PM-43: Koʻphadlar: qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish
Bir had, ikki had, koʻphad — nomlari va darajasi. Koʻphadlarni qoʻshish va ayirish (minusga eʼtibor!) hamda ikki qavsni koʻpaytirishning toʻrt koʻpaytma qoidasi.
PM-43: Koʻphadlar: qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish
PM-32 da hadlarni ixchamlashni, PM-33 da qavs ochishni oʻrgandik. Endi ularni birlashtiramiz va butun boshli koʻphadlar bilan ishlaymiz — masalan 3x2 + 2x − 5. Bu Blok C ning eng «algebracha» darsi, lekin unda bironta ham yangi qoida yoʻq: hammasi tanish narsalarning birikmasi.
Bu darsda siz
- koʻphadning hadlarini va darajasini aniqlaysiz;
- koʻphadlarni qoʻshasiz va ayirasiz;
- bir hadni koʻphadga koʻpaytirasiz;
- ikki qavsni koʻpaytirasiz.
1. Nomlari va darajasi
Hadlar soniga qarab nom beriladi, eng katta koʻrsatkich esa koʻphadning darajasi deyiladi.
| Yozuv | Nomi | Darajasi |
|---|---|---|
| 5x | bir had | 1 |
| x2 + 3 | ikki had | 2 |
| 3x2 + 2x − 5 | uch had (koʻphad) | 2 |
| 7 | bir had (ozod) | 0 |
Koʻphad odatda darajalari kamayib borish tartibida yoziladi: 3x2 + 2x − 5, teskarisi emas. Bu shart emas, lekin shunday yozilgan koʻphadlarni qoʻshish ham, taqqoslash ham osonroq.
2. Qoʻshish — oʻxshash hadlarni yigʻish
Yangi narsa yoʻq: qavslarni ochamiz va oʻxshash hadlarni qoʻshamiz (PM-32). Qavs oldida plyus turgani uchun ishoralar oʻzgarmaydi.
Tekshiramiz
x = 2 qoʻyamiz. Boshlangʻich: (12 + 4 − 5) + (4 − 8 + 7) = 11 + 3 = 14. Javob: 16 − 4 + 2 = 14 ✓ Koʻphadlar bilan ishlaganda son qoʻyib tekshirish — eng tez va eng ishonchli usul.
3. Ayirish — bu yerda ehtiyot boʻling
Qavs oldida minus tursa, ichkaridagi hamma ishora almashadi (PM-33). Bu — butun darsdagi eng koʻp xato qilinadigan joy.
Uchinchi ishora ham almashadi
Koʻpchilik birinchi hadning ishorasini almashtiradi, keyin esa eski ishoralarni koʻchirib yozib yuboradi. Yozishdan oldin ikkinchi qavsning har bir hadini barmoq bilan koʻrsatib chiqing: −2x2, −x, +6. Uchtasi ham oʻzgarishi shart.
Tekshiramiz
x = 2: boshlangʻich (20 − 6 + 4) − (8 + 2 − 6) = 18 − 4 = 14; javob 12 − 8 + 10 = 14 ✓
Faqat oʻxshash hadlar qoʻshiladi
x2 va x — oʻxshash emas, ular hech qachon birlashmaydi. Shuning uchun 4x2 − 2x + 2 javobi uch hadligicha qoladi va bu toʻliq javob. «Yana soddalashtirishim kerakmi?» degan savolga javob: yoʻq, har xil darajali hadlar shundayligicha yoziladi.
4. Bir hadni koʻphadga koʻpaytirish
Bu PM-33 dagi taqsimot qonunining oʻzi — faqat endi hadlar darajali. Daraja qonuni (PM-42) ham shu yerda ishlaydi: x · x = x2.
3x(2x − 5) = 6x2 − 15x
3x ni ikkala hadga ham koʻpaytirdik.
3x · 2x = 6x2 (sonlar koʻpaytiriladi, koʻrsatkichlar qoʻshiladi); 3x · (−5) = −15x.
5. Ikki qavsni koʻpaytirish — toʻrtta koʻpaytma
Birinchi qavsning har bir hadi ikkinchi qavsning har bir hadiga koʻpaytiriladi. Ikki hadli qavslar boʻlsa, toʻrtta koʻpaytma chiqadi.
Rasm — bu yuza
Yuqoridagi chizmada toʻrtburchakning yuzasi ikki xil yoʻl bilan yozildi: butun holda (x + 2)(x + 3), boʻlaklab esa x2 + 5x + 6. Ular teng, chunki bitta yuza. Formulani unutsangiz, shu rasmni chizing.
