Mathematics

PM-34: Umumiy koʻpaytuvchini qavsdan chiqarish

Qavs ochishning teskarisi: 4n + 12 dan 4(n + 3) ga qaytish. Umumiy koʻpaytuvchini EKUB orqali topish va bu amal ogʻzaki hisobda qanday yordam berishi.

powerty

Aug. 11, 2026

2 5 min 0

PM-34: Umumiy koʻpaytuvchini qavsdan chiqarish

Oʻtgan darsda qavsni ochdik: 4(n + 3) = 4n + 12. Endi teskari yoʻlga qaytamiz — 4n + 12 ni koʻrib, undan 4(n + 3) ni yasaymiz. Nega kerak? Chunki qavsli koʻrinish koʻpincha qisqaroq, tushunarliroq va koʻp hollarda hisoblash ancha oson boʻladi.

Bu darsda siz

hadlarning umumiy koʻpaytuvchisini topasiz;
uni qavsdan tashqariga chiqarasiz;
javobni qavsni ochib tekshirasiz;
bu amalni ogʻzaki hisobda ishlatasiz.

Ikki tomonlama yoʻl ochish: a(b + c) → ab + ac · chiqarish: ab + ac → a(b + c)

1. Umumiy koʻpaytuvchi nima

4n + 12 ifodasiga qaraymiz. Birinchi had 4 × n, ikkinchisi 4 × 3. Ikkalasida ham 4 bor — u umumiy koʻpaytuvchi. Uni qavsdan tashqariga chiqaramiz, qavs ichida esa har hadning «qolgani» yoziladi.

4n + 12 Berilgan ifoda

4 × n + 4 × 3 Har hadni umumiy koʻpaytuvchi bilan yozdik

= 4(n + 3) Toʻrtni tashqariga, qolganini qavsga

Tekshiramiz

Qavsni ochamiz (PM-33): 4 × n = 4n va 4 × 3 = 12 ✓ Boshlangʻich ifoda qaytdi. Har safar shunday tekshiring — chiqarishning tekshiruvi ochishdir.

2. Qaysi sonni chiqaramiz — EKUB

6x + 9 da 6 va 9 ning ikkalasi ham 3 ga boʻlinadi. Demak umumiy koʻpaytuvchi 3. Uni topish uchun PM-8 dagi EKUB kerak boʻladi — eng katta umumiy boʻluvchi.

Ifoda	Koeffitsientlar	EKUB	Javob
6x + 9	6 va 9	3	3(2x + 3)
10a − 15	10 va 15	5	5(2a − 3)
8m + 12n	8 va 12	4	4(2m + 3n)
14x − 21	14 va 21	7	7(2x − 3)

Eng KATTA umumiy koʻpaytuvchini chiqaring

8m + 12n ni 2(4m + 6n) deb yozish ham xato emas, lekin ish tugallanmagan: qavs ichida yana 2 qolib ketdi. Toʻliq javob — 4(2m + 3n). Qavs ichidagi sonlarning umumiy boʻluvchisi qolmasligi kerak.

Qavs ichida hech narsa yoʻqolmaydi

Har bir hadni umumiy koʻpaytuvchiga boʻlib, natijani qavs ichiga yozasiz. Agar had umumiy koʻpaytuvchining oʻziga teng boʻlsa, qavs ichida 1 qoladi: 5x + 5 = 5(x + 1). Bir yoʻqolib qolsa, ifoda buziladi.

3. Harf ham umumiy boʻlishi mumkin

Umumiy koʻpaytuvchi faqat son emas — harf ham boʻladi. 2a + ab da ikkala hadda ham a bor.

2a + ab = a(2 + b)

Ikkala hadda ham a bor — uni tashqariga chiqardik.

Tekshirish: a × 2 = 2a va a × b = ab ✓

5x + x² = x(5 + x)

x² — bu x × x, demak unda ham bitta x bor.

4. Nega bu amal foydali

Birinchidan, ogʻzaki hisobda. Quyidagini kalkulyatorsiz hisoblang:

7 × 98 + 7 × 2 Ikkala hadda ham 7 bor

= 7(98 + 2) Yettini qavsdan chiqardik

= 7 × 100 = 700 Qavs ichi yumaloq songa aylandi

Bu usul bozorda ham ishlaydi

Bir kilogramm olma 12 000 soʻm. 8 kg olib, keyin yana 2 kg olsangiz: 12 000 × 8 + 12 000 × 2 = 12 000 × 10 = 120 000 soʻm. Ikkita koʻpaytirish oʻrniga bitta — va u ham eng osoni.

