PM-69: Yuza 2: parallelogramm, trapetsiya va murakkab shakllar
Har qanday shaklning yuzasi oxir-oqibat toʻgʻri toʻrtburchakka qaytariladi. Parallelogramm, romb va trapetsiya yuzasi qayerdan chiqqanini koʻrasiz va murakkab shaklni boʻlaklarga ajratasiz.
PM-69: Yuza 2: parallelogramm, trapetsiya va murakkab shakllar
Dalalar toʻgʻri toʻrtburchak boʻlmaydi. Tomorqaning bir tomoni ariqqa qarab qiyshayadi, ikkinchisi yoʻlga tekkan joyida torayadi. Shunday yerning yuzasini qanday hisoblaymiz?
Javob bitta va u juda chiroyli: har qanday shaklni kesib, siljitib, toʻgʻri toʻrtburchakka aylantiramiz. Yuza esa kesish-siljitishdan oʻzgarmaydi.
Bu darsda siz
- parallelogramm yuzasi nega S = a × h ekanini isbotlaysiz;
- trapetsiya formulasini yoddan emas, chizmadan chiqarasiz;
- rombni diagonallari orqali hisoblaysiz;
- murakkab shaklni boʻlaklarga ajratib yoki ortiqchasini ayirib topasiz.
1. Parallelogramm: bitta uchburchakni koʻchirsak boʻldi
Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari parallel va teng (PM-66). Uning yuzasini topish uchun hech qanday yangi gʻoya kerak emas — faqat qaychi kerak.
Chizmadagi uchburchakni kesib, oʻng tomonga koʻchirdik. Shakl oʻzgardi, lekin yuza oʻzgarmadi — hech nima qoʻshilmadi va hech nima yoʻqolmadi. Qolgani esa oddiy toʻgʻri toʻrtburchak (PM-68):
Bu yerda h — balandlik, yaʼni asosdan qarama-qarshi tomongacha boʻlgan perpendikulyar masofa. Chizmada u punktir chiziq bilan koʻrsatilgan.
Yon tomon — balandlik EMAS
Parallelogrammning qiya yon tomoni har doim balandlikdan uzunroq, chunki u qiya turadi. Agar yon tomonni formulaga qoʻysangiz, yuza haqiqatdan katta chiqadi. Chizmadagi shaklning yon tomoni taxminan 6 sm, balandligi esa 5 sm: 8 × 6 = 48 emas, 8 × 5 = 40.
S = 12 × 4,5 = 54 sm2
Asosi 12 santimetr, balandligi 4,5 santimetr boʻlgan parallelogrammning yuzasi — 54 kvadrat santimetr.
12 × 4 = 48 va 12 × 0,5 = 6; 48 + 6 = 54 (PM-21).
Teskari masala ham xuddi shunday ishlaydi — formula tenglamaga aylanadi (PM-36):
2. Romb: diagonallar orqali
Romb ham parallelogramm (PM-66), demak unga ham S = a × h ishlaydi. Lekin rombning balandligini oʻlchash noqulay — uning oʻrniga diagonallari beriladi.
Rombning yuzasi
S = d1 × d2 ÷ 2 — diagonallarining koʻpaytmasining yarmi.
Nega yarmi? Rombni tashqaridan oʻrab turgan toʻgʻri toʻrtburchakni tasavvur qiling: uning tomonlari aynan d1 va d2. Romb esa oʻsha toʻrtburchakning roppa-rosa yarmini egallaydi — xuddi uchburchak oʻzini oʻragan toʻrtburchakning yarmini egallagani kabi (PM-68).
S = 8 × 6 ÷ 2 = 24 sm2
Diagonallari 8 va 6 santimetr boʻlgan rombning yuzasi — 24 kvadrat santimetr.
3. Trapetsiya: bitta diagonal hamma ishni qiladi
Trapetsiyada faqat bitta juft tomon parallel (PM-66). Ularni asoslar deymiz va a hamda b deb belgilaymiz. Formulani yodlash shart emas — diagonal chizsak, oʻzi chiqadi.
