Mathematics

PM-54: Sistemani qoʻshish usuli bilan yechish

Ikki tenglamani bir-biriga qoʻshib yoki ayirib, bitta nomaʼlumni butunlay yoʻqotish. Koeffitsientlar qarama-qarshi boʻlsa qoʻshamiz, bir xil boʻlsa ayiramiz, boʻlmasa avval koʻpaytirib olamiz.

powerty

Aug. 12, 2026

3 10 min 0

PM-54: Sistemani qoʻshish usuli bilan yechish

Doʻkonda ikkita chek qoldi. Birinchisida: 4 ta daftar va 3 ta ruchka — 26 000 soʻm. Ikkinchisida: 4 ta daftar va 5 ta ruchka — 34 000 soʻm. Bitta daftar necha pul?

PM-53 da bunday sistemani oʻrniga qoʻyish bilan yechardik: bir nomaʼlumni ifodalab, ikkinchisiga tiqardik. Bu chekda esa ancha qisqa yoʻl bor. Ikkala chekda ham 4 ta daftar turibdi. Demak ikki chekning farqi faqat ruchkalarniki: 2 ta ruchka — 8 000 soʻm. Mana shu — qoʻshish usuli.

Bu darsda siz

ikki tenglamani qoʻshib yoki ayirib, bitta nomaʼlumni yoʻqotasiz;
koeffitsientlar mos kelmasa, tenglamani butunlay koʻpaytirasiz;
qaysi nomaʼlumni yoʻqotish qulayroq ekanini tanlaysiz;
qoʻshish bilan oʻrniga qoʻyishning qay birini olishni bilasiz.

Toʻrt qadam tenglashtir → qoʻsh (yoki ayir) → bitta nomaʼlumni yech → qaytar va tekshir

Nega ikki tenglamani qoʻshsa boʻladi?

Tarozini eslang (PM-36). x + y = 12 degani — chap tovoqchada x va y, oʻng tovoqchada 12 turibdi va tarozi muvozanatda. x − y = 4 — bu ikkinchi, alohida muvozanatdagi tarozi.

Endi ikkinchi tarozining chap tovoqchasidagi hamma narsani birinchi tarozining chap tovoqchasiga, oʻng tovoqchasidagini esa oʻng tovoqchasiga qoʻysak nima boʻladi? Ikkala tomonga teng ogʻirlik qoʻshilgani uchun tarozi baribir muvozanatda qoladi. Yaʼni:

(x + y) + (x − y) = 12 + 4

Ikki tenglamaning chap tomonlarini qoʻshdik, oʻng tomonlarini ham qoʻshdik.

Teng narsaga teng narsa qoʻshilsa, tenglik buzilmaydi — bu tenglamaning eng asosiy qoidasi.

Chap tomonda esa sehr boʻladi: +y va −y bir-birini yoʻq qiladi (PM-10: y − y = 0). Qoladi 2x = 16. Ikki nomaʼlumli sistemadan bir nomaʼlumli oddiy tenglama chiqdi.

+y va −y bir-birini yoʻq qildi. Qolgani — bitta nomaʼlumli tenglama.

1-hol: koeffitsientlar qarama-qarshi — qoʻshamiz

Eng oson hol. Bir nomaʼlum oldida +, ikkinchisida shuncha − tursa, hech narsa tayyorlash kerak emas — toʻgʻridan qoʻshaveramiz.

x + y = 12
x − y = 4 Berilgan sistema. y oldida +1 va −1 — qarama-qarshi

2x = 16 Ikki tenglamani qoʻshdik; y yoʻqoldi

x = 8 Ikki tomonni 2 ga boʻldik

8 + y = 12 → y = 4 x ni birinchi tenglamaga qaytardik

Tekshiramiz

8 + 4 = 12 ✓ va 8 − 4 = 4 ✓ — juftlik (8; 4) ikkala tenglamani ham bajardi.