Ikkinchidan, keyingi darslarda: qavsli koʻrinish tenglamani yechishni, kasrni qisqartirishni va formulani oʻzgartirishni osonlashtiradi.

Matnli masala

Sinf sovgʻasi. 25 nafar oʻquvchi oʻqituvchiga sovgʻa olmoqchi. Har biri gul uchun a soʻmdan va kitob uchun b soʻmdan qoʻshadi.

Savol: yigʻilgan pulni ikki xil koʻrinishda yozing. a = 12 000, b = 8000 boʻlsa, qaysi yoʻl bilan hisoblash qulayroq?

25a + 25b Gulga yigʻilgani va kitobga yigʻilgani

= 25(a + b) 25 umumiy koʻpaytuvchi — chiqardik

a + b = 12 000 + 8000 = 20 000 Avval bir kishining ulushi

25 × 20 000 = 500 000 soʻm Bitta koʻpaytirish yetdi

Tekshiramiz

Uzun yoʻl: 25 × 12 000 = 300 000 va 25 × 8000 = 200 000; jami 500 000 ✓ Bir xil javob, lekin ikkita koʻpaytirish. Qavsli koʻrinish nafaqat qisqaroq — u hisobning oʻzini osonlashtirdi.

Taxmin Har kishidan yigirma mingdan, yigirma besh kishi — yarim millionga yaqin. Javob mos.

Koʻp uchraydigan xatolar

4x + 12 = 4(x + 12)

4x + 12 = 4(x + 3)

Ikkinchi had ham 4 ga boʻlinishi kerak: 12 ÷ 4 = 3. Tekshirish: 4(x + 12) ochilsa 4x + 48 chiqadi — boshlangʻich ifoda emas.

8m + 12n = 2(4m + 6n)

8m + 12n = 4(2m + 3n)

Ish yarim qolgan: qavs ichidagi 4 va 6 hali ham 2 ga boʻlinadi. Eng katta umumiy koʻpaytuvchini — EKUB(8, 12) = 4 ni chiqaring.

5x + 10 = 5(x)

5x + 10 = 5(x + 2)

Ikkinchi had butunlay yoʻqolib ketgan. Qavsdan chiqarish hech nimani yoʻqotmaydi: 10 ÷ 5 = 2 qavs ichida qoladi.

Mashq

1. 3a + 9 dan umumiy koʻpaytuvchini chiqaring.

Javobni koʻrish

3(a + 3). Tekshirish: 3 × a + 3 × 3 = 3a + 9 ✓

2. 6x − 15 dan umumiy koʻpaytuvchini chiqaring.

Javobni koʻrish

3(2x − 5). EKUB(6, 15) = 3; 6 ÷ 3 = 2 va 15 ÷ 3 = 5. Ishora saqlanadi.

3. 12 + 18y dan umumiy koʻpaytuvchini chiqaring.

Javobni koʻrish

6(2 + 3y). EKUB(12, 18) = 6.

4. 3b + b² dan umumiy koʻpaytuvchini chiqaring.

Javobni koʻrish

b(3 + b). b² — bu b × b, demak ikkala hadda ham b bor.

5. Bir kishilik chipta 45 000 soʻm. Ertalab 6 ta, kechqurun 4 ta chipta sotildi. Umumiy koʻpaytuvchini chiqarib, tushumni ogʻzaki hisoblang.

Javobni koʻrish

450 000 soʻm. 45 000 × 6 + 45 000 × 4 = 45 000(6 + 4) = 45 000 × 10 = 450 000. Qavs ichi oʻnga aylandi — hisob bir zumda tugadi.

Kalit soʻzlar

Umumiy koʻpaytuvchihamma hadda uchraydigan koʻpaytuvchi; ingl. common factor
Qavsdan chiqarishumumiy koʻpaytuvchini tashqariga olish; ingl. factorising
EKUBeng katta umumiy boʻluvchi; ingl. greatest common divisor
Koʻpaytuvchikoʻpaytirishda qatnashuvchi son; ingl. factor
Hadifodaning qoʻshish belgilari bilan ajratilgan boʻlagi; ingl. term
Teskari amalochishga — chiqarish; ingl. inverse operation
Koʻpaytmaga ajratishyigʻindini koʻpaytma koʻrinishida yozish; ingl. factorisation
Ogʻzaki hisobqogʻozsiz hisoblash; ingl. mental arithmetic

Esda qoladigan uch narsa

Chiqarish — ochishning teskarisi: ab + ac = a(b + c).
Eng KATTA umumiy koʻpaytuvchini oling — qavs ichida umumiy boʻluvchi qolmasin.
Javobni qavsni ochib tekshiring — boshlangʻich ifoda qaytishi shart.