PM-36: Bir nomaʼlumli tenglama — muvozanat gʻoyasi
Tenglama — tarozi. Ikki tomonga bir xil amal qilib nomaʼlumni yolgʻiz qoldirish, javobni tekshirish va PM-29 dan beri yozib kelgan ifodalarni nihoyat yechish.
PM-36: Bir nomaʼlumli tenglama — muvozanat gʻoyasi
PM-29 dan beri nomaʼlumni harf bilan yozib kelyapmiz, PM-30 da gapni ifodaga aylantirdik, PM-31 da unga son qoʻydik. Faqat bitta narsa qolgan edi: nomaʼlumning oʻzini topish. Mana shu ish tenglama yechish deyiladi — va u kutilganidan ancha oddiy, chunki uning ortida bitta oddiy narsa turadi: tarozi.
Bu darsda siz
- tenglamani ifodadan ajratasiz;
- muvozanat qoidasini tushunasiz: ikki tomonga bir xil amal;
- bir qadamli va ikki qadamli tenglamalarni yechasiz;
- javobni tenglamaga qoʻyib tekshirasiz.
1. Tenglama — muvozanatdagi tarozi
x + 5 = 12 yozuvini tarozi deb tasavvur qiling. Chap pallada nomaʼlum ogʻirlik va 5 kilogramm tosh, oʻng pallada 12 kilogramm. Tarozi tinch turibdi — demak ikki tomon teng.
Ikki palla teng — tenglama shuni bildiradi
Endi x ni topish uchun uni yolgʻiz qoldirish kerak. Chap palladan 5 kilogramm toshni olib tashlaymiz. Lekin shunda tarozi ogʻadi! Muvozanatni saqlash uchun oʻng palladan ham 5 ni olamiz.
Tekshiramiz
Topilgan sonni asl tenglamaga qoʻyamiz: 7 + 5 = 12 ✓ Tenglama yechilgach tekshirish shart emas — u BEPUL. Bir necha sekundda javobingiz toʻgʻri ekaniga ishonch hosil qilasiz. Bu odatni birinchi kundan boshlang.
2. Teskari amal bilan yolgʻizlash
Nomaʼlum yonidagi har bir amalni teskarisi bilan yoʻqotamiz. PM-4 dan bilamiz: qoʻshishning teskarisi — ayirish, koʻpaytirishning teskarisi — boʻlish.
| Tenglamada shunday | Ikki tomonga | Misol |
|---|---|---|
| x + 5 = 12 | − 5 | x = 7 |
| x − 3 = 10 | + 3 | x = 13 |
| 3x = 21 | ÷ 3 | x = 7 |
| x/4 = 3 | × 4 | x = 12 |
«Koʻchirib oʻtkazish» degan qoidani hozircha unuting
Kattalar koʻpincha «sonni ikkinchi tomonga oʻtkaz, ishorasi almashadi» deb oʻrgatadi. Bu qoida toʻgʻri, lekin u natija — muvozanat qoidasining qisqargan koʻrinishi. Avval nima uchun shunday boʻlishini tushuning: ikki tomonga bir xil amal qilinadi. Shunda hech qachon ishorada adashmaysiz.
3. Ikki qadamli tenglamalar
Nomaʼlum yonida ikkita amal boʻlsa, ularni teskari tartibda yoʻqotamiz: avval qoʻshish-ayirish, keyin koʻpaytirish-boʻlish. Yaʼni amallar tartibiga (PM-5) teskari yoʻnalishda yuramiz.
Tekshiramiz
3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓
2x − 7 = 9 → 2x = 16 → x = 8
Avval ikki tomonga 7 qoʻshdik, keyin ikkiga boʻldik.
Tekshirish: 2 × 8 − 7 = 16 − 7 = 9 ✓
x/3 + 2 = 6 → x/3 = 4 → x = 12
Avval 2 ni ayirdik, keyin ikki tomonni 3 ga koʻpaytirdik.
Tekshirish: 12 ÷ 3 + 2 = 4 + 2 = 6 ✓
Yechim — bitta son, tenglamani rost qiladigan
3x + 5 = 20 tenglamasining yechimi 5. Boshqa hech qanday son bu tenglamani toʻgʻri qilmaydi: 4 ni qoʻysangiz 17, 6 ni qoʻysangiz 23 chiqadi. Shuning uchun yechimni ildiz ham deyishadi — u tenglamaning yagona toʻgʻri qiymati.
4. Qavsli tenglama
Qavs boʻlsa, ikki yoʻl bor va ikkalasi ham toʻgʻri: qavsni ochish (PM-33) yoki ikki tomonni qavs oldidagi songa boʻlish.