(2x − 1)(x + 4) = 2x2 + 8x − x − 4 = 2x2 + 7x − 4
Manfiy had ham xuddi shunday koʻpaytiriladi.
x = 2 da tekshiruv: 3 × 6 = 18 va 8 + 14 − 4 = 18 ✓
Matnli masala
Bogʻ maydoni. Toʻgʻri toʻrtburchak shaklidagi bogʻning eni x metr, boʻyi esa enidan 5 metr uzun. Egasi bogʻni har tomondan 3 metrga kengaytirmoqchi emas — u faqat eni tomonga 3 metr qoʻshadi.
Savol: yangi bogʻning yuzasini koʻphad koʻrinishida yozing. x = 10 metr boʻlsa, yuza qancha?
Tekshiramiz
Toʻgʻridan-toʻgʻri: eni 13 m, boʻyi 15 m; 13 × 15 = 195 m2 ✓ Ikkala yoʻl bir xil javob berdi. Eski bogʻning yuzasi esa 10 × 15 = 150 m2 edi — kengaytirish 45 m2 qoʻshdi.
Koʻp uchraydigan xatolar
(5x2 − 3x) − (2x2 + x) = 5x2 − 3x − 2x2 + x
= 5x2 − 3x − 2x2 − x
Ikkinchi hadning ishorasi almashmagan. Qavs oldidagi minus ichkaridagi hamma hadga tegishli.
(x + 2)(x + 3) = x2 + 6
= x2 + 5x + 6
Faqat ikkita koʻpaytma olingan, oʻrtadagi ikkitasi tushib qolgan. Tekshirish: x = 1 da chapda 3 × 4 = 12, notoʻgʻri javobda esa 7.
3x · 2x = 6x
3x · 2x = 6x2
Sonlar koʻpaytiriladi, koʻrsatkichlar esa qoʻshiladi (PM-42): x · x = x2.
Mashq
1. (2x2 + 3x) + (x2 − x) ni ixchamlang.
Javobni koʻrish
3x2 + 2x. x2 lar: 2 + 1 = 3; x lar: 3 − 1 = 2.
2. (4x2 − 2x + 1) − (x2 − 5x + 3) ni ixchamlang.
Javobni koʻrish
3x2 + 3x − 2. Ishoralar: −x2, +5x, −3. Tekshirish x = 1 da: (4 − 2 + 1) − (1 − 5 + 3) = 3 − (−1) = 4 va 3 + 3 − 2 = 4 ✓
3. 2x(3x + 4) qavsini oching.
Javobni koʻrish
6x2 + 8x. 2x · 3x = 6x2 va 2x · 4 = 8x.
4. (x + 4)(x + 2) ni koʻpaytiring.
Javobni koʻrish
x2 + 6x + 8. Toʻrtta koʻpaytma: x2, 2x, 4x, 8; oʻrtadagilar yigʻiladi.
5. Xonaning eni x metr, boʻyi undan 2 metr uzun. Gilam uchun har tomondan 1 metrdan boʻsh joy qoldirilsa, gilamning yuzasi qanday yoziladi? x = 5 boʻlsa hisoblang.
Javobni koʻrish
(x − 2)(x) = x2 − 2x; x = 5 da 15 m2. Har tomondan 1 metr qoldirilsa, eni x − 2, boʻyi (x + 2) − 2 = x boʻladi. Tekshirish: 3 × 5 = 15 ✓
Kalit soʻzlar
- Koʻphadbir necha haddan tuzilgan ifoda; ingl. polynomial
- Bir hadyolgʻiz had, masalan 5x; ingl. monomial
- Ikki hadikkita hadli ifoda; ingl. binomial
- Daraja (koʻphadning)eng katta koʻrsatkich; ingl. degree
- Ozod hadharfsiz son; ingl. constant term
- Bosh koeffitsienteng katta darajali haddagi son; ingl. leading coefficient
- Taqsimot qonunia(b + c) = ab + ac; ingl. distributive law
- Standart koʻrinishdarajalar kamayib borish tartibi; ingl. standard form
Esda qoladigan uch narsa
- Qoʻshishda qavs shunchaki oʻchadi, ayirishda esa hamma ishora almashadi.
- Ikki qavs — toʻrtta koʻpaytma: har had har hadga.
- Javobni son qoʻyib tekshiring — x = 1 yoki x = 2 yetarli.