PM-44: Qisqa koʻpaytirish formulalari va koʻpaytuvchilarga ajratish
Uchta formula: yigʻindining kvadrati, ayirmaning kvadrati va kvadratlar ayirmasi. Ular bilan ogʻzaki hisoblash va koʻphadni koʻpaytuvchilarga ajratish.
PM-44: Qisqa koʻpaytirish formulalari va koʻpaytuvchilarga ajratish
102 ni kvadratga koʻtaring. Ustunda koʻpaytirsangiz bir daqiqa ketadi. Formulani bilsangiz — besh sekund: 10 000 + 400 + 4 = 10 404. Bu darsdagi uchta formula ana shunday ishlaydi: ular hech qanday yangi matematika emas, faqat oldindan bajarilgan koʻpaytirish.
Bu darsda siz
- uchta qisqa koʻpaytirish formulasini bilasiz;
- ularni ogʻzaki hisobda ishlatasiz;
- teskari yoʻnalishda — koʻpaytuvchilarga ajratasiz;
- (a + b)2 nima uchun a2 + b2 emasligini tushunasiz.
1. Formulalar qayerdan chiqadi
Hech narsani yodlash shart emas — uchalasi ham PM-43 dagi «toʻrtta koʻpaytma» qoidasidan chiqadi.
(a + b)2 hech qachon a2 + b2 emas
Bu — butun maktab algebrasidagi eng mashhur xato. Oʻrtadagi 2ab hadi yoʻqolib qoladi. Sonlar bilan tekshiring: (3 + 4)2 = 49, lekin 32 + 42 = 25. Farq 24 — bu aynan 2 × 3 × 4.
Uchinchi formula esa eng chiroylisi, chunki unda oʻrta had qisqarib ketadi:
(a − b)(a + b) = a2 + ab − ba − b2 = a2 − b2
Kvadratlar ayirmasi — faqat ikkita had qoladi.
+ab va −ba bir-birini yoʻq qiladi.
2. Formulalarni qoʻllash
| Ifoda | Formula | Natija |
|---|---|---|
| (x + 3)2 | yigʻindining kvadrati | x2 + 6x + 9 |
| (x − 4)2 | ayirmaning kvadrati | x2 − 8x + 16 |
| (x − 5)(x + 5) | kvadratlar ayirmasi | x2 − 25 |
| (2x + 1)2 | yigʻindining kvadrati | 4x2 + 4x + 1 |
Oʻrta had — ikkitasining koʻpaytmasi, ikki barobar
(x + 3)2 da oʻrta had 2 × x × 3 = 6x. (2x + 1)2 da esa 2 × 2x × 1 = 4x. Chetdagi ikki hadni koʻpaytiring va ikkilang — oʻrta had shu.
3. Ogʻzaki hisob — formulaning eng shirin qoʻllanishi
Bu formulalar harflar uchun emas, sonlar uchun ham ishlaydi. Va aynan shu yerda ular ajoyib hiylaga aylanadi.
982 = (100 − 2)2 = 10 000 − 400 + 4 = 9604
Ayirmaning kvadrati — oʻrta had manfiy.
51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499
Ikki son bir yumaloq sondan teng uzoqlikda boʻlsa, kvadratlar ayirmasi ishlaydi.
Bu — usta va sotuvchilarning eng mashhur hisob hiylasi.
4. Teskari yoʻnalish — koʻpaytuvchilarga ajratish
Formulalarni oʻngdan chapga oʻqisangiz, koʻphadni koʻpaytmaga aylantirasiz. Bu PM-34 dagi qavsdan chiqarishning davomi.
Kvadratlar ayirmasi
x2 − 9 = x2 − 32 =
(x − 3)(x + 3)
Ikki had, ikkalasi ham kvadrat, orasida minus.
Toʻliq kvadrat
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Chetdagilar kvadrat,
oʻrta had esa ularning ikkilangan koʻpaytmasi.
