PM-37: Ikki tomonida ham nomaʼlumi bor tenglamalar
Nomaʼlum ikkala pallada boʻlsa nima qilamiz: harfli hadlarni bir tomonga, sonlarni ikkinchisiga yigʻish, qavsli tenglamalar va yechimi yoʻq tenglamalar.
PM-37: Ikki tomonida ham nomaʼlumi bor tenglamalar
Oʻtgan darsda tarozining bir pallasida nomaʼlum, ikkinchisida sonlar turgan edi. Hayotda esa koʻpincha boshqacha boʻladi: ikkita sport klubi, ikkita doʻkon, ikkita tarif — va savol doim bitta: ular qachon tenglashadi? Bunday savol nomaʼlumi ikkala tomonda boʻlgan tenglamaga olib keladi.
Bu darsda siz
- harfli hadlarni bir tomonga yigʻasiz;
- qaysi tomonga yigʻish qulayligini tanlaysiz;
- qavsli tenglamalarni yechasiz;
- yechimi yoʻq tenglamani tanib olasiz.
1. Nomaʼlumni ham koʻchirsa boʻladi
Muvozanat qoidasi (PM-36) hech oʻzgarmaydi: ikki tomonga bir xil amal. Yangi narsa shuki, endi biz sonni emas, harfli hadni ham ayirishimiz mumkin.
Ikki palla teng: 5x = 2x + 12
Ikkala palladan ham 2x ni olib tashlaymiz — tarozi baribir muvozanatda qoladi, chunki teng miqdor olindi.
Tekshiramiz
Chap tomon: 5 × 4 = 20. Oʻng tomon: 2 × 4 + 12 = 20 ✓ Ikki tomonli tenglamada tekshiruv ayniqsa muhim — ikkala tomonni ham alohida hisoblab, teng chiqqanini koʻrasiz.
2. Harflar bir tomonga, sonlar ikkinchisiga
Ikkala tomonda ham harf va son boʻlsa, ish ikki qadamda boradi. Tartib muhim emas, lekin bir tartibga oʻrganib qolgan maʼqul.
Katta koeffitsient qaysi tomonda boʻlsa, oʻsha tomonga yigʻing
4x va 2x dan kichigini — 2x ni — ayirdik. Shunda chap tomonda musbat 2x qoldi. Agar teskarisini qilsak, −2x = −8 chiqadi: javob baribir 4, lekin manfiy ishora bilan ishlashga toʻgʻri keladi. Har qadamni osonlashtirish ham koʻnikma.
Tenglikning ikki tomonini almashtirsa boʻladi
9 = 3x va 3x = 9 — bir xil tenglama. Nomaʼlum oʻng tomonda qolib ketsa qoʻrqmang, xohlasangiz tomonlarni almashtiring. Muhimi — tenglikning oʻzi, nomaʼlumning qaysi tomonda turishi emas.
3. Qavsli tenglamalar
Qavs boʻlsa, birinchi qadam doim bitta: qavsni ochish (PM-33). Undan keyin tenglama tanish koʻrinishga tushadi.
Tekshiramiz
Chap: 3(2 + 2) = 3 × 4 = 12. Oʻng: 2 + 10 = 12 ✓
4. Baʼzan yechim yoʻq — va bu ham javob
Mana bunga eʼtibor bering: 2x + 5 = 2x + 9. Ikki tomondan 2x ni ayiraylik. Qoladi: 5 = 9. Bu yolgʻon! Demak bunday x umuman mavjud emas.
Yechimi yoʻq
2x + 5 = 2x + 9 → 5 = 9
Yolgʻon tenglik chiqdi. Hech qanday son bu
tenglamani rost qilmaydi.
Har qanday son yechim
2x + 6 = 2(x + 3) → 6 = 6
Har doim rost. Bu tenglama emas, ayniyat —
istalgan x toʻgʻri keladi.
Harf yoʻqolib ketsa — toʻxtab, chiqqan tenglikka qarang
Yechish jarayonida x butunlay yoʻqolsa, xato qilgan boʻlishingiz shart emas. Qolgan tenglik rost boʻlsa (6 = 6) — har qanday son yechim; yolgʻon boʻlsa (5 = 9) — yechim yoʻq. Ikkala holat ham toʻliq javob hisoblanadi.