2-hol: koeffitsientlar bir xil — ayiramiz

Chek masalasi aynan shunday edi: ikkala tenglamada ham +2y yoki 4 ta daftar turibdi. Bir xil narsani yoʻqotish uchun qoʻshish emas, ayirish kerak.

3x + 2y = 31
x + 2y = 17 y oldida ikkalasida ham +2

(3x + 2y) − (x + 2y) = 31 − 17 Ikkinchi tenglamani birinchisidan ayirdik

2x = 14 3x − x = 2x, 2y − 2y = 0

x = 7 Ikki tomonni 2 ga boʻldik

7 + 2y = 17 → y = 5 x ni ikkinchi (soddaroq) tenglamaga qoʻydik

Tekshiramiz

3 × 7 + 2 × 5 = 21 + 10 = 31 ✓ va 7 + 2 × 5 = 17 ✓

Ayirishda hamma had ishorasini oʻzgartiradi

Qavsni ayirayotganda ichidagi har bir had ishorasi almashadi (PM-33):
−(x + 2y) = −x − 2y, faqat −x + 2y emas.
Oʻng tomonni ham unutmang: 31 − 17 = 14, «31 − 17 = 24» emas. Eng koʻp xato aynan shu ikki joyda tugʻiladi.

Ayirishni yoqtirmasangiz

Ayirish oʻrniga ikkinchi tenglamani −1 ga koʻpaytirib, keyin qoʻshsangiz ham boʻladi: x + 2y = 17 dan −x − 2y = −17 chiqadi. Natija bir xil, lekin ishoralarni bir marta, xotirjam oʻzgartirasiz.

3-hol: koeffitsientlar mos emas — avval koʻpaytiramiz

Koʻpincha na qarama-qarshi, na bir xil koeffitsient boʻladi. Unda biz uni oʻzimiz yasaymiz: tenglamani butunlay biror songa koʻpaytiramiz. Tenglama oʻzgarmaydi — 2x + 6y = 24 bilan x + 3y = 12 bir xil narsani aytadi.

x + 3y = 12
4x − y = 22 y oldida +3 va −1 — mos emas

4x − y = 22 | × 3 Ikkinchi tenglamani 3 ga koʻpaytiramiz, chunki −1 × 3 = −3

12x − 3y = 66 Har bir had koʻpaydi — oʻng tomon ham!

13x = 78 Birinchi tenglama bilan qoʻshdik: +3y va −3y yoʻqoldi

x = 6 78 ÷ 13 = 6

6 + 3y = 12 → y = 2 x ni birinchi tenglamaga qaytardik

Tekshiramiz

6 + 3 × 2 = 12 ✓ va 4 × 6 − 2 = 24 − 2 = 22 ✓

Koʻpaytirilsa — butun tenglama koʻpayadi

«4x − y = 22 ni 3 ga koʻpaytiraman» degani 12x − 3y = 66 degani, 12x − 3y = 22 emas. Tarozining faqat bitta tovoqchasini uch barobar ogʻirlashtirib boʻlmaydi — ikkalasi ham ogʻirlashadi.

4-hol: ikkala tenglamani ham koʻpaytirish kerak

Baʼzida bittasini koʻpaytirish yetmaydi. Unda ikkala koeffitsientning umumiy karralisini olamiz (PM-8 dagi EKUK).

3x + 2y = 14
2x + 5y = 13 y oldida 2 va 5. EKUK = 10

15x + 10y = 70
4x + 10y = 26 Birinchisini 5 ga, ikkinchisini 2 ga koʻpaytirdik

11x = 44 Ikkalasida ham +10y — demak ayiramiz

x = 4 44 ÷ 11 = 4

3 × 4 + 2y = 14 → y = 1 12 + 2y = 14, demak 2y = 2

Tekshiramiz

2 × 4 + 5 × 1 = 8 + 5 = 13 ✓ — ikkinchi tenglama ham bajarildi.

Qaysi nomaʼlumni yoʻqotgan qulay?

