Mathematics

PM-53: Sistemani oʻrniga qoʻyish usuli bilan yechish

Bitta tenglamadan bitta nomaʼlumni ifodalab, ikkinchisiga qoʻyish: shunda ikki nomaʼlumli sistema bitta nomaʼlumli oddiy tenglamaga aylanadi. Toʻrt qadam va tekshirish.

powerty

Aug. 12, 2026

4 7 min 0

PM-53: Sistemani oʻrniga qoʻyish usuli bilan yechish

PM-52 da sistemani tenglashtirish bilan yechdik — lekin faqat ikkala tenglama ham y = … koʻrinishida boʻlgani uchun. Hayotda esa sistema koʻpincha boshqacha keladi: «ikkalasi 20 ta, jami 380 000 soʻm».

Bunday sistemani yechishning eng ishonchli yoʻli — oʻrniga qoʻyish usuli. Uning gʻoyasi juda sodda: ikkita nomaʼlumdan birini yoʻqotamiz, keyin qolgani bilan oddiy tenglamadek ishlaymiz.

Bu darsda siz

bitta tenglamadan bitta nomaʼlumni ifodalaysiz;
uni ikkinchi tenglamaga qoʻyib, nomaʼlumni yoʻqotasiz;
qaysi nomaʼlumni ifodalash osonroq ekanini tanlaysiz;
javobni ikkala tenglamada tekshirasiz.

Toʻrt qadam ifodala → qoʻy → yech → qaytar

1. Gʻoya: bitta nomaʼlumni yoʻqotish

Ikki nomaʼlumli tenglamani yolgʻiz oʻzini yechib boʻlmaydi: x + y = 10 ning javoblari juda koʻp — (1; 9), (2; 8), (4; 6)… Ikkinchi tenglama esa ulardan faqat bittasini tanlaydi.

Shuning uchun birinchi tenglamadan y ni x orqali ifodalaymiz va shu ifodani ikkinchi tenglamada y ning oʻrniga qoʻyamiz. Natijada faqat x qoladi — va bu allaqachon PM-36 dagi oddiy tenglama.

2. Birinchi misol — eng oson holat

x + y = 10 , 2x + y = 16 Berilgan sistema

y = 10 − x Birinchisidan y ni ifodaladik

2x + (10 − x) = 16 Ikkinchisiga y ning oʻrniga qoʻydik

x + 10 = 16 → x = 6 Oʻxshash hadlarni yigʻdik (PM-32)

y = 10 − 6 = 4 → (6; 4) x ni ifodaga qaytardik

Tekshiramiz

6 + 4 = 10 ✓ va 2 × 6 + 4 = 12 + 4 = 16 ✓ Ikkala tenglama ham bajarildi, demak (6; 4) — sistemaning yechimi.

Qaysi nomaʼlumni ifodalash kerak?

Koeffitsienti 1 boʻlganini. x + y = 10 dagi y ni ifodalash bir qadam: y = 10 − x. 3x + 7y = 20 dan x ni ifodalash esa kasr chiqaradi. Osonini tanlash — vaqt ham, xato ham tejaydi.

3. Ikkinchi misol — bittasi allaqachon ifodalangan

Baʼzan ishning yarmi qilib qoʻyilgan boʻladi.

y = 3x − 2 , 2x + y = 13 Birinchisi tayyor ifoda

2x + (3x − 2) = 13 y ning oʻrniga 3x − 2 qoʻydik

5x − 2 = 13 → 5x = 15 2x va 3x oʻxshash hadlar

x = 3 , y = 3 × 3 − 2 = 7 → (3; 7) Tekshirish: 2 × 3 + 7 = 13 ✓

4. Uchinchi misol — koeffitsientli holat

2x + 3y = 27 , x − y = 1 Berilgan sistema

x = y + 1 Ikkinchisidan x ni ifodaladik (koeffitsienti 1)

2(y + 1) + 3y = 27 Birinchisiga qoʻydik — qavs bilan!

2y + 2 + 3y = 27 Qavsni ochdik (PM-33)

5y = 25 → y = 5 Ikkidan ayirdik, beshga boʻldik

x = 5 + 1 = 6 → (6; 5) Tekshirish: 12 + 15 = 27 ✓ va 6 − 5 = 1 ✓

Qavsni unutmang

Ifodani qoʻyayotganda uni doim qavsga oling. 15 000(20 − x) ni qavssiz yozsangiz, minus faqat birinchi hadga tegadi va butun yechim buziladi: toʻgʻrisi 300 000 − 15 000x, notoʻgʻrisi 300 000 + 15 000x. Bu — manfiy ishorali eng koʻp uchraydigan xato (PM-33).

Matnli masala

Sinf kinoga bordi. Kattalar chiptasi 25 000 soʻm, bolalar chiptasi 15 000 soʻm. Kassaga jami 20 ta chipta uchun 380 000 soʻm toʻlandi.

Savol: nechta katta va nechta bolalar chiptasi olingan?

