PM-60: Parallel chiziqlar va kesuvchi hosil qilgan burchaklar
Ikki parallel chiziqni kesuvchi kesib oʻtganda sakkizta burchak hosil boʻladi — lekin ularning bor-yoʻgʻi ikkita qiymati bor. Mos (F), almashinuvchi (Z) va bir tomonli (U) juftliklar.
PM-60: Parallel chiziqlar va kesuvchi hosil qilgan burchaklar
Daftaringizni oching. Undagi chiziqlar hech qachon uchrashmaydi — ular parallel. Endi ular ustidan bitta qiya chiziq torting. Sakkizta burchak paydo boʻldi. Ularning nechtasini oʻlchash kerak?
Javob sizni ajablantiradi: bittasini. Qolgan yettitasi oʻz-oʻzidan kelib chiqadi.
Bu darsda siz
- parallel chiziq va kesuvchini taniysiz;
- mos, almashinuvchi va bir tomonli burchaklarni ajratasiz;
- bitta burchakdan sakkiztasini ham topasiz;
- burchaklarga qarab chiziqlar parallel ekanini aniqlaysiz.
Parallel chiziq nima?
Bitta tekislikdagi ikki toʻgʻri chiziq hech qachon kesishmasa, ular parallel deyiladi. Yozuvi: a ∥ b. Ular orasidagi masofa hamma joyda bir xil — temir yoʻl relslari, daftar chiziqlari, zinapoya panjaralari.
Kesuvchi — ikkala parallel chiziqni ham kesib oʻtuvchi uchinchi chiziq. U ikkita kesishish nuqtasi va sakkizta burchak hosil qiladi.
PM-59 dan bittasini allaqachon bilamiz: har bir kesishish nuqtasida vertikal burchaklar teng, qoʻshnilari esa 180° beradi. Demak yuqoridagi toʻrttadan bittasini bilsak, oʻsha toʻrttasini bilamiz.
Yangi savol boshqa: yuqoridagi burchaklar pastdagilari bilan qanday bogʻlangan? Mana shu yerda parallellik ish boshlaydi.
1-juftlik: mos burchaklar — «F» harfi
Ikkala kesishishda ham bir xil oʻrinda turgan burchaklar mos burchaklar deyiladi: ikkalasi ham chiziqning ostida va kesuvchining oʻng tomonida. Chizmada ular F harfini hosil qiladi.
2-juftlik: almashinuvchi ichki burchaklar — «Z» harfi
Ikki parallel chiziq orasida yotgan va kesuvchining har xil tomonlarida turgan burchaklar. Chizmada ular Z harfini beradi.
3-juftlik: bir tomonli ichki burchaklar — «U» harfi
Ikki chiziq orasida, lekin kesuvchining bitta tomonida yotgan burchaklar. Bular teng emas — ularning yigʻindisi 180°.
F, Z, U — uchta harf, uchta qoida
Chizmada shaklni koʻring: F boʻlsa teng, Z boʻlsa teng, U boʻlsa 180°. Harflar teskari yoki agʻdarilgan boʻlishi mumkin — qoida oʻzgarmaydi.
Bitta burchakdan sakkiztasi
Chizmada ∠2 = 70° deb berilgan boʻlsin. Qolganini yozib chiqamiz.
Tekshiramiz
Har bir nuqtada toʻrtta burchak: 110 + 70 + 70 + 110 = 360° ✓
Har bir qoʻshni juftlik: 70 + 110 = 180° ✓
Chiziqlar parallel boʻlmasa, bu qoidalar ishlamaydi
«Mos burchaklar teng» degani faqat parallel chiziqlar uchun toʻgʻri. Chiziqlar parallel boʻlmasa, sakkizta burchakning hammasi har xil chiqishi mumkin. Masala shartida «a ∥ b» yozilganini tekshiring — u yerda boʻlmasa, qoidani ishlatib boʻlmaydi.
Nega faqat ikkita qiymat boʻladi
Parallel chiziqlar kesuvchi bilan bir xil burchak ostida uchrashadi — shuning uchun pastki kesishish yuqorigisining aniq nusxasi. Har bir nuqtada esa faqat ikkita qiymat bor (burchak va uning qoʻshnisi), demak butun chizmada ham ikkitasi.
Teskarisi ham toʻgʻri
Qoidani teskari tomonga ham oʻqish mumkin, va bu amalda juda foydali: agar mos burchaklar teng chiqsa, demak chiziqlar parallel.
Duradgor ikki taxtaning parallel ekanini shunday tekshiradi: bitta qiya chiziq chizib, ikkita mos burchakni oʻlchaydi. Teng chiqsa — parallel.
Matnli masala
Duradgorning kesimi. Taxtaning ikki cheti parallel. Duradgor uni qiya kesdi. Kesim chizigʻi yuqorigi chet bilan 62° burchak hosil qildi.
Nima soʻralyapti: kesim chizigʻi pastki chet bilan qanday burchaklar hosil qiladi?
