PM-49: Chiziqli funksiya y = kx + b
Grafigi toʻgʻri chiziq boʻlgan funksiya: b — boshlangʻich qiymat va Oy oʻqining kesilish nuqtasi, k — har bir qadamdagi oʻzgarish. Chiziqni ikki nuqtada chizish.
PM-49: Chiziqli funksiya y = kx + b
PM-48 dagi hamma misolimizda nuqtalar bitta toʻgʻri chiziqda yotdi. Bu tasodif emas edi. Ularning formulasi bir xil qolipda edi: bitta son x ga koʻpaytiriladi, ustiga yana bitta son qoʻshiladi.
Shunday funksiya chiziqli funksiya deyiladi va uning grafigi har doim toʻgʻri chiziq boʻladi. Butun matematikadagi eng koʻp ishlatiladigan qolip — taksi hisobidan tortib ish haqigacha.
Bu darsda siz
- y = kx + b qolipini tanib olasiz;
- k va b ni formuladan ajratasiz (ishorasi bilan);
- chiziqni ikki nuqta yordamida chizasiz;
- b dan boshlab k boʻyicha yurib grafik qurasiz.
1. b — boshlangʻich qiymat
x = 0 qoʻyib koʻring: y = k × 0 + b = b. Demak b — funksiyaning hech narsa boʻlmasdan turibgi qiymati.
Grafikda esa bu Oy oʻqining kesilish nuqtasi: chiziq har doim (0; b) nuqtasidan oʻtadi.
y = 2x + 1 → b = 1, chiziq (0; 1) dan oʻtadi
Boshlangʻich qiymat — bir.
x = 0 da faqat qoʻshiluvchi qoladi.
2. k — qadam
Endi x ni bir birlikka oshiramiz va y ga nima boʻlishini koʻramiz.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| oʻzgarish | — | +2 | +2 | +2 |
Har safar y aynan 2 ga oʻsdi — bu k ning oʻzi. Demak:
k nimani aytadi
x bir birlikka oshganda y k birlikka oʻzgaradi. k musbat boʻlsa y oʻsadi (chiziq koʻtariladi), manfiy boʻlsa kamayadi (chiziq tushadi), nolga teng boʻlsa umuman oʻzgarmaydi (chiziq gorizontal).
3. Chiziqni chizishning ikki usuli
Birinchi usul — ikki nuqta. Toʻgʻri chiziqni ikkita nuqta toʻliq belgilaydi. Ikkita qulay x tanlang, y ni hisoblang, chizgʻich qoʻying. Uchinchi nuqtani tekshirish uchun olish — yaxshi odat.
Ikkinchi usul — b dan boshlab k boʻyicha yurish. (0; b) ni qoʻying, soʻng bir katak oʻngga va k katak yuqoriga (k manfiy boʻlsa — pastga) yuring. Chizmadagi zinapoya aynan shu.
b ni ishorasi bilan oling
y = 4x − 6 da b = −6, 6 emas. Qolipda qoʻshuv turibdi (kx + b), demak minusni ham b ning oʻziga qoʻshib olasiz. Xuddi shunday, y = −3x + 6 da k = −3.
4. k va b nolga teng boʻlsa
| Holat | Misol | Grafik |
|---|---|---|
| b = 0 | y = 2x | Koordinata boshidan oʻtadi |
| k = 0 | y = 5 | Gorizontal chiziq |
| k > 0 | y = x + 1 | Oʻngga qarab koʻtariladi |
| k < 0 | y = −x + 1 | Oʻngga qarab tushadi |
Matnli masala
Taksi hisobi. Taksiga oʻtirganingizda hisoblagich darrov 8 000 soʻmni koʻrsatadi — bu oʻtirish haqi. Keyin har bir kilometr uchun 3 000 soʻm qoʻshiladi.
Savol: narxni chiziqli funksiya koʻrinishida yozing. 12 km yoʻl qancha turadi? Bekzod 29 000 soʻm toʻlagan boʻlsa, u necha kilometr yurgan?
