Mathematics

PM-64: Pifagor teoremasi — va nega u ishlaydi

Toʻgʻri burchakli uchburchakda ikki katetning kvadratlari yigʻindisi gipotenuzaning kvadratiga teng. Formulaning oʻzi ham, uning bitta chizmaga sigʻadigan isboti ham shu darsda.

powerty

Aug. 12, 2026

7 7 min 0

PM-64: Pifagor teoremasi — va nega u ishlaydi

Usta pol qoʻyishdan oldin xonaning burchagi haqiqatan toʻgʻri burchakmi yoki yoʻqmi, tekshiradi. U transportir olmaydi — ruletka oladi. Bir tomonga 3 metr, ikkinchisiga 4 metr belgilaydi va oʻsha ikki belgi orasini oʻlchaydi. Agar 5 metr chiqsa, burchak toʻgʻri.

Nega aynan shu uchta son? Javob — matematikadagi eng mashhur formulada.

Bu darsda siz

toʻgʻri burchakli uchburchakning katetlarini gipotenuzasidan ajratasiz;
Pifagor teoremasini yozasiz va gipotenuzani topasiz;
nomaʼlum katetni ham topasiz;
teorema nega ishlashini bitta chizma bilan isbotlaysiz.

Pifagor teoremasi a² + b² = c² · faqat toʻgʻri burchakli uchburchakda

1. Katet va gipotenuza

Bitta burchagi toʻgʻri (90°) boʻlgan uchburchak toʻgʻri burchakli deyiladi (PM-61). Uning tomonlari ikki xil ish bajaradi, shuning uchun ikki xil nom oladi.

Toʻgʻri burchak C uchida. Uni hosil qilgan ikki tomon — katetlar (a va b), qarshisidagi eng uzun tomon — gipotenuza (c).

Katetlar — toʻgʻri burchakni hosil qilgan ikkita tomon. Ular bir-biriga perpendikulyar.
Gipotenuza — toʻgʻri burchakning qarshisidagi tomon.

Gipotenuza har doim eng uzun tomon

Buni PM-62 dan bilamiz: eng katta burchak qarshisida eng uzun tomon turadi. Toʻgʻri burchakli uchburchakda 90° eng katta burchak (qolgan ikkitasiga hammasi boʻlib 90° qoladi), demak uning qarshisidagi tomon eng uzun. Javobda gipotenuza katetdan kichik chiqsa — xato bor.

2. Teorema

Pifagor teoremasi

Toʻgʻri burchakli uchburchakda katetlarning kvadratlari yigʻindisi gipotenuzaning kvadratiga teng:
a² + b² = c², bunda c — gipotenuza.

Ustaning uchburchagini tekshiramiz. Katetlar 3 va 4, gipotenuza 5:

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

Uch kvadrat qoʻshuv toʻrt kvadrat besh kvadratga teng — demak burchak haqiqatan toʻgʻri.

Kvadratlar PM-12 dan, ularning ildizi PM-13 dan tanish: 25 aniq kvadrat, √25 = 5.

3. Nega ishlaydi? Ikkita joylashtirish

Teoremani yodlash oson, lekin ishonch faqat isbotdan keladi. Isbot uchun bitta katta kvadrat va toʻrtta bir xil uchburchak yetadi.

Kvadratning tomoni — a + b, yaʼni ikki katetning yigʻindisi. Ichiga oʻsha toʻgʻri burchakli uchburchakdan toʻrtta bir xilini joylashtiramiz — ikki xil usulda.

Birinchi joylashtirish: toʻrtta uchburchak burchaklarga qoʻyildi. Oʻrtada qolgan boʻsh joy — tomoni c boʻlgan kvadrat.

Ikkinchi joylashtirish: xuddi oʻsha kvadrat, xuddi oʻsha toʻrtta uchburchak — endi boʻsh joy ikkita kvadrat: a² va b².

Ikkala chizmada ham bitta xil katta kvadrat turibdi — yuzalari teng.
Ikkala chizmadan ham bir xil toʻrtta uchburchak olib tashlandi.
Teng narsalardan teng narsa olib tashlansa, qolgani ham teng.
Birinchi chizmada qolgani — c². Ikkinchisida — a² + b².
Demak a² + b² = c².

Isbotda birorta ham murakkab qadam yoʻq: faqat «bir xil narsadan bir xil narsani ayirdik» degan fikr — bu esa tenglama yechishda ishlatgan usulimizning oʻzi (PM-36).

