Mathematics

PM-59: Burchak juftliklari: qoʻshni, vertikal, toʻldiruvchi

Ikki chiziq kesishganda hosil boʻlgan burchaklar bir-biriga bogʻlangan: qoʻshnilar 180° ni, toʻldiruvchilar 90° ni beradi, vertikallar esa teng. Kursdagi birinchi isbot ham shu yerda.

powerty

Aug. 12, 2026

6 6 min 0

PM-59: Burchak juftliklari: qoʻshni, vertikal, toʻldiruvchi

Ikki koʻcha kesishgan chorrahaga tepadan qarang: toʻrtta burchak koʻrinadi. Ulardan bittasini oʻlchasangiz — qolgan uchtasini oʻlchamasdan ayta olasiz. Bu darsda nima uchun shundayligini koʻramiz.

PM-58 da burchaklarni oʻlchadik. Endi ular bir-biri bilan qanday bogʻlanishini oʻrganamiz — geometriyaning butun kuchi shu bogʻlanishlarda.

Bu darsda siz

qoʻshni, vertikal va toʻldiruvchi burchaklarni tanib olasiz;
bitta burchakdan qolganlarini hisoblaysiz;
vertikal burchaklar nega teng ekanini isbotlaysiz;
burchakli masalalarni tenglama va sistema bilan yechasiz.

Uch juftlik toʻldiruvchi = 90° · qoʻshni = 180° · vertikal → teng

Qoʻshni burchaklar: yigʻindisi 180°

Toʻgʻri chiziq ustidagi bir nuqtadan yuqoriga nur chiqaring. Chiziqning ikki tomoni ikkita burchak hosil qiladi. Ular birgalikda yoyiq burchakni toʻldiradi, demak yigʻindisi 180°.

Ikkalasi birga toʻgʻri chiziqni, yaʼni yoyiq burchakni toʻldiradi.

a = 65° → b = 180° − 65° = 115°

Qoʻshni burchakni topish uchun 180 dan ayiramiz.

Tekshirish: 65 + 115 = 180 ✓

Toʻldiruvchi burchaklar: yigʻindisi 90°

Toʻgʻri burchakni bitta nur bilan ikkiga boʻlsangiz, hosil boʻlgan ikki burchak toʻldiruvchi deyiladi: ular birgalikda 90° ni beradi.

Toʻgʻri burchak ikkiga boʻlindi — boʻlaklar bir-birini toʻldiradi.

90 va 180 ni adashtirmang

Toʻldiruvchi — 90° gacha (toʻgʻri burchakni toʻldiradi). Qoʻshni — 180° gacha (yoyiq burchakni toʻldiradi). Chizmaga qarang: agar ikki burchak birga toʻgʻri chiziq hosil qilsa — 180; agar burchakcha hosil qilsa — 90.

Tekshiruvni ishorasidan biling

Oʻtkir burchakning qoʻshnisi har doim oʻtmas boʻladi va aksincha — chunki ikkalasi birga 180° ni beradi. Javobingiz «65° va 40°» chiqsa, qoʻshimcha hisobsiz ham xato borligini bilasiz.

Vertikal burchaklar: ular teng

Ikki toʻgʻri chiziq kesishganda toʻrtta burchak hosil boʻladi. Bir-biriga qarama-qarshi yotganlari vertikal burchaklar deyiladi — va ular har doim teng.

Qarama-qarshi yotgan juftliklar teng, yonma-yon yotganlari esa 180° ni beradi.

Isbot — kursdagi birinchisi

«Teng» deyish kifoya emas; geometriyada nega tengligini koʻrsatish kerak. Isbot deganda mana shu — bir necha maʼlum qoidadan yangi qoidani keltirib chiqarish. Bizga faqat bitta narsa kerak: qoʻshni burchaklar 180° beradi.

∠1 + ∠2 = 180° Ular qoʻshni — birga yoyiq burchak

∠2 + ∠3 = 180° Bular ham qoʻshni

∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3 Ikkalasi ham 180° ga teng, demak oʻzaro teng

∠1 = ∠3 Ikki tomondan ∠2 ni ayirdik (PM-36)

Isbotning mohiyati

Biz bitta ham burchakni oʻlchamadik. Faqat maʼlum qoidadan foydalanib, yangi qoidani keltirib chiqardik — endi u hamma kesishgan chiziqlar uchun toʻgʻri, faqat bizning chizmamiz uchun emas. Oʻlchov bitta chizma haqida gapiradi, isbot esa barchasi haqida.

Bitta burchakdan toʻrttasini topish

∠1 = 65° Berilgan

∠2 = 180° − 65° = 115° ∠1 ga qoʻshni

∠3 = 65° ∠1 ga vertikal — teng

∠4 = 115° ∠2 ga vertikal — teng

Tekshiramiz

Toʻrtta burchak birgalikda toʻla aylanani berishi kerak: 65 + 115 + 65 + 115 = 360° ✓

Burchaklar va tenglama

Burchak masalalari koʻpincha tenglamaga aylanadi. Ikkita namuna:

Qoʻshni burchaklardan biri ikkinchisidan 3 marta katta.

x + 3x = 180 → 4x = 180 → x = 45. Burchaklar 45° va 135°.

Tekshirish: 45 + 135 = 180 ✓ va 135 ÷ 45 = 3 ✓

Burchak oʻzining toʻldiruvchisidan 20° katta.

x + y = 90 va x − y = 20 → x = 55°, y = 35° (PM-54 dagi qoʻshish usuli).

Tekshirish: 55 + 35 = 90 ✓ va 55 − 35 = 20 ✓

Matnli masala

Chorraha. Ikki toʻgʻri koʻcha kesishadi. Yoʻl xaritasida ulardan hosil boʻlgan burchaklardan biri 72° deb koʻrsatilgan. Yoʻl belgisini oʻrnatuvchi usta qolgan uchta burchakni ham bilishi kerak.

