Mathematics

PM-8: EKUB va EKUK — va ular qayerda kerak boʻladi

Eng katta umumiy boʻluvchi va eng kichik umumiy karrali: tub koʻpaytuvchilar orqali topish, ikkalasini adashtirmaslik va hayotdagi masalalarda qoʻllash.

powerty

Aug. 10, 2026

16 7 min 0

PM-8: EKUB va EKUK — va ular qayerda kerak boʻladi

Dilnozada 24 ta olma va 36 ta nok bor. U ularni bir xil sovgʻa paketlariga solmoqchi: har paketda olma ham, nok ham teng miqdorda boʻlsin va hech narsa ortib qolmasin. Eng koʻpi bilan nechta paket chiqadi? Bu savolning javobi EKUB deb ataladigan tushunchada. Uning egizagi EKUK esa butunlay boshqa savolga javob beradi: «ikki hodisa qachon yana bir vaqtda takrorlanadi?»

Bu darsda siz

EKUB va EKUK nima ekanini va ularning farqini bilib olasiz;
ikkalasini tub koʻpaytuvchilar orqali topasiz;
qaysi masalada qaysi biri kerakligini ajratasiz;
javobni tez tekshirish usulini oʻrganasiz.

Ikki savol EKUB: eng katta umumiy boʻluvchi · EKUK: eng kichik umumiy karrali

1. Avval ikkita soʻzni aniqlab olamiz

EKUB va EKUK ni hisoblashdan oldin ikkita soʻz aniq boʻlishi kerak. Ular chalkashsa, hamma qolgani chalkashadi.

Soʻz	Maʼnosi	12 uchun misol
Boʻluvchi	sonni qoldiqsiz boʻladigan son	1, 2, 3, 4, 6, 12
Karrali	songa qoldiqsiz boʻlinadigan son	12, 24, 36, 48, 60 …

Boʻluvchi kichik, karrali katta

Boʻluvchilar sondan katta boʻlmaydi va ular sanoqli. Karralilar sondan kichik boʻlmaydi va ular cheksiz koʻp. Shuning uchun EKUB «eng katta»ni qidiradi (roʻyxat tugaydi), EKUK esa «eng kichik»ni (roʻyxat tugamaydi).

2. Birinchi usul: roʻyxat tuzish

Bu eng sekin usul — lekin u nima qilayotganingizni koʻrsatadi. Boshida albatta shundan boshlang.

Masala. EKUB(12, 18) va EKUK(12, 18) ni toping.

EKUB uchun ikkalasining boʻluvchilarini yozamiz va umumiylarini ajratamiz:

Son	Boʻluvchilari	Umumiylari
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	1, 2, 3, 6
18	1, 2, 3, 6, 9, 18	eng kattasi — 6

Demak EKUB(12, 18) = 6.

EKUK uchun ikkalasining karralilarini yozamiz va birinchi uchrashgan joyini olamiz:

Son	Karralilari	Birinchi umumiysi
12	12, 24, 36, 48, 60 …	36
18	18, 36, 54, 72 …	undan kichigi yoʻq

Demak EKUK(12, 18) = 36.

Boʻluvchilar roʻyxatini qanday toʻliq yozish kerak

Ularni juftlab yozing: 12 uchun 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 — uchta juftlik, oltita boʻluvchi. Juftliklar «uchrashgan» joyda toʻxtaysiz (3 × 4 dan keyin 4 × 3 takrorlanadi). Shunda birorta boʻluvchi tushib qolmaydi.

3. Ikkinchi usul: tub koʻpaytuvchilar

Sonlar kattalashsa, roʻyxat uzayib ketadi. Unda PM-7 dagi tub koʻpaytuvchilarga ajratish yordam beradi.

Masala. EKUB(24, 36) va EKUK(24, 36).

