini berdi. Savatda 5 ta olma qoldi. Boshida nechta edi?
Oldinga yurib tekshiramiz
20 → yarmi berildi → 10 → qolganning yarmi berildi → 5 ✓
Javob: boshida 20 ta olma bor edi.
Endi qiyinrogʻi. Savatda olma bor edi. Bolaga yarmini va yana 1 tasini berdi, savatda 7 ta qoldi. Boshida nechta edi?
Ikkita amalni ajrating
«Yarmini va yana 1 tasini berdi» — bu ikkita qadam: avval yarmi olindi, keyin yana 1 ta olindi. Orqaga qaytishda ular teskari tartibda qaytariladi: avval 1 ni qaytaramiz, keyin ikkiga koʻpaytiramiz.
Tekshiramiz
16 ning yarmi 8 ta, yana 1 tasi — jami 9 ta berildi. 16 − 9 = 7 ✓
Matnli masala
Bekzod bozorga pul bilan bordi. Avval pulining yarmini sarfladi. Keyin qolganining uchdan bir qismini sarfladi. Soʻng 5 000 soʻmga choy oldi va choʻntagida 15 000 soʻm qoldi.
Bekzod bozorga qancha pul bilan borgan edi?
Reja: uchta qadam bor. Oxiridan boshlaymiz va har birini teskarisiga almashtiramiz.
Oldinga yurib tekshiramiz
60 000 → yarmi sarflandi → 30 000 → uchdan biri (10 000)
sarflandi → 20 000 → choy (5 000) → 15 000 ✓
Javob: Bekzod 60 000 soʻm bilan borgan.
Koʻp uchraydigan xatolar
Orqaga yurildi, lekin amallar oʻzgartirilmadi: 35 ÷ 3 − 8
35 − 8, keyin ÷ 3
Orqaga qaytishda har bir amal teskarisiga almashadi: qoʻshish ayirishga, koʻpaytirish boʻlishga.
Amallar teskari, lekin tartib oʻsha: ÷3, keyin −8
−8, keyin ÷3
Tartib ham teskari boʻladi. Eng oxirgi bajarilgan amal — birinchi qaytariladi.
«Yarmi olindi, 5 qoldi» → 5 ÷ 2
5 × 2 = 10
Orqaga qaytganda son kattalashadi — axir biz kamayishni bekor qilyapmiz.
Javob topildi, tekshirilmadi
Javobni boshiga qoʻyib, oldinga yurish
Bu usulda tekshirish deyarli bepul: sxema boʻylab oldinga yurasiz va oxirida masaladagi son chiqishi kerak.
Mashq
1. Bir songa 5 qoʻshilsa, 12 chiqadi. Bu son qanday?
Javobni koʻrish
7. 12 − 5 = 7. Tekshirish: 7 + 5 = 12 ✓
2. Bir son 4 ga koʻpaytirilsa, 24 chiqadi. Bu son qanday?
Javobni koʻrish
6. 24 ÷ 4 = 6. Tekshirish: 6 × 4 = 24 ✓
3. Bir sondan 3 ayirildi, keyin natija 2 ga koʻpaytirildi va 14 chiqdi. Bu son qanday?
Javobni koʻrish
10. Orqaga: 14 ÷ 2 = 7, keyin 7 + 3 = 10. Tekshirish: 10 − 3 = 7, 7 × 2 = 14 ✓
4. Bir son 5 ga boʻlindi, keyin 2 qoʻshildi va 11 chiqdi. Bu son qanday?
Javobni koʻrish
45. Orqaga: 11 − 2 = 9, keyin 9 × 5 = 45. Tekshirish: 45 ÷ 5 = 9, 9 + 2 = 11 ✓
5. Qutidagi qalamlarning yarmi olindi va 8 tasi qoldi. Boshida nechta edi?
Javobni koʻrish
16 ta. 8 × 2 = 16. Yarmi olinsa, qolgani ham yarmi — shuning uchun ikkiga koʻpaytiriladi.
6. Savatdagi mevaning yarmi va yana 2 tasi olindi, 10 tasi qoldi. Boshida nechta edi?
Javobni koʻrish
24 ta. Orqaga: 10 + 2 = 12, keyin 12 × 2 = 24. Tekshirish: 24 ning yarmi 12, yana 2 tasi — jami 14 ta olindi; 24 − 14 = 10 ✓
7. Bir son 2 ga koʻpaytirildi, keyin 7 ayirildi, soʻng 3 ga boʻlindi va 5 chiqdi. Bu son qanday?
Javobni koʻrish
11. Orqaga uchta qadam: 5 × 3 = 15, keyin 15 + 7 = 22, keyin 22 ÷ 2 = 11. Tekshirish oldinga: 11 × 2 = 22, 22 − 7 = 15, 15 ÷ 3 = 5 ✓
Kalit soʻzlar
- Teskaridan yurishoxirgi natijadan boshlanishga qaytish; ingl. working backwards
- Teskari amalbajarilgan amalni bekor qiluvchi amal; ingl. inverse operation
- Boshlangʻich qiymatizlanayotgan dastlabki miqdor; ingl. starting value
- Oxirgi natijahamma amaldan keyingi son; ingl. final result
- Qadamsxemadagi bitta amal; ingl. step
- Sxemaamallarning oʻq bilan bogʻlangan zanjiri; ingl. flow diagram
- Tartibamallarning bajarilish ketma-ketligi; ingl. order
- Bekor qilishamalni teskarisi bilan yoʻqqa chiqarish; ingl. undoing
Qisqacha
- Oxiri maʼlum, boshi nomaʼlum boʻlsa — teskaridan yuring.
- Har bir amal teskarisiga almashadi: + ↔ −, × ↔ ÷.
- Tartib ham teskari: oxirgi amal birinchi qaytariladi.
- «Yarmi olindi» ning teskarisi — ikkiga koʻpaytirish.
- «Yarmini va yana 1 tasini» — bu ikkita alohida qadam.
- Tekshirish bepul: javobni boshiga qoʻyib, oldinga yuring.