Diagonal trapetsiyani ikkita uchburchakka boʻldi. Diqqat qiling: ikkalasining balandligi ham bir xil — asoslar parallel boʻlgani uchun ular orasidagi masofa hamma joyda bitta (PM-60).
Endi xuddi shu hisobni harflar bilan yozamiz va qavsdan umumiy narsani chiqaramiz (PM-34):
Yaʼni: ikkala asosni qoʻshamiz, ikkiga boʻlamiz, balandlikka koʻpaytiramiz. Tekshiramiz: (10 + 6) ÷ 2 × 4 = 8 × 4 = 32 ✓ — chizmadagi javobning oʻzi.
(14 + 10) ÷ 2 × 6 = 12 × 6 = 72 m2
Asoslari 14 va 10 metr, balandligi 6 metr boʻlgan trapetsiyaning yuzasi — 72 kvadrat metr.
Avval qavs ichi, keyin boʻlish, oxirida koʻpaytirish — amallar tartibi (PM-5).
Trapetsiyada balandlik — yon tomon emas
Trapetsiyaning qiya yon tomoni koʻpincha berilgan boʻladi va u odamni chalgʻitadi. Formulaga faqat ikkita parallel tomon orasidagi perpendikulyar masofa qoʻyiladi. Chizmada u punktir bilan tushirilgan va uning ostida toʻgʻri burchak belgisi turadi — shuni qidiring.
4. Murakkab shakllar: boʻlaklarga ajrating
Hayotdagi shakllarning nomi boʻlmaydi. Lekin ularni deyarli har doim tanish boʻlaklarga ajratish mumkin.
Ikki yoʻl bor
Qoʻshish: shaklni boʻlaklarga ajratib, yuzalarini qoʻshasiz. Ayirish: shaklni katta toʻgʻri toʻrtburchak ichiga joylab, ortiqcha qismni ayirasiz. Ikkalasi ham toʻgʻri javob beradi — qaysi biri kamroq hisob talab qilsa, oʻshanisini tanlang.
Matnli masala
Karim akaning dalasi toʻgʻri toʻrtburchak emas. Uning ikkita tomoni parallel: biri yoʻlga qaragan va uzunligi 40 metr, ikkinchisi ariqqa qaragan va uzunligi 24 metr. Ular orasidagi masofa 30 metr. Dalaga bugʻdoy ekiladi va har 100 kvadrat metrga 2 kilogramm urugʻ ketadi. Urugʻ 5 kilogrammli qoplarda sotiladi.
Nechta qop urugʻ sotib olish kerak?
Reja: dala trapetsiya — yuzasini topamiz, urugʻ miqdorini hisoblaymiz, keyin qoplar soniga oʻtamiz.
Tekshiramiz
960 m2 — taxminimizdagi 900–1000 oraligʻida ✓
4 qop = 4 × 5 = 20 kg, bu 19,2 kg dan koʻp ✓ (3 qop = 15 kg
boʻlardi va yetmasdi)
Javob: 4 qop urugʻ.
Koʻp uchraydigan xatolar
Parallelogramm: asosi 8, yon tomoni 6 → S = 8 × 6 = 48
S = 8 × 5 = 40 sm2
Yon tomon qiya turadi va balandlikdan uzun. Formulaga faqat perpendikulyar balandlik qoʻyiladi — chizmada toʻgʻri burchak belgisi turgan joy.
Trapetsiya: (10 + 6) × 4 = 64
(10 + 6) ÷ 2 × 4 = 32 sm2
Ikkiga boʻlish qadami tushib qolgan. 64 — trapetsiyani ikki nusxada olib yasalgan parallelogrammning yuzasi, yaʼni javobdan aynan ikki barobar katta.
Trapetsiya: 10 × 4 = 40
(10 + 6) ÷ 2 × 4 = 32 sm2
Faqat bitta asos ishlatilgan. Trapetsiyaning eni pastda va tepada har xil — shuning uchun ikkalasi ham hisobga olinadi.