Matnli masala
Ikki sport klubi. «Olimp» klubi oyiga 100 000 soʻm abonent toʻlovi oladi va har bir mashgʻulot uchun yana 15 000 soʻm. «Chempion» klubida abonent toʻlovi 40 000 soʻm, lekin har mashgʻulot 20 000 soʻm turadi.
Savol: oyiga necha marta borganda ikkala klub bir xil pul chiqaradi?
Reja: mashgʻulotlar sonini n deb olamiz, ikkala klub uchun ifoda tuzamiz (PM-30) va ularni tenglashtiramiz.
Tekshiramiz
«Olimp»: 100 000 + 15 000 × 12 = 100 000 + 180 000 = 280 000. «Chempion»: 40 000 + 20 000 × 12 = 40 000 + 240 000 = 280 000 ✓ Ikkalasi ham 280 000 soʻm.
Javobni oʻqishni ham bilish kerak: 12 martadan kam borsangiz «Chempion» arzon, koʻp borsangiz «Olimp». Tenglama sizga faqat chegara nuqtasini beradi, qarorni esa siz qabul qilasiz.
Koʻp uchraydigan xatolar
5x = 2x + 12 → 5x + 2x = 12 → 7x = 12
5x − 2x = 12 → 3x = 12
Ikkinchi tomondagi 2x ni yoʻqotish uchun uni ayirish kerak, qoʻshish emas. Tekshirish: 7x = 12 dan x ≈ 1,7 chiqadi va u tenglamani toʻgʻri qilmaydi.
4x + 3 = 2x + 11 → 2x + 3 = 11 → 2x = 14
2x + 3 = 11 → 2x = 8
Uchni yoʻqotish uchun uni ayirish kerak edi, qoʻshish emas. Har qadamda «qaysi amal turibdi, uning teskarisi nima?» deb soʻrang.
3(x + 2) = x + 10 → 3x + 2 = x + 10
3x + 6 = x + 10
Qavs notoʻgʻri ochilgan: koʻpaytuvchi ikkinchi hadga ham tarqaladi (PM-33). Bitta eʼtiborsizlik butun yechimni buzadi.
Mashq
1. 6x = 4x + 10 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 5. Ikki tomondan 4x ni ayiramiz: 2x = 10. Tekshirish: 30 = 20 + 10 ✓
2. 5x + 2 = 3x + 12 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 5. 2x + 2 = 12 → 2x = 10. Tekshirish: 27 = 27 ✓
3. 7x − 4 = 4x + 8 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 4. 3x − 4 = 8 → 3x = 12. Tekshirish: 24 = 24 ✓
4. 2(x + 5) = 4x − 2 tenglamani yeching.
Javobni koʻrish
x = 6. Qavsni ochamiz: 2x + 10 = 4x − 2; ikki tomondan 2x ni ayiramiz: 10 = 2x − 2; 12 = 2x. Tekshirish: 2 × 11 = 22 va 24 − 2 = 22 ✓
5. Bir taksi xizmati 10 000 soʻm oʻtirish haqi va har kilometr uchun 4000 soʻm oladi. Ikkinchisi 25 000 soʻm oʻtirish haqi va har kilometr uchun 1000 soʻm. Necha kilometrda narx tenglashadi?
Javobni koʻrish
5 kilometrda. 10 000 + 4000k = 25 000 + 1000k → 3000k = 15 000 → k = 5. Tekshirish: 10 000 + 20 000 = 30 000 va 25 000 + 5000 = 30 000 ✓
Kalit soʻzlar
- Tenglamaikki ifodaning tengligi; ingl. equation
- Yechim (ildiz)tenglamani rost qiladigan son; ingl. solution
- Harfli hadnomaʼlumi bor had, masalan 5x; ingl. variable term
- Ozod hadharfsiz son; ingl. constant term
- Yigʻishoʻxshash hadlarni bir tomonga toʻplash; ingl. collecting
- Ayniyathar qanday qiymatda rost boʻladigan tenglik; ingl. identity
- Yechimi yoʻqhech qanday son toʻgʻri kelmaydigan holat; ingl. no solution
- Chegara nuqtaikki variant tenglashadigan qiymat; ingl. break-even point
Esda qoladigan uch narsa
- Harflarni bir tomonga, sonlarni ikkinchisiga — muvozanat qoidasi bilan.
- Avval qavsni oching, keyin yigʻing.
- Harf yoʻqolsa toʻxtang: rost tenglik — har qanday son yechim, yolgʻon tenglik — yechim yoʻq.