Koeffitsientlarga qarang va kichik umumiy karralini tanlang. 3x + 2y = 14 va 2x + 5y = 13 da x uchun EKUK 6, y uchun 10 — demak x ni yoʻqotgan biroz qulayroq. Agar biror nomaʼlum oldida 1 tursa, koʻpincha oʻrniga qoʻyish (PM-53) yanada tez boʻladi.

Ikki maxsus hol — PM-52 ni eslaymiz

Qoʻshgandan keyin ikkala nomaʼlum ham yoʻqolib qolsa, sistema bizga javob emas, xabar bermoqda.

x + y = 5
x + y = 8
ayiramiz: 0 = 3

Yolgʻon tenglik. Yechim yoʻq — chiziqlar parallel.

x + y = 5
2x + 2y = 10
ayiramiz: 0 = 0

Har doim toʻgʻri. Cheksiz koʻp yechim — bitta chiziq ikki marta yozilgan.

Matnli masala

Doʻkondagi ikki chek. Afsona 4 ta daftar va 3 ta ruchka uchun 26 000 soʻm toʻladi. Jasur oʻsha doʻkonda 4 ta daftar va 5 ta ruchka uchun 34 000 soʻm toʻladi. Bitta daftar va bitta ruchka necha soʻm turadi?

Nima soʻralyapti: ikkita narx — bitta daftarniki va bitta ruchkaniki.

Reja: daftar narxini d, ruchka narxini r deb belgilaymiz (ikkalasi ham soʻmda). Har bir chek — bitta tenglama. Ikkala chekda ham 4 ta daftar bor, demak ayiramiz.

4d + 3r = 26 000
4d + 5r = 34 000 Birinchi chek va ikkinchi chek

2r = 8 000 Ikkinchisidan birinchisini ayirdik: 4d yoʻqoldi, 34 000 − 26 000 = 8 000

r = 4 000 Bitta ruchka — 4 000 soʻm

4d + 3 × 4 000 = 26 000 r ni birinchi chekka qaytardik

4d = 14 000 26 000 − 12 000 = 14 000

d = 3 500 Bitta daftar — 3 500 soʻm

Tekshiramiz — matnga qaytamiz

Jasurning cheki: 4 × 3 500 + 5 × 4 000 = 14 000 + 20 000 = 34 000 ✓
Afsonaning cheki: 4 × 3 500 + 3 × 4 000 = 14 000 + 12 000 = 26 000 ✓
Javob: daftar 3 500 soʻm, ruchka 4 000 soʻm.

Taxmin Ikki chekning farqi 8 000 soʻm va farq atigi 2 ta ruchka — demak ruchka 4 000 atrofida. Javob shu taxminga tushdi.

Koʻp uchraydigan xatolar

4x − y = 22 | × 3 → 12x − 3y = 22

4x − y = 22 | × 3 → 12x − 3y = 66

Oʻng tomon koʻpaytirilmagan. Tenglamaning ikkala tomoni bir xil songa koʻpayadi.

3x + 2y = 31 va x + 2y = 17 → qoʻshamiz: 4x + 4y = 48

3x + 2y = 31 va x + 2y = 17 → ayiramiz: 2x = 14

Koeffitsientlar bir xil boʻlsa qoʻshish hech narsani yoʻqotmaydi. Bir xil — ayiramiz, qarama-qarshi — qoʻshamiz.

(3x + 2y) − (x + 2y) = 2x + 4y

(3x + 2y) − (x + 2y) = 2x

Ayirishda qavs ichidagi har bir hadning ishorasi almashadi: −x − 2y. Shunda 2y − 2y = 0 boʻladi.

2x = 16 → x = 8. Javob: 8

x = 8, keyin y = 4. Javob: (8; 4)

Sistemaning yechimi — juftlik. Bitta nomaʼlumni topib toʻxtash — yarim ish.

