Mathematics

PM-7: Tub va murakkab sonlar; tub koʻpaytuvchilarga ajratish

Nega baʼzi sonlarni teng qatorlarga tiza olmaymiz? Tub va murakkab sonlar, Eratosfen gʻalviri va har qanday sonni tub koʻpaytuvchilarga ajratish.

powerty

Aug. 10, 2026

10 5 min 0

PM-7: Tub va murakkab sonlar; tub koʻpaytuvchilarga ajratish

Sinfga 12 ta stul keltirildi. Ularni teng qatorlarga tizish kerak. Bekzod bir necha xil qildi: 2 qatorda 6 tadan, 3 qatorda 4 tadan, 4 qatorda 3 tadan. Ertasi kuni 13 ta stul keltirishdi — va hech narsa chiqmadi. Qanday urinmasin, yo bitta uzun qator, yo bittadan turgan 13 ta qator. 13 soni «singishni» xohlamadi. Bunday sonlar matematikaning eng qiziq mavzularidan biri — tub sonlar.

Bu darsda siz

tub va murakkab sonni ajrata olasiz;
1 nega tub son emasligini tushunasiz;
Eratosfen gʻalviri bilan tub sonlarni topasiz;
har qanday sonni tub koʻpaytuvchilarga ajratasiz.

Boʻluvchilar soni boʻyicha 1 — na tub, na murakkab · tub: 2 ta boʻluvchi · murakkab: 3 ta va undan koʻp

Boʻluvchilarni sanaymiz

Har bir sonning kamida ikkita boʻluvchisi bor: 1 va sonning oʻzi. Butun farq shundan keyin boshlanadi.

Son	Boʻluvchilari	Nechta	Turi
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	6 ta	murakkab
13	1, 13	2 ta	tub
9	1, 3, 9	3 ta	murakkab
2	1, 2	2 ta	tub
1	1	1 ta	na tub, na murakkab

Qoida Tub son — roppa-rosa ikkita boʻluvchisi bor son: 1 va oʻzi. Murakkab son — undan koʻp boʻluvchisi bor son. 1 esa na u, na bu: uning bitta boʻluvchisi bor.

Oʻzbekcha «Nega 1 ni tub deb hisoblamaymiz?» Chunki har bir sonni tub koʻpaytuvchilarga faqat bitta usulda ajratish mumkin boʻlishi kerak. Agar 1 tub boʻlganda edi, 6 = 2 × 3 ham, 1 × 2 × 3 ham, 1 × 1 × 2 × 3 ham boʻlar edi — cheksiz koʻp yoʻl. Shuning uchun 1 ni roʻyxatga kiritmaymiz.

Eratosfen gʻalviri

Ikki ming yildan koʻproq oldin yunon olimi Eratosfen tub sonlarni topishning oddiy usulini oʻylab topdi: murakkablarini oʻchirib tashlash. Qolgani — tub.

1 ni oʻchiring — u tub emas.
2 ni qoldiring, keyin har ikkinchi sonni oʻchiring: 4, 6, 8, 10…
3 ni qoldiring, keyin har uchinchi sonni oʻchiring: 6, 9, 12, 15…
5 va 7 bilan ham shunday qiling. Qolgani — tub sonlar.

50 gacha boʻlgan tub sonlar shunday topiladi va ular bor-yoʻgʻi 15 ta:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Roʻyxatdagi yagona juft son — 2. Boshqa har qanday juft son 2 ga boʻlinadi, demak uchinchi boʻluvchisi bor.

Ustoz maslahati Son tubmi yoʻqmi — tekshirish uchun uni tub sonlarga navbat bilan boʻling: 2, 3, 5, 7… Boʻlinma boʻluvchidan kichik boʻlib qolgan zahoti toʻxtang, keyingisini tekshirish shart emas. Masalan 91: 2 ga boʻlinmaydi, 3 ga boʻlinmaydi (9 + 1 = 10), 5 ga boʻlinmaydi, 7 ga boʻlinadi — 91 = 7 × 13. Demak murakkab.

Tub koʻpaytuvchilarga ajratish

Har qanday murakkab sonni tub sonlarning koʻpaytmasi koʻrinishida yozish mumkin — va bu yoʻl yagona. Buni tub koʻpaytuvchilarga ajratish deymiz.