Avval ikkalasini ajratamiz va bir-birining tagiga yozamiz — shunda umumiy qismi koʻzga tashlanadi:

Son	Tub koʻpaytuvchilari	Daraja bilan
24	2 × 2 × 2 × 3	2³ × 3
36	2 × 2 × 3 × 3	2² × 3²

Ikkita qoida EKUB = faqat umumiylari · EKUK = hammasi, umumiysi bir marta

Ikkalasida ham bor: 2, 2 va 3 24 da uchta 2 bor, 36 da ikkita — kamrogʻini olamiz

EKUB(24, 36) = 2 × 2 × 3 = 12 Faqat umumiy qism

Umumiy qism: 2 × 2 × 3 Uni bir marta olamiz

Ustiga: 24 dan ortgan 2, 36 dan ortgan 3 Har birining «yetishmagan» qismi

EKUK(24, 36) = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72 72 ÷ 24 = 3 ✓ va 72 ÷ 36 = 2 ✓

Daraja bilan aytganda — eng qisqa qoida

Har bir tub son uchun: EKUB uning kichik darajasini oladi, EKUK esa katta darajasini.
24 = 2³ × 3¹ va 36 = 2² × 3².
EKUB = 2² × 3¹ = 12 · EKUK = 2³ × 3² = 72.
Bitta sonda umuman yoʻq tub son EKUB ga kirmaydi, EKUK ga esa kiradi.

4. Uchinchi usul: ustunli boʻlish — eng tezi

Qoʻlda hisoblashning eng qisqa yoʻli. Ikkala sonni yonma-yon yozamiz va ikkalasini ham boʻladigan tub songa boʻlaveramiz.

Boʻluvchi	24	36
2	12	18
2	6	9
3	2	3
toʻxtadik	2	3

Toʻxtaymiz, chunki 2 bilan 3 ni birdan boʻladigan son endi yoʻq — ular oʻzaro tub.

EKUB = chap ustun: 2 × 2 × 3 = 12 Faqat birga boʻlingan sonlar

EKUK = chap ustun × pastki qator: 12 × 2 × 3 = 72 Ustiga qolgan «boʻlinmaganlar»

Bu usul nega ishlaydi

Chap ustun — ikkala sonda ham bor tub koʻpaytuvchilar, yaʼni EKUB ning oʻzi. Pastki qatorda esa har birining «oʻziga xos» qismi qoladi. Demak bu ikkinchi usulning qisqa yozuvi, boshqa narsa emas.

5. Javobni tekshirish — bir qatorda

Har doim ishlaydigan qoida EKUB × EKUK = birinchi son × ikkinchi son

Tekshiramiz

12 × 72 = 864 va 24 × 36 = 864 ✓
12 va 18 uchun ham: 6 × 36 = 216 va 12 × 18 = 216 ✓
Bu qoida ikkala javobni bir yoʻla tekshiradi — biri xato boʻlsa, koʻpaytmalar toʻgʻri kelmaydi.

Undan bittasini topish ham mumkin

EKUB ni topish osonroq. Keyin EKUK ni shu qoidadan chiqaring: EKUK = a × b ÷ EKUB. Masalan 24 × 36 ÷ 12 = 72 ✓

6. Qaysi usulni tanlash

Usul	Qachon qulay	Kamchiligi
Roʻyxat	sonlar kichik (20 gacha)	katta sonlarda uzoq
Tub koʻpaytuvchilar	har qanday son	ajratish vaqt oladi
Ustunli boʻlish	qoʻlda tez hisoblash	tub sonni koʻra bilish kerak

Oʻzbekcha Nomlarning oʻzi hammasini aytib turibdi: EKUB — eng katta umumiy boʻluvchi, demak u sonlardan kichik yoki teng. EKUK — eng kichik umumiy karrali, demak u sonlardan katta yoki teng. Javobingiz shu chegaralarga sigʻmasa, xato qilgansiz.

Qaysi biri kerak? Savolga qarang

EKUB kerak

Bor narsani boʻlib tashlaymiz: eng koʻpi bilan nechta paket, eng katta qanday kvadrat kafel, nechta bir xil guruh.

Javob sonlardan kichik chiqadi.

EKUK kerak

Takrorlanadigan narsalar qachon uchrashadi: avtobuslar, navbatchilik, ikki xil qadamdagi hodisa.

Javob sonlardan katta chiqadi.

Ikkita maxsus holat

1Biri ikkinchisiga boʻlinsa

EKUB(5, 15) = 5, EKUK(5, 15) = 15. Kichik son katta sonning boʻluvchisi boʻlsa, javoblar shu sonlarning oʻzi.

2Oʻzaro tub sonlar

EKUB(7, 13) = 1, EKUK(7, 13) = 91. Umumiy tub koʻpaytuvchisi yoʻq sonlarning EKUK i — koʻpaytmasining oʻzi.