Tekshiramiz
3 000 × 7 + 8 000 = 21 000 + 8 000 = 29 000 ✓ Grafik nuqtai nazaridan: chiziq (0; 8 000) dan boshlanadi va har kilometrda 3 000 ga koʻtariladi. Chiziq nolda emas, 8 000 da boshlanishi — oʻtirish haqining oʻzi.
Koʻp uchraydigan xatolar
y = 4x − 6 da b = 6
b = −6
Qolip y = kx + b, yaʼni qoʻshuv. Ayirish turgan boʻlsa, minus b ning oʻziga tegishli: 4x + (−6).
y = 2x + 3 grafigi (0; 2) dan boshlanadi
(0; 3) dan boshlanadi
Oy oʻqini kesish nuqtasini b beradi, k emas. k — bu qiyalik, boshlanish emas.
y = 5x + 2 va y = 2x + 5 — bir xil chiziq
Ular butunlay boshqa ikki chiziq
Birinchisining qadami 5, boshlanishi 2; ikkinchisiniki aksincha. x = 1 da: 7 va 7 — bir xil; x = 2 da esa 12 va 9 — allaqachon har xil.
Mashq
1. y = 3x + 5 da k va b nechaga teng?
Javobni koʻrish
k = 3, b = 5. Har qadamda y uch birlikka oʻsadi, chiziq (0; 5) dan oʻtadi.
2. y = −2x + 7 grafigi Oy oʻqini qayerda kesadi va u koʻtariladimi yoki tushadimi?
Javobni koʻrish
(0; 7) da kesadi va tushadi. b = 7 — boshlangʻich qiymat; k = −2 manfiy, demak har qadamda y ikki birlikka kamayadi.
3. Chiziq (0; −4) da Oy oʻqini kesadi va har qadamda 3 birlikka koʻtariladi. Formulasini yozing.
Javobni koʻrish
y = 3x − 4. Qadam — k = 3, boshlanish — b = −4. Tekshirish: x = 2 da y = 6 − 4 = 2.
4. y = 2x + 6 grafigi Ox oʻqini qaysi nuqtada kesadi?
Javobni koʻrish
(−3; 0). Ox oʻqida ordinata nol (PM-45), demak y = 0 qoʻyamiz: 2x + 6 = 0 → 2x = −6 → x = −3.
5. Sport zali obunasi oyiga 90 000 soʻm, ustiga har bir mashgʻulot 6 000 soʻm. Chiziqli funksiyani yozing, 15 marta borgan Afsona qancha toʻlashini toping va 210 000 soʻm toʻlagan odam necha marta borganini hisoblang.
Javobni koʻrish
y = 6 000x + 90 000; Afsona 180 000 soʻm; ikkinchisi 20 marta. k = 6 000, b = 90 000. 6 000 × 15 + 90 000 = 90 000 + 90 000 = 180 000. Teskari savol: 6 000x = 210 000 − 90 000 = 120 000 → x = 20. Tekshirish: 90 000 + 120 000 = 210 000 ✓
Kalit soʻzlar
- Chiziqli funksiyagrafigi toʻgʻri chiziq boʻlgan funksiya; ingl. linear function
- k — burchak koeffitsientihar qadamdagi oʻzgarish, qiyalik; ingl. slope
- b — ozod hadboshlangʻich qiymat, x = 0 dagi y; ingl. y-intercept
- Qiyalikchiziqning tikligi; ingl. gradient
- Oy oʻqini kesish(0; b) nuqtasi; ingl. y-intercept
- Ox oʻqini kesishy = 0 boʻlgan nuqta; ingl. x-intercept
- Oʻsuvchi funksiyak musbat boʻlgani; ingl. increasing
- Kamayuvchi funksiyak manfiy boʻlgani; ingl. decreasing
- Gorizontal chiziqk = 0 boʻlgan grafik; ingl. horizontal line
Esda qoladigan uch narsa
- y = kx + b ning grafigi — har doim toʻgʻri chiziq.
- b — qayerdan boshlanadi, k — qanchadan yuradi.
- Ikki nuqta yetarli — uchinchisi faqat tekshirish uchun.