Oʻzingiz qirqib koʻring

Qalin qogʻozdan tomonlari 3 va 4 sm boʻlgan toʻrtta bir xil toʻgʻri burchakli uchburchak qirqing va tomoni 7 sm boʻlgan kvadratga ikki xil joylashtiring. Boʻsh joy bir chizmada bitta katta kvadrat, ikkinchisida ikkita kichik kvadrat boʻlib qoladi — teorema qoʻlingizda.

4. Gipotenuzani topish

Katetlari 6 va 8 boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi qancha?

c² = 6² + 8² Pifagor teoremasi

c² = 36 + 64 = 100 Kvadratlarni hisobladik (PM-12)

c = √100 = 10 Kvadrat ildiz oldik (PM-13)

c² = 100 degani c = 100 emas

Eng koʻp uchraydigan xato shu: hisob 100 da toʻxtab qoladi. 100 — bu kvadrat, tomonning oʻzi emas. Oxirgi qadam har doim ildiz chiqarish: c = √100 = 10. Va bu 50 ham emas — ildiz chiqarish ikkiga boʻlish degani emas.

5. Nomaʼlum katetni topish

Endi teskari savol. Gipotenuza 13, bitta katet 5. Ikkinchi katet qancha?

5² + b² = 13² 13 — gipotenuza, shuning uchun u yolgʻiz tomonda

25 + b² = 169 Kvadratlarni hisobladik

b² = 169 − 25 = 144 Ikki tomondan 25 ni ayirdik (PM-36)

b = √144 = 12 Ildiz chiqardik

Tekshiramiz

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ Gipotenuza (13) ikkala katetdan ham uzun ✓

Qoʻshish yoki ayirish — qaysi biri?

Bu faqat nima nomaʼlum ekaniga bogʻliq:
• gipotenuza nomaʼlum → katetlarning kvadratlarini qoʻshamiz;
• katet nomaʼlum → gipotenuzaning kvadratidan katetnikini ayiramiz.
Adashsangiz, javobni taqqoslang: gipotenuza katetdan uzun boʻlishi shart.

6. Pifagor uchliklari

Uchala tomoni ham butun son chiqadigan holatlar kam uchraydi va shuning uchun qadrlanadi. Ular Pifagor uchliklari deyiladi — yod olsangiz, koʻp masalani hisoblamasdan yechasiz.

Uchlik	Tekshiruv	Ikki barobari
3, 4, 5	9 + 16 = 25	6, 8, 10
5, 12, 13	25 + 144 = 169	10, 24, 26
8, 15, 17	64 + 225 = 289	16, 30, 34

Uchlikning har bir sonini bir xil songa koʻpaytirsangiz, yana uchlik chiqadi: 3, 4, 5 → 9, 12, 15 (uch barobari). Usta ham shundan foydalanadi — xona katta boʻlsa, 3-4-5 oʻrniga 6-8-10 metrni oʻlchaydi.

Teskari teorema

Agar uchburchakning tomonlari uchun a² + b² = c² tenglik bajarilsa, u toʻgʻri burchakli boʻladi. Ustaning ruletkasi aynan shuni tekshiradi: 3, 4 va 5 chiqdimi — burchak toʻgʻri; 5 oʻrniga 5,2 chiqdimi — burchak toʻgʻri emas.

Matnli masala

Dala boʻylab qisqa yoʻl. Maktab dalasi toʻgʻri toʻrtburchak shaklida: bir tomoni 60 metr, ikkinchisi 80 metr. Jasur bir burchakdan qarama-qarshi burchakka boradi. U chetlab ham borishi mumkin, kesib ham.

Nima soʻralyapti: kesib borsa, necha metr tejaydi.

Reja: toʻgʻri toʻrtburchakning burchaklari toʻgʻri burchak. Demak ikki tomoni va diagonali toʻgʻri burchakli uchburchak hosil qiladi: katetlar 60 va 80, gipotenuza — diagonal.

60 + 80 = 140 m Chetlab borgandagi yoʻl

d² = 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10 000 Diagonal — gipotenuza

d = √10 000 = 100 m Ildiz chiqardik

140 − 100 = 40 m Kesib borsa, 40 metr tejaydi

Tekshiramiz

60, 80, 100 — bu 3, 4, 5 uchligining yigirma barobari ✓ Diagonal (100 m) ikkala tomondan ham uzun, lekin ularning yigʻindisidan (140 m) qisqa — uchburchak tengsizligi (PM-62) ham bajarildi.
Javob: 40 metr tejaladi.

Koʻp uchraydigan xatolar

Katetlar 6 va 8 → gipotenuza 6 + 8 = 14

c² = 36 + 64 = 100, c = 10

Tomonlar emas, kvadratlar qoʻshiladi. 14 javobi uchburchak tengsizligiga ham zid: 6 + 8 = 14 boʻlsa, uchburchak yassilanib qolardi.

c² = 100 → c = 50

c = √100 = 10

Kvadratning teskarisi — ildiz, ikkiga boʻlish emas. Tekshiring: 50 × 50 = 2500, 100 emas.