Matnli masala

Dilnozada 24 ta olma va 36 ta nok bor. Har bir paketda olma ham, nok ham teng miqdorda boʻlishi va hech narsa ortmasligi kerak. Eng koʻpi bilan nechta paket chiqadi va har birida nechtadan meva boʻladi?

EKUB(24, 36) = 12 Paketlar soni — ikkala sonni ham boʻlishi shart

24 ÷ 12 = 2 ta olma Har paketga tegadigan olma

36 ÷ 12 = 3 ta nok Har paketda 2 olma va 3 nok, jami 12 ta paket

Tekshiramiz

12 × 2 = 24 ✓ va 12 × 3 = 36 ✓ — hech narsa ortib qolmadi.

Koʻp uchraydigan xatolar

EKUB(24, 36) = 72

EKUB(24, 36) = 12 — boʻluvchi sonlardan katta boʻlolmaydi (72 — bu EKUK)

EKUK(24, 36) = ~~24 × 36 = 864~~

EKUK(24, 36) = 72 — koʻpaytma faqat oʻzaro tub sonlarda EKUK boʻladi

EKUB uchun umumiy koʻpaytuvchilar ~~qoʻshiladi~~: 2 + 2 + 3 = 7

Ular koʻpaytiriladi: 2 × 2 × 3 = 12

Mashq

1 EKUB(18, 24) = ?

Javobni koʻrish

6. 18 = 2 × 3 × 3, 24 = 2 × 2 × 2 × 3. Umumiylari: 2 va 3 → 2 × 3 = 6. Tekshirish: 18 ÷ 6 = 3 ✓, 24 ÷ 6 = 4 ✓

2 EKUK(4, 6) = ?

Javobni koʻrish

12. 4 ning karralilari: 4, 8, 12… 6 niki: 6, 12… Birinchi uchrashuv — 12. Tekshirish: EKUB(4, 6) = 2 va 2 × 12 = 24 = 4 × 6 ✓

3 EKUB(7, 13) = ?

Javobni koʻrish

1. Ikkalasi ham tub son va bir-biriga teng emas, demak umumiy boʻluvchisi faqat 1. Bunday sonlar oʻzaro tub deyiladi, ularning EKUK i esa koʻpaytmasi: 91.

4 EKUK(5, 15) = ?

Javobni koʻrish

15. 15 allaqachon 5 ga boʻlinadi, demak u ikkalasining ham karralisi. Kichik son katta sonning boʻluvchisi boʻlsa, EKUK — katta sonning oʻzi, EKUB esa kichigining oʻzi (bu yerda 5).

5 Bekatga birinchi avtobus har 12 daqiqada, ikkinchisi har 18 daqiqada keladi. Ular soat 8:00 da birga keldi. Keyingi safar qachon birga keladi?

Javobni koʻrish

Soat 8:36 da. Kerak boʻlgani — EKUK(12, 18). 12 = 2 × 2 × 3, 18 = 2 × 3 × 3 → EKUK = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 daqiqa. Tekshirish: 36 ÷ 12 = 3 ✓, 36 ÷ 18 = 2 ✓ Bu yerda EKUB (6) kerak emas — savol «qachon uchrashadi» degan savol.

Kalit soʻzlar

Umumiy boʻluvchiikkala sonni ham boʻladigan son; ingl. common divisor
EKUBeng katta umumiy boʻluvchi; ingl. GCD, HCF
Karralisonga qoldiqsiz boʻlinadigan son; ingl. multiple
Umumiy karraliikkala sonning ham karralisi; ingl. common multiple
EKUKeng kichik umumiy karrali; ingl. LCM
Oʻzaro tubEKUB i 1 ga teng sonlar; ingl. coprime
Tub koʻpaytuvchiajratmadagi tub son; ingl. prime factor
Qoldiqsizteng, ortmasdan; ingl. without remainder

🎯 Esda tuting

EKUB — umumiy tub koʻpaytuvchilarning koʻpaytmasi; sonlardan kichik yoki teng.
EKUK — hamma koʻpaytuvchilar, umumiylari bir marta; sonlardan katta yoki teng.
Tekshiruv: EKUB × EKUK = a × b.
«Boʻlib tashlaymiz» → EKUB. «Qachon uchrashadi» → EKUK.