Kattalar x ta

Bolalar y ta

Jami: x + y = 20 ta chipta, 380 000 soʻm

x — kattalar, y — bolalar chiptasi soni Nomaʼlumlarni nomladik

x + y = 20 Chiptalar soni

25 000x + 15 000y = 380 000 Toʻlangan pul

y = 20 − x Birinchisidan ifodaladik

25 000x + 15 000(20 − x) = 380 000 Qoʻydik — qavs bilan

25 000x + 300 000 − 15 000x = 380 000 Qavsni ochdik

10 000x = 80 000 → x = 8 300 000 ni oʻng tomonga oʻtkazdik

y = 20 − 8 = 12 8 ta katta, 12 ta bolalar chiptasi

Tekshiramiz

8 + 12 = 20 ✓ Pul: 25 000 × 8 = 200 000 va 15 000 × 12 = 180 000, jami 200 000 + 180 000 = 380 000 ✓ Ikkala shart ham bajarildi.

Taxmin Hamma chipta bolalarniki boʻlganda 20 × 15 000 = 300 000 soʻm boʻlardi. Haqiqatda 80 000 soʻm koʻp toʻlangan. Har bir katta chipta 10 000 soʻm qoʻshadi, demak 80 000 ÷ 10 000 = 8 ta katta chipta. Ikkinchi yoʻl bilan oʻsha javob chiqdi.

Sonlarni kichraytirib olish mumkin

25 000x + 15 000y = 380 000 tenglamasining ikkala tomonini 5 000 ga boʻlsangiz, 5x + 3y = 76 chiqadi — ish ancha yengillashadi. Tekshiring: 5 × 8 + 3 × 12 = 40 + 36 = 76 ✓

Koʻp uchraydigan xatolar

x = 8 topildi — javob: 8

Javob: (8; 12) — 8 ta katta, 12 ta bolalar chiptasi

Topilgan qiymatni ifodaga qaytarish — usulning toʻrtinchi qadami. Usiz masala yarim qolgan.

25 000x + 15 000 × 20 − x = 380 000

25 000x + 15 000(20 − x) = 380 000

Ifoda qavssiz qoʻyilgan: koʻpaytuvchi butun qavsga tegishli. Qavssiz yozuv butunlay boshqa tenglama.

y = 10 − x ni oʻsha birinchi tenglamaga qaytarish

Ifodani ikkinchi tenglamaga qoʻyish

Oʻz tenglamasiga qoʻysangiz 10 = 10 chiqadi — toʻgʻri, lekin foydasiz. Yangi maʼlumot faqat ikkinchi tenglamada bor.

Mashq

1. y = x + 2 va x + y = 10 sistemasini yeching.

Javobni koʻrish

(4; 6). x + (x + 2) = 10 → 2x + 2 = 10 → 2x = 8 → x = 4, y = 4 + 2 = 6. Tekshirish: 4 + 6 = 10 ✓

2. x = 2y va x + y = 12 sistemasini yeching.

Javobni koʻrish

(8; 4). 2y + y = 12 → 3y = 12 → y = 4, x = 2 × 4 = 8. Tekshirish: 8 + 4 = 12 ✓ va 8 = 2 × 4 ✓

3. x + y = 7 va 3x + y = 17 sistemasini yeching.

Javobni koʻrish

(5; 2). y = 7 − x → 3x + (7 − x) = 17 → 2x + 7 = 17 → 2x = 10 → x = 5, y = 2. Tekshirish: 3 × 5 + 2 = 17 ✓

4. 4x + y = 9 va 3x − 2y = 4 sistemasida qaysi nomaʼlumni ifodalash oson va yechim nima?

Javobni koʻrish

Birinchi tenglamadan y ni; yechim (2; 1). y ning koeffitsienti 1, demak y = 9 − 4x. Qoʻyamiz: 3x − 2(9 − 4x) = 4 → 3x − 18 + 8x = 4 → 11x = 22 → x = 2, y = 9 − 8 = 1. Tekshirish: 6 − 2 = 4 ✓

5. Afsona 5 ta daftar va 3 ta ruchka uchun 73 000 soʻm toʻladi. Bitta daftar ruchkadan 5 000 soʻm qimmat. Daftar va ruchkaning narxini toping.

Javobni koʻrish

Daftar 11 000 soʻm, ruchka 6 000 soʻm. d — daftar, r — ruchka narxi. Shartlar: d = r + 5 000 va 5d + 3r = 73 000. Qoʻyamiz: 5(r + 5 000) + 3r = 73 000 → 5r + 25 000 + 3r = 73 000 → 8r = 48 000 → r = 6 000, d = 11 000. Tekshirish: 5 × 11 000 = 55 000, 3 × 6 000 = 18 000, jami 73 000 ✓

Kalit soʻzlar

Oʻrniga qoʻyish usulinomaʼlumni ifoda bilan almashtirish; ingl. substitution method
Nomaʼlumni ifodalashy ni x orqali yozish; ingl. express in terms of
Nomaʼlumni yoʻqotishikkitasidan bittasini qoldirish; ingl. eliminate
Koeffitsientnomaʼlum oldidagi son; ingl. coefficient
Sistema yechimi(x; y) juftligi; ingl. solution of a system
Qavs ochishkoʻpaytuvchini har bir hadga tarqatish; ingl. expanding brackets
Qaytarib qoʻyishtopilgan qiymatdan ikkinchisini topish; ingl. back-substitution
Tekshirishjavobni ikkala tenglamaga qoʻyish; ingl. checking
Sodalashtirishikkala tomonni bir songa boʻlish; ingl. simplifying