PM-48: Jadvaldan grafikka
Funksiyaning qiymatlar jadvalini nuqtalarga, nuqtalarni esa grafikka aylantirish; grafikdan qiymat oʻqish va qaysi maʼlumotni chiziq bilan bogʻlash mumkinligini bilish.
PM-48: Jadvaldan grafikka
Shifokorning qoʻlidagi harorat qogʻoziga qarang: u yerda sonlar emas, egri chiziq turadi. Sabab oddiy — koʻz sonlarni emas, shaklni tez oʻqiydi. Yigirmata sonni oʻqib chiqquncha ancha vaqt ketadi, koʻtarilib borayotgan chiziqni esa bir soniyada koʻrasiz.
PM-47 da funksiyani jadval bilan yozgan edik. Endi shu jadvalni rasmga aylantiramiz.
Bu darsda siz
- funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzasiz;
- jadvaldagi juftliklarni koordinata tekisligiga nuqta qilib qoʻyasiz;
- grafikdan istalgan qiymatni oʻqiysiz;
- qaysi maʼlumotni chiziq bilan bogʻlash mumkinligini ajratasiz.
1. Grafik nima?
Funksiyaning grafigi — uning barcha (x; y) juftliklari koordinata tekisligiga qoʻyilganda hosil boʻladigan shakl. Har bir nuqta bitta hisobning natijasi: chapga-oʻngga borish — kirish, yuqoriga-pastga borish — chiqish.
2. Birinchi qadam — jadval
y = x + 2 funksiyasini olamiz. Bir necha x tanlaymiz va har biriga y ni hisoblaymiz. Manfiy sonlarni ham olish shart, aks holda chiziqning yarmini koʻrmaysiz.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x = −2 → y = −2 + 2 = 0
Minus ikki kiritildi, nol chiqdi.
Manfiy songa ikki qoʻshilganda natija nolga yaqinlashadi (PM-10).
3. Ikkinchi qadam — nuqtalar
Jadvalning har bir ustuni bitta nuqta beradi: (−2; 0), (−1; 1), (0; 2), (1; 3), (2; 4), (3; 5). Ularni PM-45 dagidek qoʻyamiz.
4. Uchinchi qadam — chiziq
Nuqtalar bir chiziqda yotgani koʻrinib turibdi. Chizgʻich bilan ularni tutashtiramiz va ikki tomonga davom ettiramiz.
Nega davom ettiriladi? Chunki jadvalga faqat oltita x tushdi, funksiya esa hamma sonni qabul qiladi. Masalan x = 1,5 boʻlsa, y = 3,5 — bu nuqta ham oʻsha chiziqda yotadi.
Chiziq — cheksiz koʻp nuqta
Grafikdagi chiziq — bu chizilgan oltita nuqta emas, ular orasidagi va ulardan naridagi barcha nuqtalar. Shuning uchun grafik jadvaldan kuchliroq: jadvalda oltita javob bor, grafikda esa cheksiz koʻp.
5. Grafikdan qiymat oʻqish
Grafik chizilgach, hisoblash shart emas — oʻqib olsa boʻladi.
Tekshiramiz
Formula bilan: y = 2 + 2 = 4 ✓ Grafik va formula bir xil javob berdi. Har doim shunday boʻlishi kerak — grafik formulaning rasmi, xolos.
Teskarisi ham ishlaydi: y = 1 boʻlgan x ni topish uchun y oʻqida 1 dan oʻngga yurib, chiziqqa yetamiz va pastga tushamiz — x = −1.
Shkalaga qarang
Eng koʻp uchraydigan xato — har bir katakni 1 birlik deb oʻylash. Real grafiklarda bitta katak 5, 10 yoki 1000 birlik boʻlishi mumkin. Grafikni oʻqishdan oldin doim oʻqlardagi sonlarga qarang va bir katak necha birlik ekanini aniqlab oling.
6. Har doim ham chiziq chizilmaydi
Bitta muhim shart bor. Nuqtalarni faqat oraliq qiymatlar maʼnoga ega boʻlganda tutashtiramiz.
Chiziq mumkin
Harorat, masofa, vaqt, suv miqdori. Yarim daqiqa ham, 2,7 litr ham bor.
Faqat nuqtalar
Daftarlar soni, oʻquvchilar soni, chiptalar soni. Yarim daftar boʻlmaydi.
Matnli masala
Suv baki. Bakda boshida 5 litr suv bor edi. Jomrat ochildi va bak har daqiqada 3 litrdan toʻla boshladi.