Mashq

1. Yeching: x + y = 10 va x − y = 2.

Javobni koʻrish

(6; 4). Qoʻshamiz: 2x = 12, x = 6. Keyin 6 + y = 10, y = 4. Tekshirish: 6 − 4 = 2 ✓

2. Yeching: 2x + y = 13 va 3x − y = 12.

Javobni koʻrish

(5; 3). y oldida +1 va −1 — qoʻshamiz: 5x = 25, x = 5. 2 × 5 + y = 13, demak y = 3. Tekshirish: 3 × 5 − 3 = 12 ✓

3. Yeching: 4x + 3y = 23 va 4x − y = 3.

Javobni koʻrish

(2; 5). x oldida ikkalasida ham 4 — ayiramiz: 3y − (−y) = 4y va 23 − 3 = 20, demak 4y = 20, y = 5. Keyin 4x − 5 = 3, 4x = 8, x = 2. Tekshirish: 4 × 2 + 3 × 5 = 23 ✓

4. Yeching: 3x + y = 14 va 2x − 3y = 2.

Javobni koʻrish

(4; 2). Birinchisini 3 ga koʻpaytiramiz: 9x + 3y = 42. Ikkinchisi bilan qoʻshamiz: 11x = 44, x = 4. Keyin 3 × 4 + y = 14, y = 2. Tekshirish: 2 × 4 − 3 × 2 = 2 ✓

5. Yeching: 2x + 3y = 16 va 5x − 2y = 2.

Javobni koʻrish

(2; 4). y ning EKUK i 6: birinchisini 2 ga, ikkinchisini 3 ga koʻpaytiramiz — 4x + 6y = 32 va 15x − 6y = 6. Qoʻshamiz: 19x = 38, x = 2. Keyin 2 × 2 + 3y = 16, 3y = 12, y = 4. Tekshirish: 5 × 2 − 2 × 4 = 2 ✓

6. Bozorda 2 kg olma va 3 kg nok 46 000 soʻm turadi. 4 kg olma va 3 kg nok esa 62 000 soʻm. Bir kilogramm olma va bir kilogramm nok qancha?

Javobni koʻrish

Olma 8 000 soʻm, nok 10 000 soʻm. Ikkala hisobda ham 3 kg nok bor, demak ayiramiz: 2 kg olma = 62 000 − 46 000 = 16 000, yaʼni 1 kg olma 8 000 soʻm. Keyin 2 × 8 000 + 3n = 46 000, 3n = 30 000, n = 10 000. Tekshirish: 4 × 8 000 + 3 × 10 000 = 32 000 + 30 000 = 62 000 ✓

Kalit soʻzlar

Tenglamalar sistemasibir vaqtda bajarilishi kerak boʻlgan tenglamalar; ingl. system of equations
Qoʻshish usulitenglamalarni qoʻshib nomaʼlumni yoʻqotish; ingl. elimination method
Nomaʼlumni yoʻqotishuni tenglamadan butunlay chiqarib yuborish; ingl. to eliminate
Koeffitsientnomaʼlum oldidagi son; ingl. coefficient
Qarama-qarshi sonlar+3 va −3 kabi, yigʻindisi nol; ingl. opposite numbers
Ekvivalent tenglamakoʻpaytirilgandan keyin ham xuddi shuni aytadigan tenglama; ingl. equivalent equation
EKUKeng kichik umumiy karrali; ingl. least common multiple
Yechim juftligisistemani bajaradigan (x; y); ingl. solution pair
Oʻrniga qoʻyish usuliPM-53 dagi ikkinchi usul; ingl. substitution method
Tekshirishjavobni ikkala tenglamaga qaytarib qoʻyish; ingl. check

Esda qoladigan uch narsa

Bir xil — ayiramiz, qarama-qarshi — qoʻshamiz. Maqsad bitta: nomaʼlumlardan biri yoʻqolsin.
Koʻpaytirsangiz, butun tenglamani koʻpaytiring — oʻng tomonni ham.
Javob — juftlik (x; y) va u ikkala tenglamani ham bajarishi shart.