Avval kvadratlar ayirmasini qidiring
Ikki hadli ifodada minus tursa va ikkala had ham kvadrat boʻlsa — bu deyarli har doim kvadratlar ayirmasi: x2 − 25, 4x2 − 1, a2 − 100. Plyus turgan boʻlsa (x2 + 9) esa bu formula ishlamaydi — bunday ifoda oddiy yoʻl bilan ajratilmaydi.
Matnli masala
Kvadrat maydonni kengaytirish. Tomoni a metr boʻlgan kvadrat maydon bor. Uni bir tomondan 3 metrga uzaytirib, ikkinchi tomondan 3 metrga qisqartirishdi.
Savol: yangi maydonning yuzasi eskisidan katta boʻldimi yoki kichik? a = 20 boʻlsa, farq qancha?
Reja: yangi yuza (a + 3)(a − 3) koʻrinishida — bu kvadratlar ayirmasi formulasining aynan oʻzi.
Tekshiramiz
a = 20: eski yuza 400 m2; yangisi 23 × 17 = 391 m2; farq 9 ✓ Endi a = 50 ni sinang: 2500 va 53 × 47 = 2491 — yana 9. Tomon qancha boʻlishidan qatʼi nazar, yoʻqotish har doim 9 m² — chunki formulada a butunlay yoʻqoladi.
Koʻp uchraydigan xatolar
(x + 5)2 = x2 + 25
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
Oʻrta had 2 × x × 5 = 10x tushib qolgan. Tekshirish: x = 1 da chapda 36, notoʻgʻri javobda esa 26.
(x − 4)2 = x2 − 8x − 16
= x2 − 8x + 16
Oxirgi had musbat: (−4) × (−4) = +16. Minus faqat oʻrta hadda qoladi.
x2 + 9 = (x + 3)(x + 3)
x2 + 9 ajratilmaydi; (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
Kvadratlar ayirmasi ajraladi, yigʻindisi emas. Tekshirish: x = 1 da chapda 10, oʻngda esa 16.
Mashq
1. (x + 2)2 ni yozing.
Javobni koʻrish
x2 + 4x + 4. Oʻrta had 2 × x × 2 = 4x.
2. (x − 6)2 ni yozing.
Javobni koʻrish
x2 − 12x + 36. Oxirgi had musbat, oʻrtadagisi manfiy.
3. (x − 7)(x + 7) ni yozing.
Javobni koʻrish
x2 − 49. Kvadratlar ayirmasi — oʻrta had qisqaradi.
4. x2 − 16 ni koʻpaytuvchilarga ajrating.
Javobni koʻrish
(x − 4)(x + 4). 16 = 42, orada minus — demak kvadratlar ayirmasi.
5. 103 × 97 ni formuladan foydalanib ogʻzaki hisoblang.
Javobni koʻrish
9991. (100 + 3)(100 − 3) = 10 000 − 9 = 9991. Ikki son yuzdan teng uzoqlikda turibdi — kvadratlar ayirmasi aynan shu holat uchun.
Kalit soʻzlar
- Qisqa koʻpaytirish formulasioldindan bajarilgan koʻpaytirish; ingl. algebraic identity
- Yigʻindining kvadrati(a + b)2; ingl. square of a sum
- Ayirmaning kvadrati(a − b)2; ingl. square of a difference
- Kvadratlar ayirmasia2 − b2; ingl. difference of squares
- Oʻrta had2ab — chetdagilarning ikkilangan koʻpaytmasi; ingl. middle term
- Koʻpaytuvchilarga ajratishyigʻindini koʻpaytma qilib yozish; ingl. factorising
- Toʻliq kvadrat(x + 3)2 koʻrinishiga keladigan uchhad; ingl. perfect square
- Ayniyathar qanday qiymatda rost boʻladigan tenglik; ingl. identity
Esda qoladigan uch narsa
- (a ± b)2 da oʻrta had 2ab — uni hech qachon unutmang.
- Kvadratlar AYIRMASI ajraladi, yigʻindisi ajralmaydi.
- Formulalar sonlar uchun ham ishlaydi: 1022 = 10 404, 51 × 49 = 2499 — hammasi ogʻzaki.