Mathematics

PM-52: Ikki chiziqning kesishishi — sistema nima

Ikki chiziq kesishgan nuqta — ikkala shartni ham bajaradigan yagona (x; y) juftligi. Tenglamalar sistemasi nima, yechimni tekshirish, grafik va tenglashtirish usullari, uchta mumkin boʻlgan hol.

powerty

Aug. 12, 2026

4 7 min 0

PM-52: Ikki chiziqning kesishishi — sistema nima

PM-50 da ikki tarifni taqqoslab, ular 300 daqiqada tenglashishini jadvaldan koʻrgan edik. Va oʻshanda bir vaʼda berilgandi: kesishgan nuqtani chizmasiz, hisoblab topishni oʻrganamiz.

Mana shu dars — oʻsha vaʼdaning bajarilishi. Yoʻl-yoʻlakay matematikaning eng foydali qurollaridan biri — sistema bilan tanishamiz.

Bu darsda siz

kesishgan nuqta nimani anglatishini aytasiz;
tenglamalar sistemasini yozasiz va yechimi nima ekanini bilasiz;
berilgan juftlik yechim yoki yoʻqligini tekshirasiz;
ikkalasi ham y = … koʻrinishida boʻlsa, kesishgan nuqtani hisoblaysiz.

Sistema yechimi (x; y) = birinchi tenglamani ham + ikkinchisini ham bajaradi

1. Kesishgan nuqta nima?

Bitta chiziqning har bir nuqtasi oʻsha chiziqning tenglamasini bajaradi (PM-48). Ikki chiziq kesishgan joyda esa bitta nuqta ikkala chiziqda ham yotadi.

Demak uning koordinatalari ikkala tenglamani ham toʻgʻri qiladi. Butun mavzuning mohiyati shu bitta jumlada.

y = 2x + 1 va y = −x + 7 → (2; 5)

Ikkinchi kirishda ikkala qoida ham beshni beradi.

2 × 2 + 1 = 5 ✓ va −2 + 7 = 5 ✓ — shuning uchun chiziqlar aynan shu nuqtada uchrashadi.

2. Sistema — birga oʻqiladigan ikki tenglama

Ikkita tenglama bir vaqtning oʻzida bajarilishi kerak boʻlsa, ular tenglamalar sistemasi deyiladi. Uni shunday yozamiz:

Sistema y = 2x + 1 va y = −x + 7

Yechim — juftlik, bitta son emas

Ikki nomaʼlumli sistemaning yechimi — (x; y) juftligi. «x = 2» degan javob yarim javob: y ni ham aytmasangiz, masala tugamagan.

3. Yechimni tekshirish

Bu eng oson va eng kerakli koʻnikma. Juftlikni ikkala tenglamaga qoʻyib koʻrasiz — ikkalasi ham toʻgʻri chiqsa, u yechim.

(3; 4) juftligi tekshirilsin Sistema: x + y = 7 va 2x − y = 2

3 + 4 = 7 ✓ Birinchisi bajarildi

2 × 3 − 4 = 6 − 4 = 2 ✓ Ikkinchisi ham bajarildi

(3; 4) — sistemaning yechimi Ikkala shart ham toʻgʻri

Bitta tenglama yetarli emas

(5; 2) juftligini oling: 5 + 2 = 7 ✓ — birinchi tenglama bajarildi. Lekin 2 × 5 − 2 = 8 ≠ 2 ✗. Demak (5; 2) yechim emas. Faqat birinchisini tekshirib toʻxtash — eng koʻp uchraydigan xato.

4. Grafik usul

Ikkala chiziqni bitta koordinata tekisligiga chizasiz va kesishgan nuqtaning koordinatalarini oʻqiysiz. Usul koʻrgazmali, lekin bitta kamchiligi bor: kesishuv kasr sonlarda boʻlsa, chizmadan aniq oʻqib boʻlmaydi.

Grafik usul

Koʻrinadi, tushunarli, vaziyatni tushuntiradi. Butun sonlarda aniq.