60 = 2 × 30 Eng kichik tub boʻluvchidan boshlaymiz: 60 juft

= 2 × 2 × 15 30 ham juft

= 2 × 2 × 3 × 5 15 = 3 × 5, ikkalasi ham tub — toʻxtaymiz

60 = 2 × 2 × 3 × 5 Tekshirish: 2 × 2 = 4, 4 × 3 = 12, 12 × 5 = 60 ✓

Yana bitta: 84. Juft → 84 = 2 × 42. 42 ham juft → 2 × 2 × 21. 21 = 3 × 7. Demak 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Tekshiring: 4 × 21 = 84 ✓

Ehtiyot boʻling Ajratishni faqat tub sonlar qolguncha davom ettiring. 60 = 4 × 15 — bu hali javob emas, chunki 4 ham, 15 ham murakkab. Boshlash tartibi esa ahamiyatsiz: 60 = 6 × 10 dan boshlasangiz ham, oxirida oʻsha 2 × 2 × 3 × 5 chiqadi.

Matnli masala

Bogʻbonda 60 ta koʻchat bor. U ularni teng qatorlarga ekmoqchi — har qatorda bir xil sondan. Necha xil variant bor?

Nima soʻralyapti? 60 ning barcha boʻluvchilari soni: har bir boʻluvchi — bitta variant.

60 = 2 × 2 × 3 × 5 Tub koʻpaytuvchilar — barcha boʻluvchilarning «gʻishtlari»

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Boʻluvchilarni juftlab yozamiz: 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10

12 xil variant Oltita juftlik, har biri ikki xil joylashuv beradi

Tekshiramiz

Masalan 4 qatorda 15 tadan: 4 × 15 = 60 ✓ · 6 qatorda 10 tadan: 6 × 10 = 60 ✓

Koʻp uchraydigan xatolar

«~~1 — eng kichik tub son~~»

Eng kichik tub son — 2. 1 na tub, na murakkab

«9 toq, demak ~~tub son~~»

9 = 3 × 3 — murakkab. Toqlik tublikni bildirmaydi

60 = ~~4 × 15~~ — tub koʻpaytuvchilarga ajratildi

60 = 2 × 2 × 3 × 5 — 4 va 15 hali murakkab edi

Mashq

1 17 tub sonmi?

Javobni koʻrish

Ha. 2 ga boʻlinmaydi (toq), 3 ga boʻlinmaydi (1 + 7 = 8), 5 ga boʻlinmaydi. Keyingi tub 7 boʻlar edi, lekin 7 × 7 = 49 — 17 dan katta, demak tekshirishni toʻxtatamiz. Boʻluvchilari faqat 1 va 17.

2 51 tub sonmi?

Javobni koʻrish

Yoʻq. Raqamlar yigʻindisi 5 + 1 = 6 — uchga boʻlinadi (PM-6), demak 51 = 3 × 17. Bu klassik tuzoq: 51 tub koʻrinadi, lekin uchga boʻlinadi.

3 84 ni tub koʻpaytuvchilarga ajrating.

Javobni koʻrish

84 = 2 × 2 × 3 × 7. 84 juft → 2 × 42; 42 juft → 2 × 21; 21 = 3 × 7. Tekshirish: 2 × 2 × 3 × 7 = 84 ✓

4 2 dan boshqa yana qanday juft tub son bor?

Javobni koʻrish

Yoʻq. Har qanday juft son 2 ga boʻlinadi, demak uning kamida uchta boʻluvchisi bor: 1, 2 va oʻzi. Shuning uchun 2 — yagona juft tub son.

5 13 ta stulni teng qatorlarga tizish mumkinmi — har qatorda bittadan koʻp va bitta qatordan koʻp boʻlsin?

Javobni koʻrish

Mumkin emas. 13 — tub son, uning boʻluvchilari faqat 1 va 13. Demak yo bitta qatorda 13 ta, yo 13 qatorda bittadan. 12 ta stul bilan esa beshta boshqa variant chiqar edi: 2×6, 3×4, 4×3, 6×2 va boshqalar.

Kalit soʻzlar

Tub sonfaqat 1 va oʻziga boʻlinadi; ingl. prime number
Murakkab sonikkitadan koʻp boʻluvchisi bor; ingl. composite number
Boʻluvchisonni qoldiqsiz boʻladigan son; ingl. divisor, factor
Tub koʻpaytuvchiajratmadagi tub son; ingl. prime factor
Ajratma2 × 2 × 3 × 5 koʻrinishidagi yozuv; ingl. prime factorisation
Eratosfen gʻalviritub sonlarni topish usuli; ingl. sieve of Eratosthenes
Juft tub sonfaqat 2; ingl. the only even prime
Oʻzaro tub sonlarumumiy boʻluvchisi 1 dan boshqa boʻlmagan sonlar; ingl. coprime