Murakkab shakl: 10 × 4 + 6 × 3 = 40 + 18 = 58
40 + 24 = 64 sm2
Yuqoridagi boʻlak toʻgʻri toʻrtburchak emas, trapetsiya. Uning pastki eni 10, yuqorigisi 6 — ikkalasi ham kerak.
Mashq
1. Parallelogrammning asosi 9 sm, balandligi 6 sm. Yuzasi qancha?
Javobni koʻrish
54 sm2. S = 9 × 6 = 54.
2. Parallelogrammning yuzasi 84 sm2, balandligi 7 sm. Asosi qancha?
Javobni koʻrish
12 sm. a × 7 = 84, demak a = 84 ÷ 7 = 12. Tekshirish: 12 × 7 = 84 ✓
3. Trapetsiyaning asoslari 12 sm va 8 sm, balandligi 5 sm. Yuzasi qancha?
Javobni koʻrish
50 sm2. (12 + 8) ÷ 2 × 5 = 20 ÷ 2 × 5 = 10 × 5 = 50.
4. Rombning diagonallari 10 sm va 7 sm. Yuzasi qancha?
Javobni koʻrish
35 sm2. S = 10 × 7 ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35.
5. Shakl pastdan 8 m × 5 m toʻgʻri toʻrtburchak, uning ustida esa asoslari 8 m va 4 m, balandligi 3 m boʻlgan trapetsiya. Butun shaklning yuzasi qancha?
Javobni koʻrish
58 m2. Pastki qism: 8 × 5 = 40 m2. Yuqori qism: (8 + 4) ÷ 2 × 3 = 6 × 3 = 18 m2. Jami: 40 + 18 = 58 m2.
6. Dilnozaning bogʻi trapetsiya shaklida: parallel tomonlari 18 m va 12 m, ular orasidagi masofa 10 m. Bogʻga koʻchat oʻt yotqiziladi, har kvadrat metri 12 000 soʻm. Hammasi necha soʻm boʻladi?
Javobni koʻrish
1 800 000 soʻm. Avval yuza: (18 + 12) ÷ 2 × 10 = 15 × 10 = 150 m2. Keyin narx: 150 × 12 000 = 1 800 000 soʻm. Diqqat: 18 × 10 = 180 m2 deb hisoblasangiz, 360 000 soʻm ortiqcha toʻlaysiz.
Kalit soʻzlar
- Parallelogrammqarama-qarshi tomonlari parallel toʻrtburchak; ingl. parallelogram
- Asosyuzani hisoblashda tayanch qilib olingan tomon; ingl. base
- Balandlikasosga perpendikulyar masofa; ingl. height
- Trapetsiyafaqat bitta juft tomoni parallel toʻrtburchak; ingl. trapezium
- Trapetsiyaning asoslariuning parallel ikki tomoni; ingl. parallel sides
- Rombtoʻrtala tomoni teng parallelogramm; ingl. rhombus
- Diagonalqarama-qarshi uchlarni tutashtiruvchi kesma; ingl. diagonal
- Murakkab shaklbir nechta oddiy shakldan tuzilgan shakl; ingl. composite shape
- Boʻlaklarga ajratishshaklni tanish qismlarga boʻlish usuli; ingl. decomposition
- Perpendikulyartoʻgʻri burchak ostida turgan; ingl. perpendicular
Qisqacha
- Kesish va siljitish yuzani oʻzgartirmaydi — hamma formula shundan chiqadi.
- Parallelogramm: S = a × h. Balandlik — yon tomon emas.
- Romb: S = d1 × d2 ÷ 2.
- Trapetsiya: S = (a + b) ÷ 2 × h — ikkala asos ham kerak.
- Murakkab shaklni boʻlaklarga ajrating yoki ortiqchasini ayiring.
- Javobni har doim taxmin bilan solishtiring: yuza oʻzini oʻragan toʻgʻri toʻrtburchakdan katta boʻlolmaydi.