Gipotenuza 13, katet 5 → ikkinchi katet √(169 + 25) = √194

√(169 − 25) = √144 = 12

Gipotenuza — eng katta son, u yigʻindi tomonda turadi. Katet izlanayotganda ayiriladi.

Tomonlari 5, 6, 7 boʻlgan uchburchak: 5² + 6² = 7²

25 + 36 = 61, 49 esa emas — bu uchburchak toʻgʻri burchakli emas

Pifagor teoremasi faqat toʻgʻri burchakli uchburchakda ishlaydi. Boshqa uchburchakka qoʻllash — eng jimgina yashiringan xato.

Mashq

1. Katetlari 9 va 12. Gipotenuza qancha?

Javobni koʻrish

15. 81 + 144 = 225, √225 = 15. Bu 3-4-5 uchligining uch barobari.

2. Gipotenuzasi 25, bitta kateti 7. Ikkinchi katet qancha?

Javobni koʻrish

24. 25² − 7² = 625 − 49 = 576, √576 = 24. Tekshirish: 49 + 576 = 625 ✓

3. Tomonlari 8, 15 va 17 boʻlgan uchburchak toʻgʻri burchaklimi?

Javobni koʻrish

Ha. Eng katta tomon 17. 64 + 225 = 289 va 17² = 289 — tenglik bajarildi, demak teskari teoremaga koʻra burchak toʻgʻri.

4. Tomonlari 4, 5 va 6 boʻlgan uchburchak toʻgʻri burchaklimi?

Javobni koʻrish

Yoʻq. 16 + 25 = 41, 6² esa 36. 41 ≠ 36, demak tenglik bajarilmaydi. (41 > 36 boʻlgani uchun eng katta burchak aslida 90° dan kichik — uchburchak oʻtkir burchakli.)

5. Toʻgʻri burchakli uchburchakning ikkala kateti ham 5 ga teng. Gipotenuzasi qaysi ikki butun son orasida?

Javobni koʻrish

7 va 8 orasida. c² = 25 + 25 = 50. 50 aniq kvadrat emas: 49 < 50 < 64, demak √49 < c < √64, yaʼni 7 < c < 8 (PM-13). Javob butun son chiqmasligi normal — Pifagor uchliklari kam uchraydi.

6. Sherbek televizor tanlayapti. Ekranning eni 120 sm, boʻyi 90 sm. Doʻkonchi «diagonali 150 sm» dedi. U toʻgʻri aytdimi?

Javobni koʻrish

Ha, toʻgʻri. Ekranning burchaklari toʻgʻri burchak, demak diagonal — gipotenuza: 120² + 90² = 14 400 + 8100 = 22 500, √22 500 = 150. Bu ham 3-4-5 uchligi, oʻttiz barobari: 90, 120, 150.

Kalit soʻzlar

Toʻgʻri burchakli uchburchakbitta burchagi 90° boʻlgan uchburchak; ingl. right triangle
Katettoʻgʻri burchakni hosil qiluvchi tomon; ingl. leg
Gipotenuzatoʻgʻri burchak qarshisidagi eng uzun tomon; ingl. hypotenuse
Pifagor teoremasia² + b² = c²; ingl. Pythagorean theorem
Teoremaisbotlangan qoida; ingl. theorem
Isbotqoida nega toʻgʻri ekanini koʻrsatuvchi mulohaza; ingl. proof
Pifagor uchligiuchala tomoni butun son boʻlgan holat, masalan 3-4-5; ingl. Pythagorean triple
Teskari teorematenglik bajarilsa, burchak toʻgʻri; ingl. converse
Diagonaltoʻrtburchakning qarama-qarshi uchlarini tutashtiruvchi kesma; ingl. diagonal
Kvadrat ildizkvadratning teskari amali; ingl. square root

Qisqacha

Katetlar — toʻgʻri burchakni hosil qilgan tomonlar, gipotenuza — uning qarshisidagi eng uzun tomon.
a² + b² = c² — faqat toʻgʻri burchakli uchburchakda.
Isbot: bitta kvadrat, toʻrtta uchburchak, ikki xil joylashtirish.
Gipotenuza nomaʼlum → qoʻshamiz; katet nomaʼlum → ayiramiz.
Oxirgi qadamni unutmang: c² topilgach, ildiz chiqariladi.
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 va ularning barobarlari — yod olishga arziydi.