PM-47: Funksiya gʻoyasi: kirish → qoida → chiqish
Funksiya — ishonchli mashina: har bir kirishga faqat bitta chiqish. Uni soʻz, jadval va formula bilan yozish, f(x) belgisi va teskari savol.
PM-47: Funksiya gʻoyasi: kirish → qoida → chiqish
Suv avtomatiga 2000 soʻm tashlaysiz — bir litr suv tushadi. Yana 2000 soʻm tashlaysiz — yana bir litr. Har safar. Agar bir kuni 2000 soʻmga yarim litr tushsa, siz avtomatni buzilgan deysiz.
Mana shu «buzilmagan» degan talab matematikada eng koʻp ishlatiladigan gʻoyalardan biriga aylangan. U funksiya deyiladi.
Bu darsda siz
- funksiyani kirish–qoida–chiqish sifatida tushunasiz;
- uni jadval va formula bilan yozasiz;
- f(x) belgisini oʻqiysiz va qiymatini hisoblaysiz;
- chiqish maʼlum boʻlganda kirishni topasiz.
1. Mashina obrazi
Funksiyani mashina deb tasavvur qiling. Unga bitta son kiritasiz, u oʻzining qoidasini bajaradi va bitta son qaytaradi.
Funksiyaning yagona sharti
Har bir kirishga faqat va faqat bitta chiqish toʻgʻri kelishi kerak. Bir xil sonni ikki marta kiritganda ikki xil javob chiqsa, bu funksiya emas — buzilgan avtomat. Butun matematika shu ishonchlilikka tayanadi.
2. Funksiyani uch xil yozish mumkin
Bitta qoidani uch xil koʻrinishda yozib boʻladi. Uchalasi bir narsa haqida gapiradi.
Soʻz bilan
«Sonni ikkiga koʻpaytir, ustiga uch qoʻsh.»
Formula bilan
y = 2x + 3
Uchinchisi — jadval. Bir nechta kirishni tanlaymiz va har biriga javobni hisoblaymiz.
| x (kirish) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (chiqish) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
x = 3 → y = 2 × 3 + 3 = 6 + 3 = 9
Uchni ikkiga koʻpaytirdik, keyin uch qoʻshdik.
Avval koʻpaytirish, keyin qoʻshish — amallar tartibi (PM-5).
Qavs yoʻq joyga qavs qoʻymang
y = 2x + 3 da x = 4 boʻlsa, javob 2 × 4 + 3 = 11. Koʻpchilik 2 × (4 + 3) = 14 deb yozadi — bu boshqa mashina, boshqa qoida. Formulada qavs yoʻq ekan, demak avval koʻpaytiriladi.
3. f(x) belgisi
Mashinaga nom berish qulay. Odatda uni f deb atashadi va shunday yozishadi:
Bu yerda x — argument (kirish), f(x) esa funksiyaning qiymati (chiqish). Demak y = f(x) — bir xil narsaning ikki xil yozuvi.
f(x) = x2 + 1 boʻlsa, f(−3) = (−3)2 + 1 = 9 + 1 = 10
Manfiy uchni kvadratga koʻtardik va bir qoʻshdik.
(−3)2 = 9, chunki ikkita manfiyning koʻpaytmasi musbat (PM-11).
f(4) — koʻpaytma emas
f(4) yozuvi «f ni 4 ga koʻpaytir» degani emas. Bu — mashinaning nomi va unga kiritilgan son. Xuddi telefon raqamiga oʻxshaydi: qavs ichidagi son kimga qoʻngʻiroq qilinayotganini emas, nima kiritilganini koʻrsatadi.
4. Teskari savol: chiqish maʼlum, kirish nomaʼlum
Koʻpincha aksincha soʻraladi: «chiqish 23 boʻlishi uchun nima kiritish kerak?» Bunda formulani qayta qoʻllash emas, tenglama yechish kerak (PM-36).
Tekshiramiz
x = 10 ni mashinaga kiritamiz: 2 × 10 + 3 = 23 ✓ Javob toʻgʻri. Funksiya masalasida tekshirish har doim shunday — topilgan kirishni qoidaga qoʻyib koʻring.
Matnli masala
Bosmaxona hisobi. Bosmaxona har bir buyurtma uchun 15 000 soʻm tayyorgarlik haqi oladi, ustiga har bir nusxa uchun 500 soʻm qoʻshadi.