Hisob usuli

Chizma kerak emas, javob har doim aniq — kasr boʻlsa ham.

5. Tenglashtirish — hisoblab topish

Ikkala tenglama ham y = … koʻrinishida boʻlsa, ish juda soddalashadi. Kesishgan nuqtada ikkala y bir xil. Demak ularning oʻng tomonlarini tenglashtirsak boʻladi — va ikki tomonida ham x turgan oddiy tenglama chiqadi (PM-37).

y = 2x + 1 , y = −x + 7 Berilgan sistema

2x + 1 = −x + 7 Kesishuvda ikkala y teng

3x + 1 = 7 Ikki tomonga x qoʻshdik

3x = 6 → x = 2 Birni ayirdik, uchga boʻldik

y = 2 × 2 + 1 = 5 → (2; 5) x ni istalgan tenglamaga qaytardik

Tekshiramiz

Ikkinchi tenglamada ham: −2 + 7 = 5 ✓ Ikkalasi bir xil y berdi, demak nuqta rostdan ham ikkala chiziqda yotadi. y ni ikkinchi tenglamadan chiqarib tekshirish — bepul va deyarli har doim xatoni tutadi.

6. Uchta mumkin boʻlgan hol

Chiziqlar	Misol	Yechim
Kesishadi (k lari har xil)	y = 2x + 1 va y = −x + 7	Bitta yechim: (2; 5)
Parallel (k bir xil, b har xil)	y = 2x + 1 va y = 2x + 4	Yechim yoʻq
Ustma-ust tushgan	y = 2x + 1 va 2y = 4x + 2	Cheksiz koʻp yechim

Nega parallelda yechim yoʻq

Parallel chiziqlarning tikligi bir xil (PM-50), demak ular hech qachon uchrashmaydi. Tenglashtirsak ham koʻramiz: 2x + 1 = 2x + 4 → 1 = 4, bu esa yolgʻon. Yolgʻon tenglik chiqishi — «yechim yoʻq» degan javob.

Matnli masala

Ikki taksi xizmati. «Tez taksi» oʻtirish uchun 8 000 soʻm oladi va har kilometr uchun 3 000 soʻm qoʻshadi. «Yoʻlbars» oʻtirish uchun 20 000 soʻm oladi, lekin kilometri atigi 1 500 soʻm.

Savol: necha kilometrda ikkala xizmat bir xil pul turadi? 4 km va 12 km yoʻlga qaysi biri arzon?

Tez taksi: y = 3 000x + 8 000 b — oʻtirish haqi, k — kilometr narxi (PM-50)

Yoʻlbars: y = 1 500x + 20 000 Katta b, kichik k

3 000x + 8 000 = 1 500x + 20 000 «Bir xil pul» — ikkala y teng

1 500x = 12 000 1 500x va 8 000 ni tegishli tomonga oʻtkazdik

x = 8 km, y = 32 000 soʻm 3 000 × 8 + 8 000 = 32 000

Tekshiramiz

Ikkinchi formulada ham: 1 500 × 8 + 20 000 = 12 000 + 20 000 = 32 000 ✓ Endi ikki tomonini sinaymiz. 4 km: Tez taksi 12 000 + 8 000 = 20 000, Yoʻlbars 6 000 + 20 000 = 26 000 — qisqa yoʻlga Tez taksi arzon. 12 km: Tez taksi 36 000 + 8 000 = 44 000, Yoʻlbars 18 000 + 20 000 = 38 000 — uzoq yoʻlga Yoʻlbars arzon.

Sakkizinchi kilometrgacha Tez taksi pastda, undan keyin Yoʻlbars. Kesishgan nuqta — narxlar tenglashgan joy.

Taxmin Yoʻlbars boshida 12 000 soʻmga qimmat, lekin har kilometrda 1 500 soʻm yutadi. 12 000 ÷ 1 500 = 8 — sakkizinchi kilometrda farq yopiladi. Bu boshqa yoʻl bilan chiqqan oʻsha javob.