Savol: jadval tuzing, grafikning shakli qanday boʻladi va bakda 26 litr suv boʻlishi uchun necha daqiqa kerak?
Tekshiramiz
3 × 7 + 5 = 21 + 5 = 26 ✓ Jadvaldagi qadam ham buni tasdiqlaydi: har daqiqada y aynan 3 birlikka oʻsyapti (5, 8, 11, 14…) — demak nuqtalar bir toʻgʻri chiziqda yotadi. Suv uzluksiz oqadi, shuning uchun bu yerda nuqtalarni chiziq bilan tutashtirsa boʻladi.
Koʻp uchraydigan xatolar
Jadvalda x = 2, y = 5 → nuqta (5; 2) ga qoʻyildi
Nuqta (2; 5) ga qoʻyiladi
Grafikda gorizontal yoʻnalish — doim kirish (x), vertikal — chiqish (y). Jadvalning yuqori qatori x oʻqiga tushadi.
Sotilgan chiptalar soni nuqtalari chiziq bilan tutashtirildi
Nuqtalar shundayligicha qoldiriladi
Chiziq «orada ham qiymat bor» deganini bildiradi. 2,5 ta chipta esa yoʻq — demak chiziq yolgʻon gapirgan boʻlardi.
Har katak 5 birlik boʻlgan grafikda 3 katak = 3 birlik
3 katak = 15 birlik
Shkala oʻqilmagan. Grafikni oʻqishdan oldin oʻqdagi sonlarga qarab, bitta katakning qiymatini aniqlang.
Mashq
1. y = x − 3 funksiyasi uchun x = 0, 1, 2, 3 da jadval tuzing.
Javobni koʻrish
−3, −2, −1, 0. Har safar x dan 3 ayriladi. Nuqtalar: (0; −3), (1; −2), (2; −1), (3; 0).
2. (2; 7) nuqtasi y = 3x + 1 grafigida yotadimi?
Javobni koʻrish
Ha. 3 × 2 + 1 = 7 ✓ Nuqta grafikda yotishini tekshirish — uning koordinatalarini formulaga qoʻyib koʻrish demakdir.
3. y = 5 − x grafigi Oy oʻqini qaysi nuqtada kesadi?
Javobni koʻrish
(0; 5). Oy oʻqida abssissa nol (PM-45), demak x = 0 qoʻyamiz: y = 5 − 0 = 5.
4. Quyidagi maʼlumotlardan qaysi birining nuqtalarini chiziq bilan bogʻlash mumkin emas: (a) kun davomidagi harorat, (b) sotilgan chiptalar soni, (c) bosib oʻtilgan masofa?
Javobni koʻrish
(b) sotilgan chiptalar soni. Chipta butun sonda sanaladi — 2,5 ta chipta yoʻq. Harorat ham, masofa ham uzluksiz oʻzgaradi, ular chiziq bilan bogʻlanadi.
5. Shamning uzunligi boshida 20 sm edi va u har soatda 4 sm dan qisqaradi. Jadval tuzing va shamning butunlay yonib bitishiga necha soat kerakligini toping.
Javobni koʻrish
5 soat. Qoida: y = 20 − 4x. Jadval: 0 → 20; 1 → 16; 2 → 12; 3 → 8; 4 → 4; 5 → 0. Grafik pastga tushuvchi toʻgʻri chiziq boʻladi. Tekshirish: 20 − 4 × 5 = 0 ✓
Kalit soʻzlar
- Grafikfunksiyaning barcha (x; y) nuqtalari; ingl. graph
- Qiymatlar jadvalix va y juftliklari roʻyxati; ingl. table of values
- Nuqtani qoʻyishjuftlikni tekislikda belgilash; ingl. plotting
- Shkalabitta katakning qiymati; ingl. scale
- Uzluksiz miqdororaliq qiymatlari ham bor (vaqt, suv); ingl. continuous
- Diskret miqdorfaqat butun sonlarda (chipta, daftar); ingl. discrete
- Oʻqni kesish nuqtasigrafikning oʻq bilan uchrashgan joyi; ingl. intercept
- Kirish va chiqishx va y, gorizontal va vertikal; ingl. input and output
- Toʻgʻri chiziqbir tekis oʻsuvchi grafik shakli; ingl. straight line
Esda qoladigan uch narsa
- Jadval → nuqtalar → chiziq. Uchta qadam, har doim shu tartibda.
- Grafik jadvaldan boy: unda oraliqdagi qiymatlar ham bor.
- Shkalani oʻqing va chiziqni oʻrinli chizing — diskret maʼlumot nuqtaligicha qoladi.