Mathematics

PM-46: Nuqtalar orasidagi masofa va kesmaning oʻrtasi

Gorizontal va vertikal kesmaning uzunligini modul bilan topish hamda kesmaning oʻrtasini koordinatalarning yarim yigʻindisi orqali hisoblash.

powerty

Aug. 12, 2026

3 7 min 0

PM-46: Nuqtalar orasidagi masofa va kesmaning oʻrtasi

«Oʻrtada uchrashamiz» — telefonda aytish oson. Xaritaga qarasangiz esa darrov savol tugʻiladi: qayeri aynan oʻrtasi? Va umuman, ikki uy orasi qancha? PM-45 da har bir nuqtaga manzil berdik. Endi shu manzillardan masofani ham, oʻrta nuqtani ham hisoblab chiqaramiz.

Bu darsda siz

son oʻqidagi ikki nuqta orasidagi masofani topasiz;
gorizontal va vertikal kesmaning uzunligini hisoblaysiz;
kesmaning oʻrtasini koordinatalari bilan aytasiz;
oʻrta maʼlum boʻlganda ikkinchi uchni topasiz.

Masofa va oʻrta |x₂ − x₁| va (x₁ + x₂) ÷ 2

1. Bitta oʻqda: masofa — bu modul

Son oʻqida −3 va 5 turibdi. Ular orasi qancha? Sanab chiqish mumkin: −3 dan 0 gacha 3 qadam, 0 dan 5 gacha 5 qadam — jami 8.

−6 0 6 −3 5

Sanamasdan ham boʻladi: ayirmani oling va modulini oling (PM-41).

|5 − (−3)| Ikki sonning ayirmasi, moduli bilan

= |5 + 3| = |8| Manfiyni ayirish — qoʻshish (PM-10)

= 8 Masofa — 8 birlik

Nega aynan modul?

Chunki masofa hech qachon manfiy boʻlmaydi. Agar teskari tartibda olsak, |−3 − 5| = |−8| = 8 — javob oʻzgarmaydi. Modul qaysi sondan qaysi sonni ayirganingizni ahamiyatsiz qiladi, va bu juda qulay: hech narsani taqqoslab oʻtirmaysiz.

2. Gorizontal kesma

Tekislikda ikki nuqtaning ordinatalari teng boʻlsa, ular bir xil balandlikda turadi va kesma gorizontal boʻladi. Bunda faqat x lar farq qiladi.

AB = |5 − (−3)| = 8 birlik. Oʻrtasi M — har ikki uchdan 4 birlik narida.

A(−3; 2), B(5; 2) → AB = |5 − (−3)| = 8

Ikki nuqta bir xil balandlikda, ular orasi 8 birlik.

Ordinatalar bir xil boʻlgani uchun y lar hisobga qatnashmaydi.

3. Vertikal kesma

Endi abssissalari teng boʻlsin — nuqtalar bir vertikal chiziqda turadi va endi faqat y lar farq qiladi.

C(2; −1), D(2; 6) → CD = |6 − (−1)| = 7

Ikkalasi ham 2 katak oʻngda, biri pastda, biri yuqorida.

−1 dan 0 gacha 1, 0 dan 6 gacha 6 — jami 7 birlik.

Qaysi koordinatani olish kerak?

Eng koʻp uchraydigan chalkashlik shu. Qoida sodda: oʻzgargan koordinatani oling. Gorizontal kesmada y lar bir xil, demak x lar bilan ishlaysiz. Vertikal kesmada aksincha. Bir xil boʻlgan koordinata hech qachon masofani bermaydi — u faqat kesma qaysi chiziqda turganini aytadi.

4. Kesmaning oʻrtasi

Oʻrta nuqta ikki uchdan teng uzoqlikda turadi. Uni topish uchun hech narsani sanash kerak emas: har bir koordinatani alohida olib, yarim yigʻindisini hisoblang.