Koʻp uchraydigan xatolar

Javob: x = 8

Javob: (8; 32 000)

Sistemaning yechimi — juftlik. x ni topib toʻxtash masalani yarmida qoldirish demakdir.

(5; 2) yechim, chunki 5 + 2 = 7 ✓

Yechim emas: 2 × 5 − 2 = 8 ≠ 2

Juftlik ikkala tenglamani ham bajarishi shart. Bittasi toʻgʻri chiqishi hech narsani isbotlamaydi.

y = 2x + 1 va y = 2x + 4 → 1 = 4, demak x = 0

1 = 4 yolgʻon → yechim yoʻq, chiziqlar parallel

Nomaʼlum qisqarib ketib, yolgʻon tenglik qolsa, javob «yechim yoʻq» boʻladi — nol emas.

Mashq

1. (1; 4) juftligi y = 3x + 1 va y = 5x − 1 sistemasining yechimimi?

Javobni koʻrish

Ha. 3 × 1 + 1 = 4 ✓ va 5 × 1 − 1 = 4 ✓ Ikkala tenglama ham bajarildi, demak chiziqlar (1; 4) da kesishadi.

2. y = x + 3 va y = 2x + 1 chiziqlari qayerda kesishadi?

Javobni koʻrish

(2; 5). x + 3 = 2x + 1 → 3 − 1 = 2x − x → x = 2. Keyin y = 2 + 3 = 5. Tekshirish: 2 × 2 + 1 = 5 ✓

3. y = 4x − 2 va y = 4x + 6 chiziqlari nechta nuqtada kesishadi?

Javobni koʻrish

Bitta ham emas. k lari bir xil (4), b lari har xil — parallel chiziqlar. Tenglashtirsak: −2 = 6, yolgʻon. Yechim yoʻq.

4. y = 5x va y = 2x + 9 sistemasini yeching.

Javobni koʻrish

(3; 15). 5x = 2x + 9 → 3x = 9 → x = 3. y = 5 × 3 = 15. Tekshirish: 2 × 3 + 9 = 15 ✓

5. Ikki sport zali. «Olimp»: obuna 100 000 soʻm, har mashgʻulot 5 000 soʻm. «Bahodir»: obuna yoʻq, har mashgʻulot 9 000 soʻm. Necha mashgʻulotda narxlar tenglashadi va 30 marta boradigan Dilnozaga qaysi biri arzon?

Javobni koʻrish

25 mashgʻulotda tenglashadi; Dilnozaga «Olimp» arzon. Olimp: y = 5 000x + 100 000. Bahodir: y = 9 000x. Tenglashtiramiz: 9 000x = 5 000x + 100 000 → 4 000x = 100 000 → x = 25. Ikkalasi ham 225 000 soʻm ✓ 30 martada: Olimp 150 000 + 100 000 = 250 000, Bahodir 270 000 — Olimp 20 000 soʻmga arzon.

Kalit soʻzlar

Tenglamalar sistemasibirga bajarilishi kerak boʻlgan ikki tenglama; ingl. system of equations
Sistema yechimiikkalasini ham bajaradigan (x; y) juftligi; ingl. solution
Kesishish nuqtasiikki chiziq uchrashgan joy; ingl. point of intersection
Ikki nomaʼlumx va y bir masalada; ingl. two unknowns
Tenglashtirish usuliikkala y ni teng deb yozish; ingl. equating method
Grafik usulchizib, kesishuvni oʻqish; ingl. graphical method
Yechim yoʻqparallel chiziqlar holati; ingl. no solution
Cheksiz koʻp yechimikki chiziq ustma-ust tushgani; ingl. infinitely many
Tekshirishjuftlikni ikkala tenglamaga qoʻyish; ingl. verification

Esda qoladigan uch narsa

Kesishgan nuqta ikkala tenglamani ham bajaradi. Butun mavzu shu jumladan oʻsib chiqadi.
Yechim — juftlik (x; y), bitta son emas.
Ikkalasi y = … boʻlsa, oʻng tomonlarni tenglashtiring — qolgani oddiy tenglama.