1-yoʻl: ochamiz
2(x + 3) = 16
2x + 6 = 16
2x = 10
x = 5
2-yoʻl: boʻlamiz
2(x + 3) = 16
x + 3 = 8
x = 5
Oʻng tomon qavs oldidagi songa boʻlinsa — ikkinchi yoʻl qisqa
16 ÷ 2 = 8 butun chiqdi, shuning uchun boʻlish qulay. Agar 2(x + 3) = 17 boʻlsa, ochgan maʼqul — aks holda kasr bilan ishlashga toʻgʻri keladi.
Matnli masala
Sinf kassasi. PM-29 da shu ifodani yozgan edik: har bir oʻquvchi 5000 soʻmdan qoʻshadi, sinf rahbari esa 20 000 soʻm qoʻshadi, yaʼni yigʻiladigan pul — 5000n + 20 000. Bugun kassada 140 000 soʻm bor.
Savol: sinfda nechta oʻquvchi bor?
Reja: ifodani yigʻilgan pulga tenglashtiramiz — tenglama hosil boʻladi. Keyin n ni yolgʻizlaymiz.
Tekshiramiz
5000 × 24 + 20 000 = 120 000 + 20 000 = 140 000 ✓ Sinfda 24 oʻquvchi bor. Diqqat: javob butun son chiqdi — bu ham nazorat, chunki oʻquvchi soni kasr boʻlolmaydi.
Koʻp uchraydigan xatolar
x + 5 = 12 → x = 17
x = 12 − 5 = 7
Teskari amal oʻrniga oʻsha amal bajarilgan. Yolgʻizlash uchun qoʻshishni ayirish bilan yoʻqotamiz. Tekshirish darrov tutadi: 17 + 5 = 22 ≠ 12.
3x + 5 = 20 → 3x + 5 − 5 = 20
3x + 5 − 5 = 20 − 5
Amal faqat bir tomonga qilingan — tarozi ogʻib ketdi. Muvozanat qoidasi buzilsa, tenglik ham buziladi.
3x = 21 → x = 21 − 3 = 18
x = 21 ÷ 3 = 7
3x — bu 3 × x, demak teskari amal boʻlish. Qoʻshish boʻlmagan joyda ayirishning ishi yoʻq.
Mashq
1. x + 8 = 15 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 7. Ikki tomondan 8 ni ayirdik. Tekshirish: 7 + 8 = 15 ✓
2. 4x = 36 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 9. Ikki tomonni 4 ga boʻldik. Tekshirish: 4 × 9 = 36 ✓
3. 5x − 4 = 31 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 7. Avval 4 ni qoʻshdik: 5x = 35; keyin 5 ga boʻldik. Tekshirish: 5 × 7 − 4 = 31 ✓
4. 3(x − 2) = 18 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 8. Ikki tomonni 3 ga boʻlamiz: x − 2 = 6, demak x = 8. Yoki qavsni ochib: 3x − 6 = 18 → 3x = 24 → x = 8. Tekshirish: 3 × 6 = 18 ✓
5. Afsona 3 ta bir xil daftar oldi va 24 000 soʻm toʻladi. Bitta daftarning narxini tenglama bilan toping.
Javobni koʻrish
8000 soʻm. Bitta daftar narxi x boʻlsin: 3x = 24 000. Ikki tomonni 3 ga boʻlamiz: x = 8000. Tekshirish: 3 × 8000 = 24 000 ✓
Kalit soʻzlar
- Tenglamaikki ifoda tenglik bilan bogʻlangan yozuv; ingl. equation
- Nomaʼlumtopilishi kerak boʻlgan son; ingl. unknown
- Yechim (ildiz)tenglamani toʻgʻri qiladigan qiymat; ingl. solution
- Muvozanatikki tomonning tengligi; ingl. balance
- Yolgʻizlashnomaʼlumni bir tomonda yolgʻiz qoldirish; ingl. isolating
- Teskari amalqoʻshishga — ayirish, koʻpaytirishga — boʻlish; ingl. inverse operation
- Tenglamani yechishnomaʼlumni topish; ingl. solving
- Tekshirishjavobni tenglamaga qoʻyib sinash; ingl. verification
Esda qoladigan uch narsa
- Tenglama — tarozi: bir tomonga qilingan amal ikkinchisiga ham qilinadi.
- Teskari amal bilan yolgʻizlang: avval qoʻshish-ayirish, keyin koʻpaytirish-boʻlish.
- Javobni har doim tekshiring — bu bir necha sekund va toʻliq ishonch.