Oʻrta nuqta M = (x₁ + x₂) ÷ 2 ; (y₁ + y₂) ÷ 2

Nega yigʻindining yarmi? Chunki ikki sonning roppa-rosa oʻrtasidagi son — ularning yigʻindisining yarmi. 2 va 8 ning oʻrtasi 5 ekanini bilasiz; (2 + 8) ÷ 2 = 5 aynan shuni beradi.

Oʻrta nuqtaning abssissasi ham 1 va 7 ning oʻrtasida: (1 + 7) ÷ 2 = 4.

A(1; 2), B(7; 6) Kesmaning uchlari

x: (1 + 7) ÷ 2 = 4 Abssissalarning yarim yigʻindisi

y: (2 + 6) ÷ 2 = 4 Ordinatalarning yarim yigʻindisi

M(4; 4) Kesmaning oʻrtasi

Tekshiramiz

A dan M gacha gorizontal boʻyicha 4 − 1 = 3, M dan B gacha 7 − 4 = 3 ✓ Vertikal boʻyicha 4 − 2 = 2 va 6 − 4 = 2 ✓ Ikki tomonga ham bir xil qadam tashlandi — demak M haqiqatan oʻrtada.

Qiya kesmaning uzunligi-chi?

Yuqoridagi chizmada AB kesmasi qiya. Uning oʻrtasini topdik, lekin uzunligini hali topa olmaymiz — buning uchun Pifagor teoremasi kerak, u esa PM-64 darsida boʻladi. Hozircha qiya masofani ikki qismga boʻlib baholang: gorizontal 6, vertikal 4 — demak toʻgʻri masofa 6 dan katta, lekin 6 + 4 = 10 dan kichik.

5. Teskari savol: oʻrta maʼlum, uchi nomaʼlum

Baʼzan oʻrta nuqta beriladi va ikkinchi uchni topish kerak boʻladi. Bunda oʻylash oson: uchdan oʻrtagacha qancha yurilgan boʻlsa, oʻrtadan ikkinchi uchgacha ham xuddi shuncha yuriladi.

A(−6; 2), M(−1; 2) → B(4; 2)

A dan M gacha 5 katak oʻngga yurildi, demak M dan B gacha yana 5 katak oʻngga.

Tekshirish: (−6 + 4) ÷ 2 = −1 ✓ va (2 + 2) ÷ 2 = 2 ✓

Matnli masala

Uchrashuv joyi. Shahar koʻchalari katak boʻlib joylashgan. Xaritada Afsonaning uyi (−3; 4), Dilnozaning uyi esa (5; 4) nuqtada. Bitta katakning tomoni — 150 metr. Ikkalasi teng masofa yurib uchrashmoqchi.

Savol: uchrashuv joyi qaysi nuqtada va har biri necha metr yuradi? Shu joyga (1; −2) da yashaydigan Jasur ham kelmoqchi — u necha metr yuradi?

Ordinatalar teng: 4 va 4 Ikkala uy bir koʻchada — yoʻl gorizontal

|5 − (−3)| = 8 katak Uylar orasidagi masofa

M: (−3 + 5) ÷ 2 = 1; (4 + 4) ÷ 2 = 4 → M(1; 4) Uchrashuv joyi — kesmaning oʻrtasi

8 ÷ 2 = 4 katak → 4 × 150 = 600 m Har biri yarim yoʻlni bosadi

Jasur: |4 − (−2)| = 6 katak → 900 m Uning abssissasi ham 1 — yoʻli vertikal

Tekshiramiz

Afsona (−3; 4) dan (1; 4) gacha: 4 katak ✓ Dilnoza (5; 4) dan (1; 4) gacha: 4 katak ✓ Ikkalasi 600 metrdan, jami 1200 metr — bu uylar orasidagi 8 × 150 = 1200 metrga teng ✓ Jasur esa (1; −2) dan (1; 4) gacha 6 katak, yaʼni 900 metr.

Taxmin Bir katak 150 metr, uylar orasi 8 katak — taxminan 8 × 150 ≈ 1200 metr, yaʼni bir kilometrdan sal koʻproq. Piyoda 15 daqiqalik yoʻl: mantiqiy.