Nima soʻralyapti: toʻrtala burchak va ularning yigʻindisi.

Reja: berilgan burchakka qoʻshnisini 180° dan topamiz, keyin har biriga vertikalini yozamiz.

1-burchak = 72° Xaritada berilgan

2-burchak = 180° − 72° = 108° Qoʻshni burchak

3-burchak = 72° 1-burchakka vertikal

4-burchak = 108° 2-burchakka vertikal

Tekshiramiz

72 + 108 + 72 + 108 = 360° ✓ — toʻla aylana.
Javob: 72°, 108°, 72° va 108°. Usta bitta oʻlchov bilan butun chorrahani biladi.

Taxmin 72° oʻtkir, demak qoʻshnisi albatta oʻtmas boʻlishi kerak — 108° shu talabga javob beradi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Vertikal burchaklarning yigʻindisi 180°

Vertikal burchaklar teng; 180° beradiganlari qoʻshnilari

Qarama-qarshi yotgan burchak — teng nusxa. Yonma-yon yotgani esa toʻgʻri chiziqni toʻldiradi.

Toʻldiruvchi burchak: 180° − 40° = 140°

Toʻldiruvchi burchak: 90° − 40° = 50°

Toʻldiruvchi 90 ga qadar toʻldiradi, 180 ga qadar emas. 140° — bu 40° ning qoʻshnisi.

Chizmada teng koʻringani uchun ∠1 = ∠2

∠1 = ∠3, chunki ular vertikal

Geometriyada «koʻzga shunday koʻrindi» dalil emas. Chizma qoʻlda chizilgani uchun aldashi mumkin — qoidaga tayaning.

130° li burchakning toʻldiruvchisi 40°

130° li burchakning toʻldiruvchisi yoʻq

Toʻldiruvchisi boʻlishi uchun burchak 90° dan kichik boʻlishi shart, aks holda ikkinchisi manfiy chiqib qoladi.

Mashq

1. Burchak 38°. Uning qoʻshnisi va toʻldiruvchisi qancha?

Javobni koʻrish

Qoʻshnisi 142°, toʻldiruvchisi 52°. 180 − 38 = 142 va 90 − 38 = 52. Tekshirish: 38 + 142 = 180 ✓, 38 + 52 = 90 ✓

2. Ikki chiziq kesishdi va burchaklardan biri 90° chiqdi. Qolgan uchtasi qancha?

Javobni koʻrish

Uchalasi ham 90°. Qoʻshnisi 180 − 90 = 90, vertikallari ham 90. Demak bitta toʻgʻri burchak butun chorrahani toʻgʻri burchakka aylantiradi — bunday chiziqlar perpendikulyar deyiladi.

3. Qoʻshni burchaklardan biri ikkinchisidan 40° katta. Ularni toping.

Javobni koʻrish

110° va 70°. x + y = 180 va x − y = 40. Qoʻshamiz: 2x = 220, x = 110, keyin y = 70. Tekshirish: 110 + 70 = 180 ✓ va 110 − 70 = 40 ✓

4. Burchak oʻzining toʻldiruvchisiga teng. U necha gradus?

Javobni koʻrish

45°. x + x = 90, demak 2x = 90 va x = 45. Toʻgʻri burchakni teng ikkiga boʻlgan holat.

5. Burchak oʻzining qoʻshnisidan 4 marta kichik. Ikkala burchakni toping.

Javobni koʻrish

36° va 144°. x + 4x = 180, 5x = 180, x = 36, demak ikkinchisi 4 × 36 = 144. Tekshirish: 36 + 144 = 180 ✓

6. Bogʻdagi ikki yoʻlcha kesishadi. Bogʻbon burchaklardan birini 55° deb oʻlchadi. Qolgan uchtasini oʻlchamasdan ayting va toʻrttasining yigʻindisini tekshiring.

Javobni koʻrish

125°, 55° va 125°. Qoʻshnisi 180 − 55 = 125; vertikallari esa 55 va 125. Yigʻindisi: 55 + 125 + 55 + 125 = 360° ✓ — toʻla aylana, demak hisob toʻgʻri.

Kalit soʻzlar

Qoʻshni burchaklaryigʻindisi 180° boʻlgan yonma-yon burchaklar; ingl. adjacent (supplementary) angles
Toʻldiruvchi burchaklaryigʻindisi 90° boʻlgan burchaklar; ingl. complementary angles
Vertikal burchaklarkesishgan chiziqlarda qarama-qarshi yotgan teng burchaklar; ingl. vertical angles
Perpendikulyartoʻgʻri burchak ostida kesishuvchi; ingl. perpendicular
Isbotmaʼlum qoidalardan yangi qoidani keltirib chiqarish; ingl. proof
Yoyiq burchak180° li burchak; ingl. straight angle
Toʻla burchak360° li burchak; ingl. full angle
Kesishishikki chiziqning umumiy nuqtasi; ingl. intersection
Burchak bissektrisasiburchakni teng ikkiga boʻluvchi nur; ingl. angle bisector
Qarama-qarshi nurlarbir nuqtadan ikki tomonga ketgan nurlar; ingl. opposite rays

Esda qoladigan uch narsa

Qoʻshni — 180°, toʻldiruvchi — 90°, vertikal — teng. Uch juftlik, uch qoida.
Bitta burchak yetadi: kesishgan chiziqlarning qolgan uchtasi undan chiqadi.
Chizmaga emas, qoidaga ishoning. Vertikal burchaklar teng — buni oʻlchov emas, isbot koʻrsatdi.