Reja: taxtaning chetlari — parallel chiziqlar, kesim — kesuvchi. Demak F, Z va U qoidalari ishlaydi.
Tekshiramiz
62 + 118 = 180° ✓ — qoʻshni burchaklar. Kesim ikkala chet bilan ham
bir xil burchaklar hosil qiladi: 62° va 118°.
Javob: pastki chetda ham 62° va 118°.
Koʻp uchraydigan xatolar
Bir tomonli ichki burchaklar teng
Bir tomonli ichki burchaklarning yigʻindisi 180°
Faqat F va Z juftliklari teng. U juftligi qoʻshni burchakka oʻxshab 180° beradi.
Chiziqlar parallelmi-yoʻqmi — farqi yoʻq, mos burchaklar baribir teng
Bu qoidalar faqat parallel chiziqlarda ishlaydi
Parallellik — qoidaning sharti. Shartsiz xulosa chiqarish geometriyadagi eng jiddiy xato.
∠3 va ∠5 — almashinuvchi ichki burchaklar
∠3 va ∠6 — almashinuvchi ichki burchaklar
Almashinuvchi juftlik kesuvchining har xil tomonlarida boʻlishi shart. ∠3 bilan ∠5 esa bitta tomonda.
Sakkizta burchakni bilish uchun sakkizta oʻlchov kerak
Bitta oʻlchov yetadi
Parallel chiziqlarda faqat ikkita har xil qiymat boʻladi, ular esa 180° ga toʻldiradi.
Mashq
1. a ∥ b va mos burchaklardan biri 55°. Ikkinchisi qancha?
Javobni koʻrish
55°. Mos burchaklar (F qoidasi) parallel chiziqlarda teng boʻladi.
2. Bir tomonli ichki burchaklardan biri 105°. Ikkinchisi qancha?
Javobni koʻrish
75°. U qoidasi: yigʻindisi 180°, demak 180 − 105 = 75. Tekshirish: 105 + 75 = 180 ✓
3. a ∥ b va ∠2 = 130°. ∠6 va ∠3 qancha?
Javobni koʻrish
∠3 = 50°, ∠6 = 50°. ∠3 — ∠2 ga qoʻshni: 180 − 130 = 50. ∠6 — ∠3 ga almashinuvchi ichki (Z), demak teng: 50°.
4. Kesuvchi ikki chiziqni kesib oʻtdi. Mos burchaklar 68° va 74° chiqdi. Chiziqlar parallelmi?
Javobni koʻrish
Yoʻq, parallel emas. Parallel boʻlganida mos burchaklar teng chiqishi shart edi. 68 ≠ 74, demak chiziqlar kesishadi — faqat chizmadan tashqarida.
5. a ∥ b va bir tomonli ichki burchaklardan biri ikkinchisidan 40° katta. Ularni toping.
Javobni koʻrish
110° va 70°. x + y = 180 va x − y = 40. Qoʻshamiz (PM-54): 2x = 220, x = 110, keyin y = 70. Tekshirish: 110 + 70 = 180 ✓
6. Zinapoyaning ikki panjarasi parallel. Ularni bitta qiya tayanch kesib oʻtadi va yuqori panjara bilan 35° burchak hosil qiladi. Tayanch pastki panjara bilan qanday burchaklar hosil qiladi?
Javobni koʻrish
35° va 145°. Mos burchak (F) teng: 35°. Uning qoʻshnisi esa 180 − 35 = 145°. Parallel chiziqlarda kesuvchi ikkala chiziq bilan ham bir xil burchaklarni hosil qiladi.
Kalit soʻzlar
- Parallel chiziqlarhech qachon kesishmaydigan chiziqlar, a ∥ b; ingl. parallel lines
- Kesuvchiikkala chiziqni ham kesib oʻtuvchi chiziq; ingl. transversal
- Mos burchaklarbir xil oʻrindagi teng burchaklar (F); ingl. corresponding angles
- Almashinuvchi ichki burchaklarorada, qarama-qarshi tomonlarda; teng (Z); ingl. alternate interior angles
- Bir tomonli ichki burchaklarorada, bitta tomonda; yigʻindisi 180° (U); ingl. co-interior angles
- Ichki burchaklarikki parallel chiziq orasidagilari; ingl. interior angles
- Tashqi burchaklarparallel chiziqlardan tashqaridagilari; ingl. exterior angles
- Teskari xulosaqoidani teskari tomonga oʻqish; ingl. converse
- Shartqoida ishlashi uchun bajarilishi kerak boʻlgan talab; ingl. condition
- Vertikal burchaklarPM-59 dagi teng juftlik; ingl. vertical angles
Esda qoladigan uch narsa
- F — teng, Z — teng, U — 180°. Uchta shakl, uchta qoida.
- Bitta burchak yetadi: parallel chiziqlarda faqat ikkita har xil qiymat boʻladi.
- Parallellik — shart. U boʻlmasa, hech bir qoida ishlamaydi.