Koʻp uchraydigan xatolar

A(−3; 2), B(5; 2): AB = 5 − 3 = 2

AB = |5 − (−3)| = |5 + 3| = 8

Manfiy sonning minusi tushirib qoldirilgan. Manfiy sonni ayirish — uni qoʻshish demakdir (PM-10).

A(1; 2), B(7; 6) ning oʻrtasi: ((7 − 1) ÷ 2; (6 − 2) ÷ 2) = (3; 2)

M = ((1 + 7) ÷ 2; (2 + 6) ÷ 2) = (4; 4)

Ayirmaning yarmi — bu kesmaning yarim uzunligi, oʻrta nuqtaning manzili emas. Oʻrta uchun yigʻindi olinadi.

A(1; 5), B(7; 5): AB = |5 − 5| = 0

AB = |7 − 1| = 6

Bir xil boʻlgan koordinata olingan. Gorizontal kesmada masofani abssissalar beradi, ordinatalar esa faqat balandlikni.

Mashq

1. A(−5; 3) va B(4; 3) orasidagi masofani toping.

Javobni koʻrish

9 birlik. Ordinatalar teng, demak |4 − (−5)| = |4 + 5| = 9.

2. C(−2; −7) va D(−2; −1) orasidagi masofani toping.

Javobni koʻrish

6 birlik. Abssissalar teng — kesma vertikal: |−1 − (−7)| = |−1 + 7| = 6.

3. A(2; 3) va B(8; 11) kesmasining oʻrtasini toping.

Javobni koʻrish

M(5; 7). x: (2 + 8) ÷ 2 = 5; y: (3 + 11) ÷ 2 = 7. Tekshirish: 5 − 2 = 3 va 8 − 5 = 3 ✓

4. AB kesmasining oʻrtasi M(−1; 2), bitta uchi esa A(−6; 2). Ikkinchi uchi qayerda?

Javobni koʻrish

B(4; 2). A dan M gacha 5 katak oʻngga yurildi, oʻrtadan ham xuddi shuncha: −1 + 5 = 4. Tekshirish: (−6 + 4) ÷ 2 = −1 ✓

5. Bekzodning uyi xaritada (−4; −2), maktab esa (−4; 6) nuqtada. Har katak 50 metr. Yoʻlning roppa-rosa yarmida buloq bor. Buloqning koordinatasi qanday va Bekzod unga qadar necha metr yuradi?

Javobni koʻrish

Buloq (−4; 2) da, unga qadar 200 metr. Yoʻl vertikal: |6 − (−2)| = 8 katak. Oʻrtasi: x oʻzgarmaydi (−4), y: (−2 + 6) ÷ 2 = 2. Uygacha 4 katak, yaʼni 4 × 50 = 200 metr.

Kalit soʻzlar

Masofaikki nuqta orasidagi uzunlik, hech qachon manfiy emas; ingl. distance
Kesmaikki uchi bor toʻgʻri chiziq boʻlagi; ingl. segment
Kesmaning uchlariuni chegaralovchi ikki nuqta; ingl. endpoints
Kesmaning oʻrtasiuchlardan teng uzoqlikdagi nuqta; ingl. midpoint
Modulsonning noldan uzoqligi, |a|; ingl. absolute value
Gorizontalufqqa parallel, chapdan oʻngga; ingl. horizontal
Vertikaltik, pastdan yuqoriga; ingl. vertical
Koordinatalar ayirmasix₂ − x₁; ingl. difference of coordinates
Yarim yigʻindiikki sonning yigʻindisining yarmi; ingl. half-sum

Esda qoladigan uch narsa

Masofa — ayirmaning moduli: |x₂ − x₁|. Qaysi sondan qaysinisini ayirish farq qilmaydi.
Oʻrta — yigʻindining yarmi, ayirmaning emas; har bir koordinata alohida hisoblanadi.
Oʻzgargan koordinatani oling: gorizontal kesmada x lar, vertikal kesmada y lar ishlaydi.