Savol: narxni funksiya koʻrinishida yozing. 40 nusxa necha soʻm turadi? Sinf 60 000 soʻm ajratgan boʻlsa, nechta nusxa buyurtma qilish mumkin?
Tekshiramiz
90 nusxa: 15 000 + 500 × 90 = 15 000 + 45 000 = 60 000 ✓ Roppa-rosa budjetga toʻgʻri keldi. 100 nusxa boʻlsa 65 000 soʻm boʻlardi — bu esa pul yetmasligini bildiradi.
Koʻp uchraydigan xatolar
y = 2x + 3, x = 4 → y = 2 × (4 + 3) = 14
y = 2 × 4 + 3 = 11
Formulada qavs yoʻq. Amallar tartibi boʻyicha avval koʻpaytirish bajariladi (PM-5).
f(4) = f × 4
f(4) — funksiyaning x = 4 dagi qiymati
f — mashinaning nomi, koʻpaytuvchi emas. Qavs bu yerda koʻpaytirishni emas, kiritishni bildiradi.
y = 2x + 3 da y = 25 boʻlsa, x = 2 × 25 + 3 = 53
2x + 3 = 25 → 2x = 22 → x = 11
Teskari savolda qoida qayta qoʻllanmaydi — tenglama yechiladi (PM-36). Tekshirish: 2 × 11 + 3 = 25 ✓
Mashq
1. y = 3x − 1 boʻlsa, x = 5 da y nechaga teng?
Javobni koʻrish
14. 3 × 5 = 15, keyin 15 − 1 = 14.
2. f(x) = x2 + 1 boʻlsa, f(−3) nechaga teng?
Javobni koʻrish
10. (−3)2 = 9 (ikkita manfiyning koʻpaytmasi musbat), keyin 9 + 1 = 10.
3. y = 10 − 2x jadvalini x = 0, 1, 2, 3, 4 uchun toʻldiring.
Javobni koʻrish
10, 8, 6, 4, 2. Har safar x bir birlikka oʻssa, y ikki birlikka kamayadi — chunki oldida −2 turibdi.
4. y = 4x + 2 boʻlsa, y = 30 boʻlishi uchun x qanday boʻlishi kerak?
Javobni koʻrish
x = 7. 4x + 2 = 30 → 4x = 28 → x = 7. Tekshirish: 4 × 7 + 2 = 30 ✓
5. Sport zali oyiga 80 000 soʻm obuna haqi oladi, ustiga har bir mashgʻulot uchun 5 000 soʻm. Bir oyda 12 marta borgan Dilnoza qancha toʻlaydi? Bekzod 175 000 soʻm toʻlagan boʻlsa, u necha marta borgan?
Javobni koʻrish
Dilnoza 140 000 soʻm; Bekzod 19 marta borgan. Qoida: T(x) = 80 000 + 5 000x. T(12) = 80 000 + 60 000 = 140 000. Teskari savol: 80 000 + 5 000x = 175 000 → 5 000x = 95 000 → x = 19. Tekshirish: 80 000 + 95 000 = 175 000 ✓
Kalit soʻzlar
- Funksiyahar bir kirishga bitta chiqish beruvchi qoida; ingl. function
- Argumentkirish soni, x; ingl. argument, input
- Funksiyaning qiymatichiqish soni, f(x); ingl. value, output
- Oʻzgaruvchiqiymati oʻzgarib turadigan harf; ingl. variable
- Erkli oʻzgaruvchibiz tanlaydigan x; ingl. independent variable
- Erksiz oʻzgaruvchix ga bogʻliq boʻlgan y; ingl. dependent variable
- Qoidakirishdan chiqishga oʻtish usuli; ingl. rule
- Qiymatlar jadvalix va y juftliklari roʻyxati; ingl. table of values
- Oʻzgarmas hadkirishga bogʻliq boʻlmagan qism; ingl. constant term
Esda qoladigan uch narsa
- Funksiya — ishonchli mashina: bitta kirishga bitta chiqish, har safar bir xil.
- f(4) — bu koʻpaytma emas, bu 4 kiritilgandagi javob.
- Toʻgʻri savolga toʻgʻri amal: kirish maʼlum boʻlsa qoʻyib hisoblaysiz, chiqish maʼlum boʻlsa tenglama yechasiz.